连续耦合代数Lyapunov矩阵_省略_解的估计及在一类时滞系统中的应用

1、学校代号 10530学 号 201610111047分类号 0231.1-密 级泡潭大律硕士学位论文连续耦合代数Lyapunov矩阵方程解的估计及左一美日寺滞系盅击南应用学位申请人崔志盟指导教师刘建州教授学院名称 数学与计算科学学院学科专业数学研究方向代数学和矩阵分析及其应用二零一九年四月七日连续耦爵g霰溯的估计学位申请人崔志盟导师姓名和职称刘建州教授学院名称数学与计算科学学院学科专业数学研究方向 代数学和矩阵分析及其应用学位申请级别理学硕士学位授予单位湘潭大学论文提交日期201947The bounds for the solution of the continuouscoupled al

2、gebraic Lyapunov matrix equation and itsapplication in a class of time-delay systemCandidateZliimeng CuiSupervisor and RankProf. Jianzhou LiuCollegeMathematics and Computational ScienceProgramMathematicsSpecialization Algebra and Matrix Analysis and Its Application DegreeMaster of ScienceUniversityX

3、iangtan UniversityDateApril 7tli, 2019学位/翳毒声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。作者签名：修扁乱 日期:初，砂月/日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湘潭大学可以将本学位论

4、文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索。可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。涉密论文按学校规定处理。作者签名：雀鬲阑 日期年上月,日随着现代技术和机械工程的飞速发展，控制系统的研究应用得到了学者们空前的 关注.在研究控制系统时，人们常常需要考虑和研究它们的稳定性分析和最优化问题等, 而对于这些问题的研究，在许多情况下都可以转化为相应的Lyapunov矩阵方程的求解 问题及对其解的上下界的估计问题.因此，对Lyapunov矩阵方程半正定解的研究及其应 用得到了许多学者的关注，且在理论和具体应用上取得不少研究成果.本文利用矩阵的Kronecker积、矩阵逆的非负性和矩阵的

5、不等式，对连续耦合 代数Lyapunov矩阵方程进行变换，并且利用矩阵的恒等变换和正定矩阵的性质，获得了 方程半正定解的含有参数的两个上界.然后，通过构造出连续耦合代数Lyapunov矩阵 方程的等价形式，利用矩阵特征值的性质，矩阵的恒等变换，结合矩阵不等式的放缩得 到了连续耦合代数Lyapunov矩阵方程的下界.并且，用具体的数值例子验证了所得结果 的有效性，并且比较了它们的精确性.最后，根据文章得到的连续耦合代数Lyapunov矩阵方程解的上界，结合矩阵恒等变 换和不等式的放缩并且选择合适的Lyapunov函数，得到了使一类时滞系统稳定的的条 件，并用具体的数值例子说明得到结果的有效性.关

6、键词：半正定解；连续耦合代数Lyapunov矩阵方程；Kronecker积；矩阵；时 滞系统.AbstractWith the ra.pid development of modern technology and mechanical engineering, the research and application of control systems has received unprecedented attention from scholars. When studying control systems, people often need to consider and stu

7、dy their stability analysis and optimization problems. In many cases, the problem can be transformed into the solution of the corresponding Lyapunov matrix equation and the upper and lower bounds of its solution. Therefore, the research on the semi-positive definite solution of Lyapunov matrix equat

8、ions and its application have attracted the attention of many scholars, and in the theory and specific applications, many research results have been obtained.In this paper, we use the Kronecker product of the matrix, the non-negative of the A/matrix inverse and the inequality of the matrix to transf

9、orm the continuous coupled algebraic Lyapunov matrix equation, and use the identity of the matrix and the properties of the positive definite matrix, the two upper bounds containing the parameters. Then, by constructing the equivalent form of the continuous coupled algebraic Lyapunov matrix equation

10、, and then using the properties of the matrix eigenvalues, the identity transformation of the matrix, combined with the scaling of the matrix inequality, the lower bound of the continuous coupled algebraic Lyapunov matrix equation is obtained. Moreover, the validity of the results obtained is verifi

11、ed by specific numerical examples, and their accuracy is compared.Finally, according to the upper bound of the solution of the continuous coupling algebra Lyapunov matrix equation obtained by the paper, combined with the matrix identity transformation and the inequality scaling and selecting the app

12、ropriate Lyapunov function, the conditions for stabilizing a class of time-de lay systems are obtained, and use specific numerical examples to illustrate the validity of the results.Keywords: positive semi-definite solution; continuous coupled algebraic Lyapunov matrix equation; Kronecker product; A

13、/matrix; time-delay system. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark7 o Current Document 第一章绪论1 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 1.1课题的背景来源1 HYPERLINK l bookmark13 o Current Document 1.2本文的主要工作2 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 1.3本文所用记号及定义4 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 第二章连

