初等数学与高等数学衔接问题的研究

1、甫京瘁靠大擘教育硕士学位论文初等数学与高等数学衔接问题的研究一以微积分为例研究生：指导教师：杨作东教授培养单位：教师教育学院专业学位领域:学科教学（数学）完成时间：2018年3月20日答辩时间：2018年5月26日学位论文独创性声明本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作和取得的研究成果。本论文中除引文外，所有实验、数据和有 关材料均是真实的。本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人 或其它机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究所做的 贡献均己在论文中作了声明并表示了谢意。学位论文作者签名：期人日 期：皿学位论文使用授权声明研究生在校攻读学位期间论文工作的知

2、识产权单位属南京师范 大学。学校有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或上网 公布本学位论文的部分或全部内容，可以采用影印、复印等手段保存、 汇编本学位论文。学校可以向国家有关机关或机构送交论文的电子和 纸质文档，允许论文被查阅和借阅。（保密论文在解密后遵守此规定）保密论文注释：本学位论文属于保密论文，密级：尤而保密期限为年。学位论文作者签名:指导教师签名:件日期：叫厂摧日 期：M.e摘要21世纪中国基础教育体系内的改革稳定而受关注，体系之间的教育衔接研 究却没有受到足够的重视。初等数学和高等数学的衔接暴露出一系列的问题并影 响到了大学生学习高等数学。本文从当前初等数学与高等数学衔接的现

3、状出发, 运用文献分析法对微积分教学内容进行分析后，发现了两处问题：第一，初、高 等数学在教材呈现方面，高中数学教材生动活泼，栏目多样，富有现实性和趣味 性，高等数学教材呈现形式单一，编排时忽略学生学习时的心理，建议高等数学 教材在编制时能够加强与现实生活的联系，设置丰富的栏目引导启发学生学习。 第二，初、高等数学函数、导数内容存在重复现象，三角函数和不等式内容存在 脱节现象，建议高中数学教材在编制时多设置链接、阅读栏目，高等数学教材设 置预备章节以做好衔接工作。针对具体实践教学的衔接研究,高中部分运用了测试的方法，发现两处问题: 第一，课时数与高考的限制导致教师在教学过程中把更多的课时数放在

4、习题的求 解上，导致学生只会机械地解题，对导数概念的理解较为片面，建议对高中生数 学水平的评价能有更加完善的评价制度取代高考的“一刀切政策。第二，没有 将多媒体技术和微积分教学紧密结合起来，建议教师利用信息技术的可视化优势 进行微积分教学。大学部分通过对大学教师的访谈发现：第一，大学教师不熟悉 高中课程，建议对大学里讲授高等数学的教师进行衔接培训。第二，高等数学的 课堂容量大、学业紧，学生在初学期间难以适应，建议大学教师要重视情感因素 对概念学习的影响，注意循序渐进的教学原则和及时的课堂反馈。最后，为了使研究成果更为具体，本文给出了高中微积分初步中“导数的概 念” 一课时的衔接教学设计实例。关

5、键词：初等数学；高等数学；教育衔接；微积分AbstractAbstractIn the 21st Century, the reform of Chinas elementary education system is stable and concerned. However, the study of the connection of elementary education and higher education is somehow neglected. A series of problems sprang up in the connection of elementary m

6、athematics and higher mathematics and have effected college students, learning higher math. This paper starts from present education situation of our junior math and senior math. It analyses calculus course content with the research method of document analysis and finds out two problems: first, the

7、presentation of textbooks differs. Textbooks of high school math is vivid, realistic and various in columns while those of higher math is single and overlook students* learning psychology. It is suggested that textbooks of higher math should strengthen the connection with real life and set more colu

8、mns to enlighten students5 learning. Second, there is poiyisomenism in functions and derivatives and disjoint in trigonometric functions and inequalities. It is suggested that textbooks of high school math should set links and reading columns while textbooks of higher math should set preparatory cha

9、pters.As to the study on the connection of practice teaching, it uses the research method of test in high schools and finds out two problems: first, with the limit of time and college entrance examination(CEE), teachers put more hours in teaching how to solve problems which causes students to solve

10、problems mechanically instead of understanding the concept of derivative comprehensively. It is suggested that the evaluation system of high school students math level should be improved to replace CEE. Second, teachers foil to teach calculus with multimedia technology and they are suggested to use

11、the advantage of information visualization while teaching calculus. Through interviews with college teachers, it finds that first, college teachers are unfamiliar with high school courses and it is suggested that teachers who teach higher math should attend lectures on teaching link. Second, the cla

12、ss capacity of higher math is large and tight. Students are difficult to adapt courses during the early period. It is suggested that college teachers should pay attention to the influence of emotional factors on concept learning, and take notice of gradual teaching principles and timely classroom fe

