线性代数试题与答案综合测试题资料全

1、. .57/57综合测试题线性代数（经管类）综合试题一（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多选或未选均无分。1.设D=M0，则D1= ( )A.2MB.2MC.6M D.6M2.设 A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出 B = C，则A应满足( )A. A OB. A = O C.|A|= 0 D. |A|03.设A，B均为n阶方阵，则( )A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0 B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.当AB=O时，有A=O或

2、B=O D.(AB)-1=B-1A-14.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1= ( ) A. B. C. D.5.设两个向量组与，则下列说确的是( )A.若两向量组等价，则s = t .B.若两向量组等价，则r()=r() C.若s = t，则两向量组等价.D.若r()=r()，则两向量组等价.6.向量组线性相关的充分必要条件是( )A.中至少有一个零向量B.中至少有两个向量对应分量成比例C.中至少有一个向量可由其余向量线性表示D.可由线性表示7.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是( ) A. r与s未必相等 B. r + s = mC. r = s D. r + s m8.对方程组Ax

3、 = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( )A. Ax = o有解时，Ax = b必有解.B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解.C. Ax = b无解时，Ax = o也无解.D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解.9.设方程组有非零解，则k = ( )A. 2 B. 3 C. -1D. 110.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( )A. |A|0 B.存在n阶方阵C使A=CTCC.负惯性指标为零 D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.四阶行列式D中第3列元素

4、依次为 -1，2，0，1，它们的余子式的值依次为5，3，-7，4，则D= 12.若方阵A满足A2= A，且AE，则|A|=.13.若A为3阶方阵，且 ，则|2A|= 14.设矩阵的秩为2，则t = 15.设向量(6，8，0)，=(4，3，5)，则(,)=16.设n元齐次线性方程组Ax= o，r(A)= r n，则基础解系含有解向量的个数为个.17.设(1，1，0)，(0，1，1)，=(0，0，1)是R3的基，则=(1，2，3)在此基下的坐标为.18.设A为三阶方阵，其特征值为1，-1，2，则A2的特征值为 .19.二次型的矩阵A=.20.若矩阵A与B=相似，则A的特征值为 .三、计算题（本大题

5、共6小题，每小题9分，共54分）21.求行列式的值.22.解矩阵方程：.23.求向量组=( 1, 1, 2, 3 )，=(1,1, 1, 1 )，=(1, 3, 3, 5 )，=(4,2, 5, 6 )的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.24.a取何值时，方程组有解？并求其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.25.已知,求A的特征值与特征向量，并判断A能否对角化，若能，求可逆矩阵P，使P 1AP =（对角形矩阵）26.用配方法将下列二次型化为标准形：四、证明题（本大题共6分）27.设向量，证明向量组是R3空间中的一个基.线性代数（经管类）综合试题二（课程

6、代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多选或未选均无分。1.若三阶行列式=0, 则k = ( ).A1 B0 C-1 D-22.设A、B为n阶方阵,则成立的充要条件是 ( ).AA可逆BB可逆C|A|=|B|DAB=BA3.设A是n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵, 则 ( ).A BC D4.矩阵的秩为2，则 =( ).A2 B1 C0 D5.设34矩阵A的秩r(A)=1，是齐次线性方程组Ax=o的三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为 ( ).ABCD6.向量线性相关,

7、则( ).Ak =-4Bk = 4Ck =-3Dk = 3 7.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解, 若是其导出组Ax=o的解, 则有 ( ).Ac1+c2 =1Bc1= c2Cc1+ c2 = 0Dc1= 2c2 8.设A为n(n2)阶方阵，且A2=E，则必有 ( ).AA的行列式等于1BA的秩等于nCA的逆矩阵等于EDA的特征值均为19.设三阶矩阵A的特征值为2, 1, 1， 则A-1的特征值为( ).A1, 2B2, 1, 1C, 1D, 1, 110.二次型是 ( ).A正定的 B半正定的 C负定的 D不定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的

8、空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.=_12.设A为三阶方阵,且|A|=4，则|2A|=_13.设A=,B=, 则ATB=_14.设A=,则A-1=_15.向量表示为向量组的线性组合式为_16.如果方程组有非零解, 则k=_17.设向量与正交，则a=_18.已知实对称矩阵A=,写出矩阵A对应的二次型_19.已知矩阵A与对角矩阵=相似，则A2=_20.设实二次型的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正惯性指数为3，则其规形为_三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式的值.22.设矩阵A=，B=，求矩阵A-1B.23.设矩阵，求k的值，使A的秩r(A)分别等于1，2，3.