14、续耦合代数Lyapunov矩阵方程解的Kronecker积型上界52.1引言5 HYPERLINK l bookmark31 o Current Document 2.3连续耦合代数Lyapunov矩阵方程解的Kronecker积型上界6 HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 2.3数值例子14 HYPERLINK l bookmark39 o Current Document 第三章连续耦合代数Lyapunov矩阵方程解的下界16 HYPERLINK l bookmark57 o Current Document 3.1引言16 HYPERLIN

15、K l bookmark45 o Current Document 3.2连续耦合代数Lyapunov矩阵方程解的下界16 HYPERLINK l bookmark50 o Current Document 3.3数值例子19第四章连续耦合代数Lyapunov矩阵方程解的上界在时滞系统中的应用. 21 HYPERLINK l bookmark53 o Current Document 4.1引言214.2连续耦合代数Lyapunov矩阵方程解的上界在一类时滞系统中的应用. 21 HYPERLINK l bookmark63 o Current Document 4.3数值例子24 HYPERL

16、INK l bookmark66 o Current Document 总结与展望25 HYPERLINK l bookmark69 o Current Document 参考文献26 HYPERLINK l bookmark119 o Current Document 致谢30第一章绪论1.1课题的背景来源近年来，网络控制、工业生产、航空航天及动态规划等领域都涉及到控制系统，控 制系统的研究应用得到了学者们空前的关注.在研究控制系统时，人们常常需要考虑和 研究它们的稳定性分析和最优化问题等，而对于这些问题的研究，通常可以转成研究相 应的Lyapunov和Riccati矩阵方程的半正定解和解的

17、性质问题.解决非线性系统稳定性问题的一种有效方法是利用Lyapunov稳定性理论，许多控制 系统中的问题，如控制系统中的稳定性分析，大多情况下都可转化研究相应的Lyapunov矩 阵方程的求解问题.但在实际运算中，Lyapunov矩阵方程的精确解是很难计算得到的， 特别是当矩阵维数不断增大时，求解的过程会更复杂.但是在许多实际问题中，只需 知道Lyapunov矩阵方程的近似解即可.例如时滞系统的稳定性分析，就可以由连续代 数Lyapunov矩阵方程解的界来得到稳定性条件.连续代数Lyapunov矩阵方程解的界可以应用到时滞系统的稳定性分析问题中4, 5, 6.比如在管道中流体的流动和长导线上的

18、电信号传递都会伴随时间的延迟，像含有这 类元素的系统都为时滞系统.实际上，时滞现象在控制系统中是普遍存在，我们所研究 的时滞系统大多是时滞不能忽略的系统，例如国民经济& 9、冷轧机11, 13和交通运 输网络12等.对于时滞系统稳定性分析和鲁棒控制都是近些年学者们所热衷研究的问 题.考虑下面的时滞系统：房(匕)= d).(1.1.1)申即士 (t) = Ax(t) + d).(1.1.2)其中0-hls(t)InA =,B =01&)s2 (七)【n 0j并且Xi(t) e Rn是常数向量，%(t)是关于时间t的函数，正常数d是延迟，矩阵&是 具有恰当维数的常数矩阵.对于上述时滞系统(1.1.

19、2)的稳定性分析，我们可以利用下面 连续耦合代数Lyapunov矩阵方程的半正定解来讨论.A?Pi + 2 di/Pj = Qi,其中i,j e S, S = 1,2, - ,s是一个有限集合，dij是一组实数并且da 。(号7)，E心=0. & Rg是常数矩阵，Q. e Rnxn为对称半正定矩阵，R Gjes是矩阵方程(1.1)的对称半正定解.当s = 1时，上述时滞系统(1.1.2)退化为下面的线性定常系统() = Ax(t),(1.1.3)x(t)为n维状态向量，则对系统(1.1.3)的稳定性讨论，就可以转化为连续代数Lyapunov矩 阵方程的求解问题.在线性跳跃系统的马尔科夫过程中耦

20、合的Lyapunov矩阵方程也有着极其重要的作 用22. J.M已经在文献23中得到线性跳跃系统中耦合微分Lyapunov矩阵方程的精确解， 但是这个解是应用Kronecker积得到的，而这种方法会使矩阵方程的维数增大.在实际 操作中，矩阵的维数越大计算量就会更大，导致方程求解将会更加复杂.对于这一问题， 文献24给出了用迭代降维的两种平行算法来求时间连续和离散的耦合代数Lyapunov矩 阵方程的解.事实上，许多实际问题，只需知道矩阵方程的解的上下界就可以了.故本文 将对连续耦合代数Lyapunov矩阵方程解的上下界进行了推导，并且将它的上界应用到 了一类时滞系统中.1.2本文的主要工作本文