13、edback.Finally, in order to make the research results more specific, this paper gives an example of teaching design of the concept of derivative in the preliminary calculus of high school.Key words: elementary mathematics; higher mathematics; education connection; calculus TOC o 1-5 h z HYPERLINK l

14、bookmark16 o Current Document 摘要 IAbstract II目录 HI HYPERLINK l bookmark19 o Current Document 第1章绪论 1 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 1.1问题的提出 11.2文献综述 31.2.1国外部分31.2.2国内部分 5 HYPERLINK l bookmark31 o Current Document 第2章初等数学与高等数学的关系7 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 2.1初等数学与高等数学的划分

15、 7 HYPERLINK l bookmark41 o Current Document 2.2初等数学与高等数学的研究对象不同 8 HYPERLINK l bookmark44 o Current Document 2.3初等数学与高等数学学习的侧重点不同9 HYPERLINK l bookmark47 o Current Document 第3章高中数学和高等数学微积分教学内容的衔接10 HYPERLINK l bookmark50 o Current Document 3.1高中数学微积分初步的教学内容10 HYPERLINK l bookmark53 o Current Documen

16、t 3.2高等数学微积分的教学内容14 HYPERLINK l bookmark56 o Current Document 3.3高中数学与大学数学内容的关系 15 HYPERLINK l bookmark63 o Current Document 3.4内容衔接出现的问题及解决策略203.4.1教材呈现方式的不同203.4.2知识点的重复与脱节23 HYPERLINK l bookmark69 o Current Document 第4章微积分衔接教学理论基础27 HYPERLINK l bookmark72 o Current Document 4.1过程对象的两重性理论 27 HYPER

17、LINK l bookmark75 o Current Document 4.2 Procept 理论 28 HYPERLINK l bookmark81 o Current Document 第5章高中数学和高等数学微积分实践教学的衔接 30 HYPERLINK l bookmark84 o Current Document 5.1高中数学微积分实践教学现状 305.1. 1对导数教学情况的测试与分析 30 HYPERLINK l bookmark99 o Current Document 5.1.2问题分析与解决策略 34 HYPERLINK l bookmark96 o Current

18、Document 5. 2高等数学微积分实践教学现状 385.2.1访谈设计385.2. 2问题分析与解决策略 39 HYPERLINK l bookmark102 o Current Document 5. 3微积分衔接教学设计实例展示.41参考文献50 HYPERLINK l bookmark139 o Current Document 致谢 52 HYPERLINK l bookmark142 o Current Document 附录1测试卷 53 HYPERLINK l bookmark166 o Current Document 附录2访谈实录 55第1章绪论1.1问题的提出21世

19、纪是教育改革的高峰期，本世纪初的基础教育新课程改革使我国的应 试教育开始向素质教育过渡，以适应社会的快速发展。在多年的探索与实践中， “新课程改革”取得了累累的硕果，一个典型之处就在于更加注重学生在教学过 程中的主体地位，无论是在目标的设置还是具体的教学环节上都体现了“以生为 本”的理念。我国的基础教育包括幼儿教育、小学教育、普通中学教育（初中、 高中），基础教育课程改革紧紧地围绕中小学教育展开，可以说中小学教育是一 个体系。体系内的改革必然会对教育衔接进行思考，初中教育和小学教育同属于 义务教育阶段，二者之间衔接的紧密性不言而喻，而高中课程的制定又是以初中 课程为基础的，因此整个基础教育体系

20、内的教育衔接既稳定又容易受到足够的关 注和重视。反观高等教育，尽管其改革也在进行中，但基本上也都是高等教育体系内的 改革，落脚点在于培养更优秀更符合市场需求的就业人才。而我们知道，高等教 育是以基础教育为起点的，高考的“一刀切”评价制度无形中已经在人们心理上 切断了衔接基础教育与高等教育的纽带。如果基础教育的改革忽略了学生进入高 等教育后所要学习的内容，高等教育的改革又不以基础教育为出发点，很容易造 成“空中楼阁的现象，高考这样一项选拔人才的制度只是提供了入学的门槛， 并不能给学生提供跨过门槛的阶梯。基础教育与高等教育的衔接不当导致的结果 就是高中毕业生难以适应大学学习。苏联教育学家维果斯基提

21、出过最近发展区理 论，在任何时候，当前的学习总是在以往学习的基础上进行的，大学新生学习的 不适应正是最近发展区的缺失导致的。数学是培养学生逻辑思维能力的重要学科。从小学阶段开始一直到高中，数 学在众学科中始终占有无法撼动的地位，是基础教育阶段人人都必修的学科，是 物理、化学等自然学科的基础学科。在高等教育中，高等数学（包括线性代数、 概率论和数理统计）也是绝大部分大学生的必修课之一。从现状来看，很多学生 （无论是大、中、小学生）都觉得自己的数学成绩不尽如人意，很少有学生能够 自信地说自己擅长数学。中小学教师对学生学习的把控力度比较多，因此学生学 起来起码知道努力的方向，而一旦进入高等数学的学习