9、24.求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.25.求线性方程组的基础解系，并用基础解系表示其通解.26.已知矩阵，求正交矩阵P和对角矩阵，使P-1AP=.四、证明题（本大题共6分）27.设向量组线性无关，证明：向量组也线性无关.线性代数（经管类）综合试题三（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多选或未选均无分。1.当( )成立时，阶行列式的值为零.A.行列式主对角线上的元素全为零B.行列式中有个元素等于零C.行列式至少有一个阶子式为零

10、D.行列式所有阶子式全为零2.已知均为n阶矩阵，E为单位矩阵，且满足ABC=E，则下列结论必然成立的是 ( ).A.ACB=EB. BCA=EC. CBA=ED. BAC=E3.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 ( ).A. (AB)-1=A-1B-1 B.(A+B)-1=A-1+B-1C.(AB)T=ATBT D. 4.下列矩阵不是初等矩阵的是 ( ). A. B. C. D.5.设是4维向量组，则( ).A.线性无关B.至少有两个向量成比例C.只有一个向量能由其余向量线性表示D.至少有两个向量可由其余向量线性表示6.设A为mn矩阵，且m0 B.A的每一个元素都大于零C.D. A

11、的正惯性指数为n10.设A，B为同阶方阵，且r(A) = r(B)，则 ( ). A. A与B相似 B. A与B合同C. A与B等价 D.|A|=|B|二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式.12.设A为三阶矩阵，|A|=-2，将矩阵A按列分块为，其中是A的第j列，,则|B|=.13.已知矩阵方程AX=B，其中A=，B=，则X=.14.已知向量组的秩为2，则k =.15.向量的长度=.16.向量在基下的坐标为.17.设是4元齐次线性方程组Ax=o的基础解系，则矩阵A的秩r(A)=.18.设是三阶矩阵A的特征值，则a =

12、.19.若是正定二次型，则满足. 20.设三阶矩阵A的特征值为1,2,3，矩阵B=A2+2A,则|B|=.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.设三阶矩阵A=，E为三阶单位矩阵.求：(1)矩阵A-2E与|A-2E|；(2).22.已知向量组求：(1)向量组的秩；(2)向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.23.讨论a为何值时，线性方程组有解？当方程组有解时，求出方程组的通解.24.已知向量组，讨论该向量组的线性相关性.25.已知矩阵A=，(1)求矩阵A的特征值与特征向量；(2)判断A可否与对角矩阵相似，若可以，求一可逆矩阵P与相应的对角形矩阵.2

13、6.设二次型(1)将二次型化为标准形；(2)求二次型的秩和正惯性指数.四、证明题（本大题共6分）27.已知A是n阶方阵，且，证明矩阵A可逆，并求线性代数（经管类）综合试题四（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多选或未选均无分。1.三阶行列式，则a = ( ).A. 2 B. 3 C. D. -3 2.设A，B均为n阶非零方阵，下列选项正确的是 ( ).A. (A+B)(A-B) = A2-B2 B. (AB)-1 = B-1A-1C. 若AB= O, 则A=O或B=O

14、 D. |AB| = |A| |B| 3.设A，B，AB-BA= ( ).A. B. C.D. 4.设矩阵的秩为2，则 ( ).A. B.t = -4 C. t是任意实数 D.以上都不对5.设向量，则( ).A.(1, 0, 5, 4 ) B.(1, 0, -5, 4) C.(-1, 0, 5, 4) D.(1, 0, 5, -6)6.向量组线性相关,则( ).A. k =-4 B. k = 4 C. k = 3 D. k = 27.设u1,u2是非齐次线性方程组Ax = b的两个解，若c1u1+c2u2也是方程组Ax = b的解，则 ( ).A. c1+c2 =1 B. c1= c2 C.