21、利用矩阵的Kronecker积、矩阵逆的非负性、矩阵的恒等变换和矩阵不等 式变换，得到了连续耦合代数Lyapunov矩阵方程半正定解的带有参数的两个上界.并且 对连续耦合代数Lyapunov矩阵方程解的下界也进行了估计.最后，进一步讨论了的方程 解的上界在一类时滞系统中的应用.本文主要内容分为四个部分：第一部分，简要说明了连续耦合代数Lyapunov矩阵方程的背景及来源，且简述了本 文所用的基本符号和相关定义.第二部分，首先利用矩阵的Kronecker积、AI-矩阵逆的非负性和矩阵的不等式，对 连续耦合代数Lyapunov矩阵方程进行变换，并且利用矩阵的恒等变换和正定矩阵的性 质，获得了方程半

22、正定解的含有参数的两个上界.最后，通过数值例子验证了所得结果 的有效性，并且比较了它们的精确性.第三部分，通过构造出连续耦合代数Lyapunov矩阵方程的等价形式，然后利用矩阵 特征值的性质，矩阵的恒等变换，结合矩阵不等式的放缩得到了连续耦合代数Lyapunov矩 阵方程半正定解的下界，并且用具体的数值例子说明了它的有效性.第四部分，根据第二部分得到的连续耦合代数Lyapunov矩阵方程解的上界，结合矩 阵恒等变换和不等式的放缩并且选择合适的Lyapunov函数，得到了使时滞系统稳定的 条件，并用数值例子说明了其有效性.1.3本文所用记号与定义RmXn(CmXn)表示m x n阶实(或复)数矩

23、阵的集合. 欧(顷)表示n维实(或复)数列向量的集合.I：单位矩阵.设矩阵A =(如)e Rnxn,AT-.矩阵A的转置.A-1：矩阵A的逆.A(A) = *(&, A2(A),An(A)表示矩阵A的特征值，且实部有如下序列： Re(XA) ReX2(A) . J?e(An(A)./i(A)：矩阵A的测度，定义为/i(A)=舄(0 + )/2).4 A上)0,说明矩阵A是对称正定(半正定)矩阵.A A ()B,说明矩阵A-B是对称正定(半正定)矩阵.A0,说明矩阵A是非负矩阵，即矩阵A的每个元素都是非负的.A B,代表矩阵A与矩阵B的Kronecker积.定义1设B R” 若其非对角元素都为非

24、正数，则B为Z-矩阵.定义2设A Rg”是Z一矩阵，且A = si - B,其中6 Rnxn是非负矩阵，若 s p(B),则A为M一矩阵.第二章连续耦合代数Lyapunov矩阵方程解的Kronecker积型上界2.1弓I言本章主要讨论下面的连续耦合代数Lyapunov矩阵方程(CCALE)A?Pi + 丹& +：心？3 =(2.1.1)顶卢其中i,j e s, s =- ,4是一个有限集合，dij是一组实数并且da 。(号项)，E心=0. & Rnxn是常数矩阵，Qi e Rnxn为对称半正定矩阵，Pi e Rnxn jes是矩阵方程(2.1.1)的半正定解.当s = 1时，方程退化为CCAL

25、E (2.1.1)的一般形式：P + PA = Q.(2.1.2)本章通过对连续耦合代数Lyapunov矩阵方程的变换，结合矩阵的Kronecker积、肱 -矩阵逆的非负性及正定矩阵的性质和不等式放缩技巧，得到方程半正定解的两个含有 参数的上界.最后用数值例子验证了所得结果的有效性和优越性.引理2.1所对任意对称矩阵X e R,有XnWl 廿 X 廿人 1(X)1.引理2.2叫 设矩阵X,y e Rnxn,且X是半正定矩阵，则U = ytx + xfyo成立当且仅当矩阵(Y + Y)是半负定的.引理2.3冏设A R,户是侃阶实对称矩阵，若A y 0,则+ 方 Y(Y)0当且仅当P h(A)0.

26、引理2.4山，钥设X是Z矩阵，则下列条件等价； X是M一矩阵；XT 0;X的所有对角元素都是正数，且存在一个正对角矩阵D使得XD是严格对角占优 矩阵.引理2.5冏 对于任意对称矩阵AhBi e Rnxn(i = 1,2, ,”)，和非负实常数 Cij 0(?, j = 1, 2, - ,n),如果 & A Bi,则有nn:% % B j.j=ij=l2.2连续耦合代数Lyapunov矩阵方程解的Kronecker积型上界在本节，我们运用矩阵的Kronecker积，矩阵不等式的变换和矩阵及非负矩 阵的性质，得到连续耦合代数Lyapunov矩阵方程的解的上界.最后，我们用一些数值例 子来检验所得结