22、，很多学生感到心有余而 力不足，找不到正确的方向，甚至产生了明显的脱节。这是由多方面的因素引发 的：1、前文已经提及，基础教育改革和高等教育改革各自为营，缺乏沟通与联 系，导致初等数学与高等数学内容上衔接不到位，产生学生知识上的断层，学生 在学习高等数学时缺乏初等数学应有的知识作为最近发展区，所以感到学起来吃 力。初等数学应该以什么内容为终点，高等数学又以什么内容作为起点，这是研 究数学教育衔接的重要内容之一。2、初等数学与高等数学在思想方法上既有联系也有区别。初等数学以静态、 有限的眼光看待问题，而高等数学以动态、无限的眼光看待问题。动态、无限又 是建立在静态、有限的基础上的，因此数学思想方

23、法观念的转变也是学好高等数 学的重要因素。任何观念的转变都不是一蹴而就的，都存在一定的过渡期，思想 方法又不同于客观的知识，它的渗透需要时间的积累，因此如何在思想方法上做 到良好的衔接也是一个研究的点。3、教学是学生学习数学最重要的环节，教师在教学过程中起主导作用，学 生是教学的主体。因此要做好初高等数学的衔接，教师的教学这块也要下功夫。 这设计到两方面，一方面中学教师要能“高瞻远瞩”，不以仅仅完成初等数学的 教学任务为目标,要在自身了解高等数学的基础上逐步向学生预告高等数学的内 容与思想方法。另一方面，大学教5要能“放低姿态，在充分了解学生初等数 学学习了哪些知识的基础上进行高等数学的教学。

24、2018年，更新一轮的数学课程改革即将到来，本文就对当前初等数学与高 等数学衔接方面还存在的问题做出了分析，并提出了一些自己的看法与建议。由 于篇幅有限，本文只研究高等数学中微积分课程与高中数学的衔接问题，为了使 研究更加的具体，研究的范围限定在微积分中定积分内容之前（包括定积分）。1.2文1.2.1国外部分1.2.1.1国外微积分谋程改革现状英国：英国没有全国性的高中数学课程，英国Edexcel考试委员会制定的A-Level 考试大纲实际上起到了高中数学教学大纲的作用。考试的具体内容除了欧氏几何 外涵盖了我们所熟悉的初等数学内容，对许多内容的要求比我国的数学课程更高。 例如，在A-Level

25、第一阶段考试AS阶段己经涉及到数列和级数，微分和积分的 知识；对于选修“进一步的纯数学”的学生，在第二阶段A2考试内容中还涉及 微分方程，麦克劳林和泰勒级数。由此可见英国中学课程的知识范围之广，在必 修阶段己经开始从初等数学过渡到高等数学，在选修阶段相当于在读大学预科课 程。SMP教材（英国中学数学教材）特别注重两点：第一是在知识讲解之前为学 生提供思考的机会,让他们在求知的状态下进入学习，一方面为后面的知识作铺 垫，另一方面让学生通过独立思考进入一种解疑、求知的状态；二是形式化的定 义经过数次铺垫才给出。例如导数的形式化定义，是从平均变化率开始，逐级设 疑，步步上升，多次采用数值方法让学生体

26、会逼近的过程、感受逼近的思想，从 而一次次地为极限方法奠定感性基础。：法国：20世纪40年代，布尔巴基斯学派提了按照结构主义思想改革数学课程的主 张，强调中学数学教育的现代化。20世纪六七十年代，这样的改革主张成为法国 数学教育改革的主导思想。法国普通高中数学课程特别重视函数、微积分、向量 以及概率与统计的教学，很多知识的编排采用了螺旋上升结构。例如：学生在高 一高二己经学过了函数、数列、导数等知识，高三的课程内容在回顾这些基本知 识后又增加了数列和函数的极限、连续性用语和变化的刻画、中值定理、导数和 积分、微分方程等更高难度的内容。从中可以看出法国高中理科数学课程在高三 以学习新知的方式复习

27、旧知，与此同时将初等数学过渡到高等数学，这一点非常 值得借鉴。此外他们还非常注重先进的数学思想方法的作用。例如，他们用微积 分为工具研究指数函数和对数函数，这正是克莱因所极力主张的做法。美国：美国全国数学教师委员会(National Council of Teachers of Mathematics, 缩写为NCTM)的中学数学课程与教育标准(NCTM1989)建议：912年级的数学课 程应该包含从图像和数值两个角度非形式化地探索微积分概念的过程。NCTM的 课程标准强调了帮助学生建立数学表示间联系的重要性;微积分中最相关的联系 是函数的解析表示和图像表示之间的联系，强调从图像和数值两个角度

