面积问题的解法探究和思考

1、面积问题的解法探究和思考一、提出问题1.中考试题 如图1，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为DE（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，EFK的面积最大？并求出最大面积2.参考答案（1）解析式为，D点坐标为（1，）（2）探求得直线EF的解析式为y =x +设K（t，），xFtxE过K作x轴的垂线交EF于N则 KN = yKyN =（t +）=SEFK = SKFN + SKNE =K

2、N（t + 3）+KN（1t）= 2KN = t23t + 5 =（t +）2 +即当t =时，EFK的面积最大，最大面积为，此时K（，）3.质疑思考 本题条件是“点K在x轴上方的抛物线上”，但参考答案只对“xFtxE”作了解答，那么 “xAtxF”、 “xEtxB”会怎么样呢？笔者认为这是一个名副其实的“参考答案”，不够严谨如果要完整地解答此题就必须分类讨论，分类表示SEFK又是一个复杂的问题像这样的面积问题是近几年中考的热点之一，常结合一次函数、二次函数、四边形、相似形等知识而命题，具有一定的综合性.笔者研读了09年和10年部分中考试题及解答，一般都通过分割，建立面积函数，用函数知识解决问

3、题这些分割方法通常比较麻烦，有时还回避不了分类讨论笔者进一步研究发现，这些问题通常可以分为两类，都可以用简单的平移法来解决二、解法来源1.书本习题：人教版教科书91页习题19.1第8题：如图2，直线l1l2,ABC和DBC面积相等吗？你还能画出一些与ABC面积相等的三角形吗？2.习题解答：显然，ABC和DBC面积相等，原因是这两个三角形同底等高直线l1上任意一点P与B、C两点构成的PBC与ABC面积总相等3.习题启示：可以通过平行线，把三角形等积变形为其他更有利于解决问题的三角形三、解法探究1、动点在直线上，利用平行线，通过等积变形建立函数模型例1.（2009济南）已知：如图3，抛物线的对称轴

4、为与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式（2）若点是线段上的一个动点过点D作交轴于点设的长为，的面积为求与之间的函数关系式试探讨是否存在最大值，说明理由解：（1）抛物线的解析式为（2）连接AD， ，即， =当=1时，评：本题的动点D在直线上运动，没有采用分割的方法也没有分类讨论，而是利用题目先天的条件，把等积变形为一边在坐标轴上的，便于表示的面积，建立函数模型解决问题例2. （2010 三明）如图4，已知抛物线经过点B（2，0）和点C（0，8），且它的对称轴是直线（1）求抛物线与轴的另一交点A坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）连结AC、BC，若点E是线段AB上的一个动

5、点（与点A、点B）不重合，过点E作EFAC交BC于点F，连结CE，设AE的长为m，CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；（4）在（3）的基础上探讨S是否存在最大值，说明理由解：（1）A点的坐标为（-6，0）（2解析式为（3）过点F作FGAB，垂足为G，EF/AC ， ，又AE=m，BE=8-m ，（4）由（3）得当=4时，解题策略：以上两例都是动点在直线上运动，利用天然的平行条件，通过等积变形，把三角形转化为有一边在坐标轴上的三角形，从而比较简洁地建立函数模型，应用函数知识解决问题不必分割，不必分类2、动点在抛物线上动，构建平行线，通过等积变形建立方程模型例3（2010恩施）如图5，二次

6、函数的图象与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式（2）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出最大面积.解：（1）函数表达式为 （2）因SABC=6，当BPC的面积最大时，四边形 ABPC的面积最大作PQBC交y轴于点Q，则SBPC=SBQC ，BQC高OB为定值，所以当PQ平移到使得CQ取得最大值时，BQC的面积最大，此时直线PQ和抛物线恰好一个公共点设直线PQ：，得方程，当=时， m=，SBQC=评：本例是动点在抛物线上运动，没有天然的平行条件，采用构造平行线的方法，等积变形为有一边在坐标轴

7、上的图形，建立方程模型解决问题例4（2010宜宾）如图6，将直角边长为6的等腰RtAOC放在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(3，0)(1) 求该抛物线的解析式；(2) 若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当APE的面积最大时，求点P的坐标；(3) 在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使AGC的面积与（2）中APE的最大面积相等?请说明理由简析：本题的第（2）是动点P在直线上运动类型，利用天然的PEAB条件，把SAPE转化为一边在x轴上的SBPE，建立函数模型解决问题第（3）题是动点在抛物线上运

8、动类型，直接求出直线HG的解析式，更显此法的优越性再来看看四川绵阳的那道中考题该怎样完整地解决？解：图7，探求得F点坐标为（-3,0），直线EF为y =x +过K点作EF的平行线，交y轴于M点，设直线KM的解析式为y =x +b，EFK的边EF为定值，又CE=EB，平移直线KM可知，当KM与抛物线有且只有一个公共点时，EFK的高取得最大值，从而面积最大由方程得=0，得， ， K点坐标（，），SEFK =SEFM=评：动点K在抛物线上运动，构建平行线后，虽然不能转化为有一边在坐标轴上的三角形，但是依然可以通过平移直线的方法建立方程模型解决问题K点和M点虽然都是动点，但却有本质的区别，M点只能在y

9、轴上上下移动，但一定在E、F之间，所以不必分类，但K点却是上下左右都移动，完全可能不在E、F之间，那就必须分类讨论以上解法简单地说就是利用平行线或构造平行线，实际是平移思想的具体运用用平移的观点看待问题，会使问题显得简单、易理解，许多问题可以通过平移直线来解决。四、再思考1.命题启示 为什么学生采用了分割法建立面积函数解决问题？笔者研究发现，一些中考试题要求学生建立面积函数再求最值，这些试题试图给学生思考的台阶，实际却束缚了学生的思维作为一道好的中考题，应该给学生充分发挥个人才智、展现独特个性、彰显创新成果的空间，中考题是教学的指挥棒，是学生学和教师教的参照标准，中考怎么考，教师就怎么教，学生

10、就怎么学，因此作为命题者一定要慎重！不严谨的教学、不严谨的答案，都会影响学生的思维，形成学生思维的不严谨性，教师在教学中一定要培养学生严谨的思维习惯，否则会影响学生的后续学习，甚至造成学生为人的不严谨、工作的不严谨，教师是学生的楷模，应该做好“严谨”的示范，中考题是教师教学的风向标，更应做好教师“严谨”的标杆2.教学启示为什么命题者也给出分割法建立函数求最值？难道这些教育专家不知道这种解法吗？笔者研究发现，课改后，教材新增了平移章节，这是新教材的一大亮点，实际上是提前渗透了平移的思想，各级教学教研人员也要转变观念、研究教材、领会教材的思想，培养学生平移的思想观念，这样才能让学生领悟教材，探索到更好的解题方法平移直线的解法来源于对书本简单习题的思考，书本习题是经过教育专家的研究而设立的，其内涵丰富，对强化基础知识和基本技能，开发智力、培养能力以及对后续学习有着不同寻