27、果的有效性.定理2.1设Pt是CCALE(2A：l)的对称半正定解，如果有& + *Y0,(2.2.1)并且F e Rsxs是一个 M一矩阵，则对于任意的正数炫0,其中今 S, Pi有如下上界Pr Y (&一 依/)一7(& + 底/)%(& + 即)(&一 底/广4炫 (&)(& Pui(Ai 庇1)-1 = Pi-(2.2.2)其中S Pui = 9ijQ3。，项=1, 2, , s).(2.2.3)j=i并且，矩阵F和正实数gij分别定义为2/z(Ai)die.dis 、2_2/(&).一奴F =， dsi ds2 .)F_ = G = S).证明：令己+ 一，22/（&）应用引理2.1

28、可得M? + Mi =/+& +用2川（&）I + 人 1（& + A?）Ir 2（&）/2四（&）=0.（2.2.4）我们很容易验证（2.2.5）（& 一照）H& + 庇I） = （& + 炫/）（& 庇1） 1.通过对CCALE (2.1.1)的变形和(2.2.5)式,一2（珞艮）十（一丹）2扁 Qi + YdijPj=2四（&） E珞 + %&）+_2；&）0 + 由*/ = w（a）（&庇wo 汕-&+/V）叩二（&+/） + 2；&） =4/3 /li（A ） （& +。）丁Pui（A + 底/） 4f3i/i（Ai）Pui（& /）（& + 刊汀产 Ri（Ai + 底/）2（& 8

29、i【）T0 + 也冯 +4&必（&）（& + 炫/）（& Si【）TPui（Ai 底/）T（& + 炫/） H2/（A） TOC o 1-5 h z 1=*73（& /） （& + /） （4i /3iI）TPui（Ai /3il）4为口（&）L0 + dijPj -p +三uz_2四（&）=（& 反/）（& +/）（& + 庆1）丁Pui（A + 庇I） + 4庇认APui （& + &/）（& 0iI）T _/4_t刀,i十 时（& + M）（& -归）Qg + dijPj-p m -2/z(A)=(A-即尸(& + 庇 W (_2，&) + gz + RJ2，&) 十 勺(& + 底/)

30、(& 徵广 Qi H-: dj Pj-p m _2四(&).(2.2.6)由定理条件可知Pui是半正定的，根据(2.2.4)式和引理2.2,我们可以得到+ 勺 + 5)-0?因此等式(2.2.6)可以变形为下面的不等式ATA.Qi + EdijPj(2.2.7)Lj(P p. A- (P _ p.* Y _P 2水&)泌g J_2四(&)一 十 _2四(&)，同样地，利用方程(2.1.1)的等价形式，根据(2.2.4)式和引理2.2,有下面的矩阵不等式0 + g djPj-2；&)-司 +0 + di/Pjpa-2心) d A?(Qi + 】由，P，)(Qi + 2 dijPj)Ai0+V-P

31、- +坦+兰5 +_2四(&)+-2四(&)J尹Z(f+m+Q+ # 此)(;+M?(Qi + 2 d访Pj) + (0 + 52顶卢0.(2.2.8)因此有矩阵0 + -2；) _- 0,故有2四(&)只djjPj Qi (i = 1, 2, , s). 顶卢Ti = Qi 2/j,(Ai)Pi +: dijPj 0,申然后，我们有等式2四(&)只2 djjPj = Qi Ti (? = 1, 2, , s).(2.2.9)顶卢即2四(&)Pi di* = Qi Ti,许i2四(&)尸2 d%jPj = Q2 T2,顶尹2(2.2.10)2/z(t4s)Ps dsjPj = Qs Ts.5丰

32、s对于方程组(2.2.10),我们可以写成如下形式(F/)PP2=Q1-T1 Q2 T2,(2.2.11)1 Ps ) Qs Ts )由条件知F是一个M一矩阵，所以F可以写成F = sls- B,其中s B 0. 因此，我们有下面的等式F In = (sis B) 0 In=sis In B 区 In=slsn B In,利用文献18中的定理9.1.13,可以得到p(B用)=p(B), Ai(B In) = AB), (F 0 1沪 =F-1 0 In.因此，F0ln也是一个M一矩阵.将(2.2.11)式两边同时乘以矩阵F-1 /,则变成(R 9ij(Qj - Tj) j=lP2 92j(Qj

33、 - Tj)j=l1 Ps ).52 9sj(Qj - Tj)顶=1Pi = E 9ij(Qj -Tj),j=i因为F是肱-矩阵，由引理2.4可以知道F-1是一个非负矩阵，则有gij 0,=1,2,. ,.s).然后再利用引理2.5,有 0,所以我们可以得到j=iPi 9ijQj = -Puij=l由(2.2.12)式可以得到Pul Pu2= gijQj顶=1s gjQj顶=1= (GM)Q2k Pus )sE QsjQj1 Qs )上式两边同时乘以矩阵(G/n)T = G-1 In = F In,将得到(F In)Pul Pu2=QQ21 Pus )Q s y展开得2/z(Ai)Pwl di