28、非形式化 地探索微积分概念的过程，激发学生“通过解决问题情境”来获得深层次的理解， 可以让学生从表格和图像两个方面获得探究函数、导数概念、积分概念的机会， 这样就可以鼓励他们清楚地处理形式化概念和他们自我概念之间的矛盾。教材采 用做研究的方法引领学生从提出问题T原有相关知识的检索T确定作为“突破口” 的想法T讨论实现此想法的途径、步骤T具体例子的实践检验T抽象的数学定义。 特别是它将“思想、步骤、方法”都明确化，即不是隐于编者头脑或内容中，而 是让学生也清楚并且要求学生自己也做一做。俄罗斯：俄罗斯是世界数学强国，数学教育水平很高。我国中小学数学教育在20世 纪50年代后曾受俄罗斯(苏联)的深刻

29、影响。俄罗斯在20世纪末又进行了新一 轮的数学课程改革，1999年下达了中学数学教育必须学习的最少内容，其中 最显著的是“数学分析初步”这部分内容，包括了数列极限、函数的连续性、导 函数、牛顿一一莱布尼茨公式以及最优解等高等数学的内容。1.2.1.2国际会议对初高等数学衔接的关注20世纪末，对“高中、大学数学学习的衔接问题”受到了国际数学教育委员 会的关注。1997年11月国际数学教育委员会在英国举行了讨论会，主题是关 于“大学数学教与学的问题”，会上讨论了中学到大学的过渡以及中学和大学之 间的关系、改善大学数学教师的培训的方法，列出了一些感兴趣的问题，如“对 学习过程的本质的洞察对不同年级可

30、能是不同的吗？对中学适宜的理论也适宜 于大学吗？”，“什么样方式的教学变化可以顾及学习者的不同的基础、能力和兴 趣？”等。1998年12月又在新加坡召开了主题为“大学阶段的数学教学”国际 研讨会，会上进行了 “中学向大学的过渡”的主题研讨。刘丽芳、高岩在2011年教育科学与管理工程国际学术会议汇报了影响初、 高等教学衔接问题构成因素的调查研究，通过问卷调查归纳出影响初、高等数学 教学衔接的主要因素：教师的教学能力及个人素质，学生的数学学习观，学生的 学习基础与能力，初、高等数学知识的连接设置。并针对这些建议提出了做好初、 高等数学教学的建议：关注高中数学课程改革，采取合理的教学策略；加强数学

31、思想方法的教学，体验高等数学的本质；帮助学生树立正确的数学学习观，注重 学习方法的指导。1.2.2国内部分1.2.2.1我国中学微积分课程改革1958年，李善兰和伟列亚力翻译代微积拾级，将微积分学传入中国，这 时离微积分的创立已经近200年。在我国，中学课程中微积分内容的设置几经周 折。1987年制定和试行的全日制十年制学校中学数学教学大纲（试行草案） 中，首次将微积分的内容纳入高中阶段的数学课程，并从1983年起列为较高要 求教学纲要的必学内容。但由于微积分的内容未能列入高中数学教学纲要的基本 要求范围，再加上全国高考并未将其列入考试内容，所以微积分内容并没有进行 课程实施。2000年和20

32、02年两次重新修订教学大纲，都将微积分内容列为选修 课程，并列为全国高考考试内容，2003年普通高中数学课程标准（实验）又 将微积分内容列为选修模块。2017年普通数学课程标准将选修课程分为 A,B,C,D,E五类，其中A类课程（供有志于学习数理类学生选择），B类课程（供 有志于学习经济、社会类和部分理工类学生选择），E类课程中的大学先修课程 都涉及到了微积分的内容。1.2.2.2高中阶段微积分课程与教学研究宋宝和、郭兆明和房元霞认为，变化率思想是高中微积分课程的核心。宋宝 和、房元霞认为2003版的普通高中数学课程标准（实验）的微积分设计逾越 了形式化极限概念学习的障碍，学生接受新的微积分课

33、程设计，而且表现出了积 极的学习态度，尤其对导数的广泛应用性具有浓厚兴趣;但教师对“无极限导数” 表现出较大的不适应。段碧在对高中生导数概念认知情况进行问卷调查后认为，学生可以在学习导 数前不系统地学习极限理论，但是教材可以通过穿插数学史的方式让他们了解导 数概念在历史上逐渐科学化的发展过程，这有利于帮助加深对极限思想的认识, 同时也能体现微积分的文化价值。秦德生通过大量调查得出：高中导数概念的教 学以直观为主，不适宜形式化概念教学；瞬时速度是学生理解导数概念的基础, 是实施导数概念教学的有效“平台”；高中阶段适合利用物理背景讲授导数，而 不适合通过极限进行导数教学。彭顺英指出了现行高中微积分