15、c1+ c2 = 0 D. c1= 2c2 8.设mn矩阵A的秩r(A) = n-3(n3)，是齐次线性方程组Ax=o的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=o的基础解系为( ).A. B. C. D.9.设三阶矩阵A的特征值为1，1，2，则2A+E的特征值为( ). A. 3，5 B. 1，2 C.1，1，2 D. 3，3，5 10.n阶对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是 ( ). A. B.存在n阶矩阵P，使得A=PTPC.负惯性指数为 D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11. 12.设A为三阶方

16、阵，且|A|=2，A*是其伴随矩阵，则|2A*| =.13.设矩阵A，则=.14.设，则积=.15.若向量不能由线性表示，且r()=2，则r(,)=.16.设线性方程组有解，则t = .17.方程组的基础解系含有解向量的个数是.18.设二阶矩阵A与B相似，A的特征值为-1，2，则|B|=.19.设二次型的矩阵,则二次型.20.用正交变换将二次型化为标准形为，则矩阵A的最小特征值为.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算n阶行列式.22.解矩阵方程：.23.验证是R3的一个基，并求向量在此基下的坐标.24.设向量组线性无关，令，试确定向量组的线性相关性.25.求线性方程组的

17、基础解系，并表示其通解.26.求矩阵的特征值和全部特征向量.四、证明题（本大题共6分）27.设是三维向量组，证明：线性无关的充分必要条件是任一三维向量都可由它线性表示.线性代数（经管类）综合试题五（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多选或未选均无分。1.行列式,则k = ( ).A. 1 B. 4 C. -1或4 D. -12.设A，B，C均为n阶非零方阵，下列选项正确的是 ( ).A.若AB=AC，则B=C B. (A-C)2 = A2-2AC+C2C. ABC=

18、BCA D. |ABC| = |A| |B| |C| 3.设A，B均为n阶方阵,则等式(A+B)(A-B) = A2-B2成立的充分必要条件是( ).A. A=E B. B=O C. A=B D. AB=BA4.若，则初等矩阵P= ( ).A. B. C. D. 5.设向量,则 ( ).A. (-1, 3, 8, 9 ) B. (1, 3,8, 9) C. (-1, 0, 8, 6) D. (-1, 3, 9, 8) 6.下列结论正确的是 ( ). A.若存在一组数k1, k2, ,km, 使得成立，则向量组线性相关.B.当k1 = k2 =km=0时，则向量组线性无关.C.若向量线性相关，则

19、线性相关.D.若向量线性无关，则线性无关.7. 设u1,u2是非齐次线性方程组Ax = b的两个解，若c1u1+c2u2是其导出组Ax = o的解，则 ( ).A. c1+ c2 = 0 B. c1= c2 C. c1= 2c2 D. c1+c2 =18.线性方程组Ax=o只有零解的充分必要条件是 ( ).A. A的行向量组线性无关 B. A的行向量组线性相关C. A的列向量组线性无关 D. A的列向量组线性相关9.设，则2的特征值为 ( ).A.B.C.D.10. 设二次型的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正惯性指数为3，则二次型的规形为 ( ).A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10

20、小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式. 12.设A为三阶方阵，|A|=2，则 |2A-1| = . 13.设,则2A+B=. 14.设，则(AB)-1=. 15.向量的单位化向量为. 16.设向量组的两个极大无关组分别是和，r和t的关系是.17.设向量组的秩为2，则t = . 18.设向量与正交，则k =. 19.已知二次型，写出二次型f的矩阵A=. 20.设三阶实对称矩阵的特征值为3,3,0，则A的秩r(A)=.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式.22.已知矩阵A=，且A+X=XA，求X.23.设A=，已知

21、r(A)=2，求a, b的值.24.已知线性方程组，(1)问常数a1，a2，a3满足什么条件时，方程组有解？(2)当方程组有无穷多解时，求出其通解(用它的一个特解和导出组的基础解系表示).25.设实对称矩阵A=，求正交矩阵Q，使得Q-1AQ=.其中，是对角矩阵.26.设二次型是正定二次型，求a的取值围.四、证明题（本大题共6分）27. 设向量组线性无关，可由线性表示，而不能由线性表示.证明：向量组线性无关.综合测试答案综合试题一参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）题号12345678910答案BDABBCCDDD二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1

22、1. -15； 12. 0； 13. 4； 14. t=-3； 15. 0； 16. n-r； 17.(1, 1, 2)； 18. 1，1，4； 19.； 20.1, 2, 3.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.解：=x2y2.22.解：令A=, B=.因为(AE)=，所以.由AX=B，得：X=A-1B=.23.解：将已知向量按列构成矩阵，并对其进行行变换：.所以，极大无关组为24.解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换：.若方程组有解，则，故a=5.当a=5时，继续施以初等行变换得：，原方程组的同解方程组为：为自由未知量，令x3=x4=0,得原方程组的一个特解：.与导出组