34、jPuj = Qi,许一2“(&)乙2 一 2jPuj = Q2,顶尹2一2由(A、) Pus I dsj Puj Qs 讦S2Ai)Pui ijPuj = Qi-因此Q / +】Puj s(2.2.12)(2.2.13)Pui = = 9ijQj-根据(2.2.12)式和(2.2.13)式，可得Pui +0 + ijPjj/i2四(&)Qi H-1 di,PujY Pui +=0.(2.2.14)现在，根据(2.2.7)式和(2.2.14)式，再利用条件(2.2.1)和引理2.3,可以知道球-Pt 是半正定的，即定理2.1得证.注记2.1从理论上我们可以证明定理2.1中的上界 外 比Rh好，

35、即Pui Y Pui-证明:Pui - Pm=(A- /V)T(& + 照)TPuE + 算)0-反/尸4依 (&)(& Pui(Ai 庆I) - Pui=(& &iI)-T (& + SiI)TPni(Ai _|_ 庇I) - 4庇叭Ai)Pui(& 6J)TPui(Aa- &/)(& 炫/)T=(& -伉I)T 2庇忍Pi + 2庇Pu，A 4(& / aTa .= 一4但但/)庇【)1Y 0.所以，有Pui Pm 注记2.2当s = 1时，矩阵方程CCALE (2.1.1)退化为CALE (2.1.2),并且定理 2.1就变成文献42中的推论3.2.2.显然，定理2.1是文献42中的推论

36、3.2.2的推广.同样地，利用定理2.1中的一些结论，可以得到一个比定理2.1更精确的上界.定理2.2与定理2.1有相同的条件，则Pi有如下上界Pi Y (& 功/)丁 (& +彷/)2(& /) +/)T +/4/z(&)(& I)TPui(Ai /)t(& + 庆I) 4M/z(&)Rg(& - 房/)T证明：令Bi = 2(& /) T + IPui2(Ai 7) 1 + I却(&)(& 1) tPui(Ai - I) *则有P*虹ui(&-&/) (& + 功/)7旦(& +。/)(& -但/) 1 -4底 /(&)(&-Pui(Ai 底/)T.(2.2.15)同样的，根据等式(2.2

37、.15)和不等式(2.2.14),我们可以得到aTa .F了以)+皿)刁切 0 + 如 ijPj2四(&)(舟京 +。京&)+2；&)14/3 甲(Ai)4 即(&)i-QiWP京A 如)一+ /V)P京(& + 伉I)i + 庇 1)丁 Ba(Ai + 底/) 4/?沪(&)R(& (3iI)T(Ai + (3iI)2T Bi(Ai + 庇 I)2(Ai &/)_i0 + ijPj顶卢H2四(&)+4底四(&)(& +，/)(& 炫/) 丁Pui(A -庇1) i(& + 房/) +10 + dijPjj/i2四(&)、(& 一炫/) (&+(A% 庇1)丁B,(Ai - 归)4% 四(&)

38、L(& + /3iI)TBi(Ai + 庇1) + 4庇fi(A，i)Pui (& + 炫/)(& 0 + Pj_P - +m _2四(&)Y (& &i【)T(Ai + 照)T ATA-i Bi + Bi- + Pui (& + (3iI)(Ai 房/)T.L2四(&)2四(&)(2.2.16)根据(2.2.11)式，对矩阵进行恒等变换，可以得到Bi = 2(& -/) T + IPui2(Ai I) 1 +/ 4/z(&)(& /) TPui(Ai I) 1=(& + /)(& /) /)M& + /)切(&)(& I)T Pui(Ai I)-】=(& + /)见(& + /) 4/1(&

39、)贝=峪却(&)见.(2.2.17)其中旻和分别定义为Ui = (& 1)一叩浓(压1) 咯=(& + /)见(& + I).通过(2.2.17)式，可以得出_B. + BH P -2四(4)2四(&)十m1=4?见& A?U UiAi Vi + 咯&) + 2A Ui +2四(&)ATta.r因为矩阵峪是半正定的，再根据(2.2.5)式利用引理2.2,所以有ATJA.J+ 5心顷* +。)叩即4?A刁切民+旦刁衣y+Pw -(2.2.18)将(2.2.18)式带入到(2.2.16)式中，可得2四(&)(P R) + (P二-R)&2/1(4)ATA.(A，i 震) T(Ai + /3iI)T