34、课程中存在的一些问题，如与信息技术的整合 度不够高，“探索与发现”等新增栏目的使用率不高。同时她也提到了高中微积 分内容和高等数学微积分内容的衔接，大学微积分教材没有在中学教材变动的基 础上进行调整，导致了部分教学内容的重复。1.2.2. 3初、高等数学的衔接研究柴俊、陆竞、俞曼通过对华东师范大学、杭州师范大学、南通师范学院数学 系大一学生基础课程学习成绩与高考数学成绩的相关性调查，发现其相关系数很 小，其原因之一是高等教育与中学教育缺乏衔接，大学与高中数学教师在教法上 存在着反差，使一些学生无法适应高等数学的学习。罗卫华、王新民对高等数学与中学数学知识衔接性现状进行了调查，总结了 高等数学与

35、中学数学知识重叠和断层两方面。知识重叠包括：简单函数的极限， 导数的定义、几何意义和导数公式，导数的应用以及空间解析几何部分。知识断 层包括三角函数中的积化和差、和差化积、万能公式，反三角函数，极坐标、球 坐标、柱坐标变换，双曲函数、反三角函数，二项式展开定理，数学归纳法。季素月，钱林通过对学生学习状况的调查和个案分析，发现学生学习高等数 学普遍感到困难，多数学生将数学与解题划上等号，学生的学习动机不强烈、学 习目标不明确，学生对高校老师教授方法的不适应等。童雯雯认为高等数学难学的原因在于高中教材和高等数学教材的内容不连 贯，初、高等数学的思维模式不同，高中教师和大学教师的教学方法不同，学生

36、学习的方法也不同。苏德矿认为，要想做好高等数学与中学数学教学的有效衔接，高等数学第一 课很重要，教师要讲清高中数学与高等数学的联系与区别，对高等数学的课程做 概貌性地介绍，告诉学生学习的方法和课程中最基本和最难的章节，培养学生课 前预习课后复习的良好学习习惯。沈柳平从学生的心理角度研究大学数学与中学数学教育衔接中的瓶颈，认为 大学生的心理冲突和角色冲突导致了他们在学习高等数学时产生了一系列的问 题。想要解决好这两个冲突，教师首先要通过摸底测试和调查查询的方式了解学 生的水平，其次要提高大学生对高等数学学习重要性的认识，消除高考后的怠慢 情绪，再次要经常组织一些学习经验交流会，引导学生走向正确的

37、学习方向。1.2.2.4 小结上述对于高中阶段微积分的研究基本上未能延伸到衔接的范畴，对于初等数 学与高等数学衔接的研究，多数学者都从高等教育的角度出发，研究如何能让大 学新生能够适应高等数学的学习，很少有人能对两方面进行系统的整合。从研究 方法来看，多数学者在研究衔接时都采用较为单一的文献分析法，没有实际去调 研当前的课堂教学现状和学生认知现状。很少有人能够深入到高中教学一线去调 查研究这个问题。因此，本文希望能借鉴前人研究的基础，从以上两个方面做一 点突破和创新。第2章初等数学与高等数学的关系2.1初等数学与高等数学的划分既然要研究初高等数学的衔接，就不得不对初高等数学的划分有个说明。查

38、阅数学史可以发现，没有一本书会明确指出这二者之间的界限，因为数学本身就 是一个系统,无论是其内容还是思想方法都不是一蹴而就地从初等跳跃到高等的。 只能说某一个概念或者定义的产生为后续一连串新的数学理论奠定了基础。但我 们可以从各数学史书籍对于数学时期的划分中端倪出一些有助于研究的结论。李 文林在数学史概论中将数学史作了如下划分：数学的起源于早期发展（公元前6世纪前）初等数学时期（公元前6世纪一16世纪前）近代数学时期（或称变量数学建立时期，17世纪一18世纪）现代数学时期（1820现在）李文林.数学史概论M.高等教育出版社，2011:144-196.综合其他学者的看法，现如今将16世纪以前的数

39、学称为初等数学，16世纪 以后的数学称为高等数学。在16世纪以前,人们研究的数学是常量数学，而近 代数学在本质上可以说是变量数学，变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明, 因此可以说，解析几何的诞生拉开了高等数学的序幕。解析儿何是代数与几何相 结合的产物，它将变量引进了数学，使运动与变化的定量表述称为可能，从而为 微积分的创立打起了舞台。微积分的创立被誉为“人类精神的最高胜利，在18 世纪，微积分进一步深入发展，与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许 多数学新分支的产生，从而形成了 “分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明 特点的数学领域。因此，微积分的诞生使得数学领域正式进入了高等数学时

