高等数学等价无穷小替换_极限的计算（）

1、讲义 无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比拟 会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比拟； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比拟 用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质30分钟，在理解无穷小与无穷大的概念和性质的根底上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法20分钟。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧25分钟，课堂练习15分钟。【授课内容】一、无穷小与无穷大前面我

2、们研究了数列的极限、函数的极限、函数的极限这七种趋近方式。下面我们用表示上述七种的某一种趋近方式，即定义：当在给定的下，以零为极限，那么称是下的无穷小，即。例如, 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。定义： 当在给定的下，无限增大，那么称是下的无穷大，即。显然，时，都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 ， ，所以当时为无穷小，当 时为无穷大。2无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，那么为无

3、穷小；反之，如果为无穷小，且，那么为无穷大。小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。:定理1 其中是自变量在同一变化过程或中的无穷小.证：必要性设令那么有充分性设其中是当时的无穷小，那么 【意义】1将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);2定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：，推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无

4、穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比拟例如，观察各极限：不可比.极限不同, 反映了趋向于零的“快慢程度不同.1定义: 设是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且 例1 证：例2 解2常用等价无穷小:1； 2； 3； 4； 5； 67 8 9用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如3等价无穷小替换定理：证：例3 1； 2 解: 1 故原极限= 82原极限=例4 错解: =0正解: 故原极限【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。例5 解: 原式三、极限的简单计算1. 代入法：直接将的代入所求极限的函数中去，假设存在，即为其极限

5、，例如；假设不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，就代不进去了，但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解。2. 分解因式，消去零因子法例如，。3. 分子分母有理化法例如， 又如，4. 化无穷大为无穷小法例如，实际上就是分子分母同时除以这个无穷大量。由此不难得出又如，分子分母同除。再如，分子分母同除。5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如，无穷小量乘以有界量。又如，解：商的法那么不能用由无穷小与无穷大的关系,得再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3例5。6. 利用两个重要极限求极限例题参见例57. 分段函数、复合函数求极限例如，解:

6、左右极限存在且相等, 【启发与讨论】思考题1：解： 无界， 不是无穷大结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2：假设，且，问：能否保证有的结论？试举例说明.解：不能保证. 例 思考题3：任何两个无穷小量都可以比拟吗？解：不能例如当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大，故当时和不能比拟.【课堂练习】求以下函数的极限1；解：原极限=2求【分析】 “型，拆项。解：原极限=3 ； 【分析】“抓大头法，用于型解：原极限=，或原极限4；【分析】分子有理化解：原极限=5【分析】型，是不定型，四那么运算法那么无法应用，需先通分，后计算。解：=6【分析】“型，是不定型，四那么运算法那么失效，使用分母有理化消零因子。 解：原极限=67解: 先变形再求极限.【内容小结】一、无穷小大的概念无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:(1) 无穷小 大是变量,不能与很小大的数混淆，零是唯一的无穷小的数；2 无穷多个无穷小的代数和乘积未必是无穷小.3 无界变量未必是无穷大.二、无穷小的比拟:, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比拟。高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。2.等价无穷小的替换: 求极限的又