40、Bi + Bj+/(&+，/)(&_/) 12四(&)2四(&)0.最后利用引理2.3得到R七0.证毕.注记2.3虽然定理2.1和定理2.2的上界的取值都依赖于Pul,但是定理2.2的上 界比定理2.1的上界更精确.证明：根据注记2.1的证明过程，我们易得民土臼坎然后再利用(2.2.15)式，有P：i = (& /V)T(& + /V)民(& + /V)(& 即)t4功 /(&)(& (3iI)TPui(Ai W)_iY (A-/V)T(& + 归)Tp + /V)(& 汕T4庇. (&)(& /3iI)TPui(Ai 庆I)T当S = 1,定理2.1就退化成下面的推论.推论2.1设P是连续代

41、数Lyapunov矩阵方程2.1.2)的半正定解，若A-AT Y 0, 则对于任意的正数&0, P有上界P Y -+- I)T + /g2(A - 1) + /+2(A /) tQ(A Z) 1 (_4 + 以)+ 2/JQ(& /?/) 1.由注记2.1和注记2.2,我们很容易知道推论2.1的结果比文献42中推论3.2.2的结果精确.2.3 数值例子下面，我们将举具体例子说明本文上界的有效性. 例2.1:考虑 CCALE (2.1.1),其中，一61.52 (-4 00、-3 -20、& =0-2 -3,& =0 -31,& =0 -2-11 2.54 -1.5)1 00-Q)1 003)6

42、01、823、(22 2 Qi =0 6 2,6 =2 7 4,Q3 =25 -4(1 2 5 J 3 4 9 ,J4 5,da = 0.2, dij = 0.1(?丰 j),其中 i,jeS = l, 2, 3).通过计算可知矩阵&, &和A3都满足条件(2.2.1),并且由定理2.1可得 TOC o 1-5 h z (0.4840-0.1000-0.1000F =-0.10005.8377-0.1000.I-0.1000-0.10002.5505)显然F是一个矩阵，因此有1.35770.8078-0.6833 0.80782.5365-1.3830-0.6833-1.38302.46951

43、3.0125 0.24142.0361 11.6166 0.3606 0.5371 10.2414 13.2256 3.9977,Pu2 =0.3606 1.4691 0.7300i 2.03613.9977 11.2088 )i 0.5371 0.7300 1.7760 ；Pul =0.77230.4157-0.39160.41571.7844-0.9544-0.3916-0.95441.5832由定理2.1计算得6.7647 -0.6125 0.8113 11.3369 0.3187 0.4240 =-0.6125 9.9513 1.3275，% =0.3187 1.4393 0.6658

44、I 0.81131.3275 8.6377)I 0.4240 0.6658 1.3712)0.62590.2528-0.32700.25281.5487-0.8708-0.3270-0.87081.3946*1 Y P、 ul ulY Pul,5y再经过计算，可以得到Pu2,尸：3P*厂“3再由定理2.2可得3.7014 0.0354 0.0987 11.2363 0.3061 0.3773 1P* rul 0.0354 9.1215 0.4234)ru2 0.3061 1.4319 0.6439、0.0987 0.4234 6.0001)、0.3773 0.6439 1.1710)Y P：3

45、 Y七3,所以 定理2.2的上界要比定理2.1的上界更好，并且它们的上界都好于上界Pui.第三章连续耦合代数Lyapunov矩阵方程解的下界3.1弓I言本节运用矩阵特征值的性质和矩阵的恒等变换，对矩阵不等式进行放缩，得到了一 个连续耦合代数Lyapunov矩阵方程解的下界.引理3.1陟对任意矩阵X e欣x七有ReXX) (X).引理3.2 设X,y e Rnxn是对称矩阵，且1 ?, j 人顶(X) +i + j n + 1,人fi(X + y) 人顶(X) + 人g(X), i + j 从和Mi * * * 如果X七则Ai /i, ? = 1, 2, , n.引理 3.4 闵设 z =- -

46、 - ,xn)T,y = (gi,切，,yn)T 6 R且 N g, A =(a苟)e Rg是非负的，则Ax Ay.3.2连续耦合代数Lyapunov矩阵方程解的下界定理3.1如果有Ai + Y 0,并且H e Ks是一个M一矩阵，则连续耦合代数Lyapunov.阵方程(2.1.1)的半正定解有如下的下界Pib Ph + (& I)(& +(& + /)(& ly1 = P；i.其中Plh H, n分别定义为Pli = 2(& /) (J2 曲以 + 0)(& /)T,顶卢1r/121 .diskT17iH =一21*21, desk?丁2=H_i721 dsiks ds2ks 1)J J *