40、期。从我国的数学教育角度来看，理工各类专业的学生在高校都会学习“高等数 学”的课程，因此会习惯性地将中小学所学的数学称为“初等数学”。事实上， 亦有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学 的说法。从普通高中的数学教材中我们也可以发现上述“解析几何”以及“微积 分”的内容。因此，不管分类如何，高中数学始终是处于初等数学向高等数学过 渡的时期，也就是本文要研究探讨的“衔接”问题，为了使研究更为深入，本文 将研究范围限定在微积分中导数、积分及其之前内容的衔接。2.2初等数学与高等数学的研究对象不同如上文所言，初等数学的研究对象是常量，高等数学的研究对象是变量。因 此初等数

41、学用有限的眼光看待问题，高等数学用无限的眼光看待问题。函数是变 量数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志。但是从中小学教材来分析， 函数的概念早在初二的时候就出现了，那是否意味着初二数学就已经开始进入高 等数学的范畴了呢？答案是否定的，函数的定义在数学史上经历了三百年的锤炼 至今仍在不断完善之中。初中生所接触的函数定义从高等数学的角度来看是片面 的，它是一种简单对应关系，例如y = x + l这个函数，当工取1的时候，y取2, 尽管x和y可以取不同的值，但每次所取的值是两个常量，因此初中数学所学的函 数并不能严格地归入变量数学的范畴。高中数学在集合论的基础上重新定义了函 数，它相较初中数学

42、而言更加突出了映射，更为接近现代数学对函数的定义。在 学习导数的过程中我们会发现，“求导”其实就是一种映射。“求导”的对象是一 个函数，而函数本身就是在变化的，“求导的产物同样是一个函数，它也是一 个变量。高等数学所谓的研究变量就是在研究对象本身就是一个变量的基础上， 在继续研究它的变化过程。当然“求导只是一个最基本的例子，更为复杂的例 子还有很多，比如函数列的极限。数列极限的变化过程是不难理解的，因此数列 的每一项都是一个常量。而函数列的每一项自身就是一个不断变化的函数，要把 这样一个变量看作一个整体研究它的变化过程就不那么容易了。因此，与其说高 等数学的研究对象是变量，不如说高等数学的研究

43、对象是变量的变化过2.3初等数学与高等数学学习的侧重点不同初等数学的学习侧重于理论的应用，关注数学的结果。高中教材中很多的定 理都是由直观感知归纳而来的，甚至很多定义、定理在叙述时都是用模糊的文字 语言代替严谨的数学语言。例如极大值和极小值的定义，中学教材仅用“比它附 近点的函数值都要大”来完成定义，而高等数学教材中则用数学语言“邻域来 定义。高中生轻视定义是一件十分普遍的事，即便它们不能够回忆起定义内容， 仍能解决大部分的题目，而大学生如果忽视定义的存在往往会发现在解题时寸步 难行。谈及极大值极小值问题，中学生学习的最多的就是给定一个函数，如何去 求它的极大值和极小值。这就涉及到了著名的费马

44、定理，中学生通过对函数图像 的直观感知得到极值点处的导数为0,从而获得了费马定理，他们并不关心这个 定理的证明（在现有知识的条件下也无法完成证明），甚至他们都不知道这是一 个定理，理所当然地认为这是正确的，能够直接应用的。而高等数学的学习则侧重于理论的证明过程，每给出一个定义，结合已有的 数学理论，都能够延伸出许多的定理，这些定理也许有很多已经通过直观的感知 获得了，也已经被广泛应用了，但高等数学的学习正是要研究这些定理的“来龙”， 在用数学语言描述问题的过程中，学生的思维能够更接近数学的本质严谨的 逻辑，因此在高等数学的学习中会认为费马定理的证明过程比其应用更为重要。 当然这样的数学学习过程

45、并不是无意义的，学生在研究过程中能够发现数学理论 的高度统一和数学研究方法的高度统一，从而派生出更为复杂的理论，自然也能 够得到更为广泛的应用。第3章高中数学和高等数学微积分教学内容的衔接3.1高中数学傲积分初步的教学内容根据中华人民共和国教育部2011年颁布的普通高中数学课程标准，数学 课程框架在总体上分为必修与选修两块。必修课程是每一个高中生都必须学习的 数学内容，包括5个模块，如下表所示：表3.1普通高中数学必修课程目录必修1第1章集合第2章函数第3章指数函数、对数函数和幕函数必修2第1章立体几何初步第2章平面解析几何初步必修3第1章算法初步第2章统计第3章概率必修4第1章三角函数第2章