23、同解的方程组为：为自由未知量，令分别取，得到导出组的基础解系：，所以，方程组的全部解为：，其中，c1 ，c2为任意常数.25.解：矩阵A的特征多项式为：，所以，A的特征值为：.对于，求齐次线性方程组的基础解系，得基础解系：，从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为：对于，求齐次线性方程组的基础解系，得基础解系：，从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为： .因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以，A相似于对角矩阵，且. 26.解：=.令，即，得二次型的标准形为：.四、证明题（本题6分）27.证：因为，所以线性无关（方法多样），所以向量组是R3空间中的一个基.综合试题二参考答案一、单项选择

24、题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）题号12345678910答案CDABDCBBDA二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）115 1232 13 1415 16-1 1721819. E 20. 二、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21解：原式=22解：方法1得：. 所以，.方法2|A|=，=所以，.方法3 .23解：对矩阵A施行初等变换：.当k=1时，A，矩阵A的秩r(A)=1；当k= -2时，A，矩阵A的秩r(A)=2；当k1且k-2时，A，矩阵A的秩r(A)=3.24解：将所给列向量构成矩阵A，然后实施初等行变换：，所以，向量组的秩，向量组的一个极大

25、无关组为：，且有.25解：对方程组的系数矩阵（或增广矩阵）作初等行变换：与原方程组同解的方程组为：，其中x3, x4为自由未知量.令分别取得基础解系：.方程组的通解为：. （c1 , c2为任意常数）26解：矩阵A的特征多项式为：，得矩阵A的所有特征值为：.对于，求方程组的基础解系.，得基础解系为，将此线性无关的特征向量正交化，得：.再标准化，得：对于解方程组.，方程组的基础解系为，将其单位化，得：.令P=，=，则P是正交矩阵，且P-1AP=.四、证明题（本大题共6分）27.证：令，整理得：因为线性无关，所以，解得：，故线性无关. 综合试题三参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分

26、，共20分）题号12345678910答案DBDBDCDDDC二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11.24 12.6 13. 14.-2 15.16.(3,-4,3) 17.1 18.1 19. 20.360三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.解：(1) A-2E=| A-2E |= -1；(2).22.解：(1)将所给向量按列构成矩阵A，然后实施初等行变换：.所以，向量组的秩；(2)向量组的一个极大无关组为：，且有.23.解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换：.若方程组有解，则，从而a=1.当a=1时，原方程组的通解方程组为：，为自由未知量.令，得原方

27、程组的一个特解：(0, 1, 0, 0)T.导出组的同解方程组为：，为自由未知量.令分别取得导出组的基础解系：(0, 1, 1, 0)T，(-4, 1, 0, 1)T.所以，方程组的通解为：(0, 1, 0, 0)T+c1(0, 1, 1, 0)T+c2(-4, 1, 0, 1)T，其中，c1，c2为任意常数.24.解：因为.当a=2或a=-6时，向量组相性相关；当a2且a-6时，向量组线性无关.25.解：矩阵A的特征多项式为：，所以，A的特征值为：.对于，求齐次线性方程组的基础解系，得基础解系：，从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为：，(c0).对于，求齐次线性方程组的基础解系，得基础解

28、系：，从而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为： .因为三阶矩阵A只有两个线性无关的特征向量，所以，A不能相似于对角矩阵. 26.解：(1) 利用配方法，将二次型化为标准形：.令，即，得二次型的标准形为：.(2)由上述标准形知：二次型的秩为3，正惯性指数为2.四、证明题（本大题共6分）27.证：由，得： A2+2A= -E，从而A(A +2E)= -E, A(-A-2E)= E所以A可逆，且.综合试题四参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）题号12345678910答案BDDAABACDD二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11. 2b-4a； 12.

29、 32； 13.； 14. 2； 15. 3； 16. 1；17. 3； 18. -2； 19.； 20. -1三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.解：按第一列展开，得：原式=22.解：方法1 . 所以，故，=. 解法2 |A|=，=，所以，=. 23解：因为，所以是R3的一个基；令，对此方程组的增广矩阵施以初等行变换：，得：，所以，.24解：令,即，整理得：.因为线性无关，所以，而此方程组有非零解，所以向量组线性相关. 25.解：对系数矩阵施行初等行变换：，原方程组的同解方程组为：，其中x3, x4为自由未知量.令分别取得基础解系：方程组的通解为：（c1 , c2为任意常数）26.解：矩阵A的特征多项式为：，所以A的特征值为.对于，解方程组，由于，可得方程组的基础解系为，.故A的对应于特征值2的全部特征向量为(c1,c2不全为零) .四、证明题（本大题共