47、 )ki = 2舄(& /)(& I)-1, 7i = 2An (Ai I)TQi(Ai-n-1证明：对CCALE (2.1.1)进行恒等变换可得(& 已(& /) = (& + /)(& + /) + 2(2 祐P/ + Qi),顶卢由条件4+ A? Y 0和引理3.1,可以知道Ai-I是非奇异的，有Pi = (& - /)(& + /)己(& + /)(& - I)T+2(& n-T(E dijPj + 0)(& I)一顶卢 因为Pi是半正定的，再利用引理2.1,故有Pi 工 2(&/)-djjPj + 0)(4 /)t顶卢2(& 1)项d布舄(P顶)(& I)T顶卢+2(& - I)TQ

48、i(Ai I)- 对不等式(3.2.2)两边同时取最小特征值，通过引理3.3知道不等式仍不变号，再利用引 理3.1得到下面的不等式从(R) 2 裳(&/)-(& 顶卢+2舄(& I)TQi(Ai /)-1,即有*n(Fi) 2An (& /)-(& I)-1 2 dijAn(Pj) N 2人打(& I)TQi(Ai 7)_1.5丰l把我们定义的ki和y代入到(3.2.3)式中得n (。/) kj: dij Xn (Pj ) 2 Ti,展开得舄(Pi) ki dijXn(Pj) 7i, 许i舄(尸2)-炳 助 Xn(Pj) N 72, j2(3.2.4)Xn(Ps) - ks: dsjXn(Pj

49、) Ts 5丰s方程组(3.2.4)的系数矩阵为H,所以方程组(3.2.4)可以写成下面的矩阵不等式HAn(Pi) )pa72l 舄(Ps) * /(3.2.5)由于H是矩阵，根据引理2.4, H是非负的，再由引理3.4, (3.2.5)式等价于Wi) 舄(P2) H_i7172=/ bT2k X(Fs)I % /I C因此有将An(Pi) 匚代入到(3.2.2)式中得Pi 2(& I) d-ijTjl + Qi)(Ai 1) 1 = Pn，顶卢(3.2.6)再根据(3.2.1)式，(3.2.2)式和(3.2.6),式有Pi = (&-/)-(& + /)(&- /)T+2(& IdijPj

50、+ 0)(& /)T顶卢(& /)(& + /)&(& + /)(& /)T+2(& /)_T(+ Qi)(Ai I)T顶卢=R + (& /) (& + /)&(& + /)(& /) 1 (3.2.7) 定理3.1成立.当s = 1时,连续耦合代数Lyapunov矩阵方程(2.1.1)就退化为连续代数Lyapunov矩 阵方程(2.1.2),定理3.1就变成文献39中的定理1,即：推论3.1设P是连续代数Lyapunov矩阵方程2.1.2；的半正定解，则P有下界 P 二 Pio + (A /厂7(4 + I)TPl(A + I)(A /)-1.其中矩阵pl0为Pio = 2(A I) tQ

51、(A I) 1.3.3 数值例子下面我们将给出具体的数值例子来说明本章得到的下界的有效性.例3.1:考虑CCALE (2.1.1),对于1,3 e 1,2,3,矩阵&, 0和常数如与例2.1 中的相同.根据定理3.1计算得到1.0000 -0.0031 -0.0031 H =-0.0040 1.0000 -0.0040.I -0.0086 -0.00861.0000 )显然H是一个矩阵，再通过计算得出丁1 = 0.1424, r2 = 0.2016, r3 = 0.0949.由定理3.1可以计算得Pll =0.33520.27350.27351.03290.1916 0.1518,Pl2 =0

52、.63810.20000.20000.87200.2000 0.41031 0.19160.15180.3561)1 0.20000.41030.4658 )/0.24570.1695-0.2924Pl3 =0.16950.7682-0.6921-0.2924-0.69210.9187/则有0.52920.41390.3554 0.86780.26000.2771、P=0.41391.64130.3218，02 =0.26001.09000.52571 0.35540.32180.6819)1 0.27710.52570.6660 i/0.30710.2387-0.3616P；3 =0.238

53、70.9186-0.8156-0.3616-0.81561.0758/第四章连续耦合代数Lyapunov矩阵方程解的上界在时滞系统中的应用4.1引言对于控制系统来说，稳定性是一个重要的特性，也是一个基本的要求.在实践中，由 于信息的传递，系统元素的自然属性，数据变量的计算等等，现实系统中都存在着时滞 问题.因此，时滞系统在控制系统中常常需要讨论其稳定性问题.本章将利用第二章得到的连续耦合代数Lyapunov矩阵方程(2.1.1)解的上界应用到 上面一类时滞系统中去，得到了这类时滞系统稳定的条件.4.2连续耦合代数Lyapunov矩阵方程解的上界在时滞系统中的应用定理4.1假设存在半正定矩阵0代