46、平面向量第3章三角恒等变换必修5第1章解三角形第2章数列第3章不等式对于选修课程，学生可以根据自己的兴趣和对未来发展的愿望进行选择。选修系 列课程由系列1,系列2,系列3,系列4等组成。系列1是为那些希望在人文、 社会科学等方面发展的学生而设置的，系列2则是为那些希望在理工、经济等方 面发展的学生而设置的。系列3和系列4是为对数学有兴趣和希望进一步提高数 学素养的学生而设置的。从高中实际教学情况来看，绝大多数学校的文科生和理科生都要学习必修的 5个模块，文科生选修系列1的所有课程，理科生选修系列2的所有课程并在选 修4系列的4-1, 4-2, 4-4, 4-5中任选两门学习。由于多数文科生在进

47、入高校 后不学习高等数学的内容，因此本文主要研究理科生学习的数学课程的衔接，具 体课程框架如下表所示：表3.2普通高中理科生数学课程普通高 中理科 生数学 课程必修模块必修1必修2必修3必修4必修5选修系列选修2-1选修2-2选修2-3选修4-1选修42选修4-4选修4-5（4 选 2）其中与本文研究范围的微积分衔接紧密有关的内容如下表所示:表3. 3高中微积分衔接内容教材（以苏教版为例）内容课时数必修11集合1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集2函数2.1函数的概念2函数的简单性质3映射的概念3指数函数、对数函数和幕函数3.1指数函数2对数函数3.3 5函数36课时3.

48、4函数的应用必修41三角函数L1任意角、弧度1.2任意角的三角函数1.3三角函数的图像和桂质 3三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.2二倍角的三角函数3.3几个三角恒等式24课时必修52数列2.1数列2. 2等差数列2. 3等比数列3不等式3.1不等关系3.2 一元二次不等式3.3二元一次不等式与简单的线性规划问题3.2基本不等式28课时选修2-21导数及其应用：1.1导数的概念1.2导数的运算1.3导数在研究函数中的应用1.4导数在实际生活中的应用1.5定积分24课时集合：集合论是德国数学家康托尔在19世纪末创立的，集合语言是现代数学的基本语言。使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的

49、一些内容。高中数学课程 只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言表示有关的数 学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。函数概念与基本初等函数I：高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言 刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课堂的始终。学生将学习指数函数、 对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的 过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和 处理现实生活和社会中的简单问题。学生还将学习利用函数的性质求方程的近似 解，体会函数与方程的有机联系。三角函数与三角恒等变换：三角函数是基本初等函数，它是

50、描述周期现象的重要数学模型，在数学和其 他领域中具有重要的作用。学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三 角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。三角恒等变换在数学中有一定 的应用，同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。学生将运用向量方法推导 基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这 些公式进行简单的恒等变换。数列：数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。学生将通过对 生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并 掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用他们解 决实际问题。不等式：不等关系

51、与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。 建立不等观念、处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。学生将通过具体情 境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对 于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决 一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二 元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间 的联系。导数及其网，导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。 学生通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解 导数概念，了解导

52、数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积 分的概念,为以后进一步学习微积分打下基础。学生将体会导数的思想及其丰富 内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。3.2高等敷学微积分的教学内容高等数学教材的编制不像中小学数学教材的编制，有课程标准文件作为 指导。根据所能查阅到的资料，1977年高等学校理科数学教材大纲讨论会制定 了数学分析大纲，1980年在上海举行的高等学校理科教材编审委员会审订了 数学分析大纲，华东师范大学数学系所编的数学分析第四版（上册）， 本教材正是根据以上两本大纲编写的。同济大学版的高等数学第七版（上册） 是根据教育发布的工科类本科数学基础课程

53、教学基本要求编写的，其应用十 分广泛，绝大多数高校的理工科专业都以此为教材。由于数学分析第四版（上 册）（下面简称数学分析）和高等数学第七版（上册）（下面简称高等 数学）的内容都恰好包含了定积分，与高中数学微积分初步的内容衔接紧密， 因此本文以研究数学分析教材为主，以高等数学教材为辅，在综合二者 章节的基础上删去了一些与衔接无关的章节，主要章节如下表所示：表3.4高等数学微积分衔接内容第一章实数集与函数1实数2数集-确界原理3函数概念4具有某些特性的函数第二章数列极限1数列极限的概念2收敛数列的性质3数列极限存在的条件第三章函数极限1函数极限概念2函数极限的性质3函数极限存在的条件4两个重要极

54、限5无穷小量与无穷大量第四章函数的连续性1连续函数概念2连续函数的性质3初等函数的连续性第五章导数和微分1导数的概念2求导法则3参变量函数的导数第六章微分中值定理及其应用4函数的极值与最大（小）值5函数的凸性与拐点6函数图像的讨论第九章定积分1定积分概念2牛顿一莱布尼茨公式3可积条件4定积分的性质5微积分学基本定理定积分计算（续）3.3高中数学与大学数学内容的关系集合：高中阶段学习集合一方面是为了培养学生用符号来表达数学的意识,另一方 面是为了用集合来描述函数。高中数学教材从具体的生活情境出发抽象出集合的 含义，并对集合的表示和一些常见的数集做了符号的规定，然后介绍了集合间的 一些关系和运算，