54、=1,2, ,s)和实数da 0(?丰顶), dij = 0 ?, j 6 S = (1, 2,.,连续耦合代数Lyapunov阵方程2.1.1)有半正定j&s 解Pt,并且有下面条件成立(4.2.1)Qi + 3 为顶(*)乙4 Y o.则时滞系统1.1.2)是稳定的.箜也 d -0其中=其中fij() = dji , Pui由定理2.1中的(2.2.3)式给出.|0 ,= 0证明：对于时滞系统(1.1.2),我们选择下面的Lyapunov函数P其中矩阵Pi满足方程CCALE(2.1.1),方便起见下面出现的和时分别代替皿和 Xi(t d).现在，使V（T（i）,i）沿着系统（1.1.2）求

55、导得V (冷)*)ss+EE i Pj 工iEE ijXidjXid=1项卢(m(-T _T_T |X2y 1)* , )s )l心)/=1PlP2TX - XPlp2IP，)IPs X0九21（匕）尸2 hsl(t)PsX4)九 12(t)Pl0 hs2(t)Ps、九 ls(t)R九2s （匕）尸20 Jxs)珥，珥,TXsPMi尸2&T12PSAS /0(x ld+ （奸，珥,，z?)九 21(t)P20-. h2s(t)P22dI hsl)Pshs2(t)Ps 0jI ) TOC o 1-5 h z ss+EE dij 工 i Pj 工 iEE ijXidjXid。=1。=1ssssXi

56、 & Pii + ijXi PjXi i= 1i= 1i=l jii= 1 jiT TTld “2d，TXsd %（配勺5丰1E 勺顶尹2TXs:hjs(t)PjWj详s %(t)Pmd 祚iE h2i(t)P2xid澎2I hsi(t) Pid详s/sssss布心+ EE dijX PjXi EE dnxldPJxid i=lz=li= 1 jii=l jiss+EE w?d&(t)p，wj + EE * j 营(七)Pj % id4=1顶=1ssssi 4/ P/Mi + i i + EE dijX PjXi EE ijXidjXid i=li=li= 1 jii=l jiss+EE g?

57、d&(t)Pj勺 + EE 工/ hji(t) Pjxid”=1=1ssi (4/ P, + PiA+: dij Pj) i 一: ij idPj id=1ji=1 ji,b b _T 灭(t) D | b b TD _十 )xid ry- jxj 十 )xj rr jxidi=l j/iVaiji=l jiZaijssi (4/ Pi + P/A/ +由分 Pj)工 i 一 ij id id=1ji=1 ji+y? y?日护?dP舟d+52 52月勺i= 1 jii= 1 j 主i$ 人2 (4/ Pi + PAi + djPjXi + -F必/i=lj 卢i=l ji 前 珥(-0 + 5

58、Z )Pui)$ii=lji dji0.故时滞系统(1.1.2)是稳定的.注记4.1在定理4.1的证明过程中，要求di30.当曲=0时，我们令函数 项)=0即可.并且当函数项(七)趋于0时，不等式(4.2.2)总是成立的.我们在第二章中得到连续耦合代数Lyapunov矩阵方程(2.1.1)的半正定解的上界 Pui和P：i都比上界Pui要好，因此，用上界Pui或P：i替换定理4.1中条件(4.2.1)的 上界Pui时，定理4.1的结论也是成立的.4.3 数值例子在下面，我们给出例子来说明使时滞系统的稳定的条件是存在的.例4.1:考虑例2.1的时滞系统，我们选择函数ht)=苦e-* t e 0,+

59、oo),明显 hij(i) E (0,苦.令=苦，根据定理4.1,可以得到-0 + (笋+普而口21口31-6 + （筝+筝而12口32-Q3 + （筝+筝）七3给 3口23-1.37340.0858-0.27610.0858-1.2976-0.5786-0.2761-0.5786-1.0146-7.4252-1.8718-2.8090-1.87186.4777-3.7404-2.8090-3.7404-8.3685 1.5173-1.71281.7571-1.7128-4.09813.50831.75713.5083-4.1220Y0,Y0,Y 0.则满足条件(4.2.1).因此，在这个例子

60、中时滞系统(1.1.2)是稳定的.总结与展望矩阵方程在网络控制、工业生产、航空航天、动态规划以及随机过程等领域均有广 泛的应用.在研究设计这些控制系统时，人们必须要考虑研究系统稳定性分析和最优化 问题，在大部分情况下，研究控制系统的这些问题都可转成研究相应的矩阵方程的半正 定解问题.因此，对矩阵方程解的研究无论是在理论方面，还是在实际应用方面都有着 重要价值.在前人的研究基础上，本文首先利用矩阵的Kronecker积、矩阵逆的非负性以及 矩阵不等式的变换，得出了连续耦合Lyapunov矩阵方程解两个带有参数的新的上界.又 通过对矩阵特征值的性质的应用和矩阵不等式的放缩，得到了连续耦合Lyapu