55、最终希望学生能够学会如何应用集合。结合课程标准以及教材 后的习题可以发现，教材对学生的要求仅限于研究一些给定的集合的关系和运算, 如：写出集合血母的所有子集；耕=一1, 0, 1）, B = 0, 1, 2, 3,求AUB 和AUB.这里的集合%b就是一个具体的实例。大学阶段学习数集.确界原理，在高中集合的基础上增加了邻域和确界的原 理。而邻域和确界是用严格的数学语言定义的，不同于集合描述性的定义，因此 习题大多是形如以下所示：设数集S有上确界.证明n = supScS 8 n+1n8 n+1高中阶段运用集合语言重新定义了函数的概念，并结合之前初中阶段所学过 的一些具体的函数和新增的指数函数、

56、对数函数、幕函数、三角函数研究函数的 一些性质，如单调性、奇偶性和周期性。大学学习的函数概念在高等数学中与高 中所学的函数概念并无太大的区别，只不过对高中未涉及到的一些盲区进行了补 充，例如在函数的表示方法中增加了狄利克雷函数和黎曼函数，它们的图像正常 情况下无法给出(高中教材未在正文中介绍)。增加了复合函数的定义，高中教 材中尽管有用到但并未给出明确定义。增加了反函数的定义，高中教材在新课改 之前有反函数的内容，新课改后将这部分内容放到了 “链接”中。在函数的性质 中增加了有界函数的概念。可以说数学分析第一章中函数的内容与高中相比没有太大的差别，第三 章和第四章才正式开始研究函数的性质。在数

57、列级数的基础上，海涅定理(归结 原则)成功地把函数极限归结为数列极限来处理，真正意义上体现了数列是一种 特殊的函数。数列和函数不应该被割裂开来，高中学习的等差数列就是一次函数 的离散形式，等比数列就是指数函数的离散形式，但这一点在高中教材中并没有 很好的体现。有了函数极限的基础后，高中教材不能解决的对函数连续的数学语 言描述在大学数学中有了严格的数学定义，根的存在定理(零点存在定理)也能 够进行严格的证明。在高中教材中，零点存在定理只要求会应用，至于它的由来 只是通过观察一些特例得到的，定义描述不够数学化，又缺乏严格的证明，非常 不符合数学学科的严谨性。至于三角函数的内容，高中教材把它归结为第

58、二类基本初等函数，是刻画周 期现象的重要函数模型，无论是研究函数的性质还是后面的恒等变换，都是对正 弦、余弦、正切这三种函数研究的比较多，恒等变换主要是为了加强学生的推理 能力和运算能力，对两角和差公式和二倍角公式要求比较高，积化和差、和差化 积、半角公式仅鼓励学生去探索和交流讨论，不要求记忆。数学分析在“初 等函数”中提到了三角函数(正弦、余弦、正切、余切)和它们反三角函数，余 切的地位和前三者等同，没有介绍反三角函数的性质，但在课后习题中却有要求， 例如：确定下列初等函数的存在域：y = sin-1(log),y = log(sin-1)；试作函= sin-1(sinx)的图像.在“求导法

59、则一章的例题中出现了正割函数y=secx和余割函数y = esc %.总 的看来三角函数、反三角函数的性质在数学分析中没有系统性的介绍，比较 零散，三角恒等变换的一些公式与技巧都默认读者已经掌握。导数：传统的导数课程应当是遵循数列T数列的极限T函数的极限T函数的连续T 导数T导数的应用。高中教材中并非把导数看成一种特殊的极限(增量比的极限), 而是直接通过实际背景和具体应用实例一一速度、增长率等反映导数思想本质的 实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数。苏教 版教材中的导数由曲线的切线引入，当割线的两端点无限接近时割线就变成了切 线，切线的斜率就是导数，这其实是导数的

60、几何意义；在实际背景中当平均变化 率中的分母无限接近0时，平均变化率就变成了瞬时变化率，瞬时变化率就是导 数，瞬时速度就是导数的一个特例。教材主要介绍了导数的两部分内容，第一部 分是如何计算一个初等函数的导数，在没有求导公式前例题根据教材中导数的定 义求导，如：已知f(x) = X2 + 2,求f(x)在x = l处的导数，解答过程如下：因为匆=如竺也。=冬冬!竺冬色 =2 + AxAxAx从而，当Ax 0时，2+A*t2,所以/(x)在x = lAt的导数等于2.随后教材通过对三个函数(f(x) = kx + b, f(x) = x2, /(%) = Vx)的导数用定 义证明后归纳出了多项式