张永德《近代量子力学及疑难问题》专题讲座lecture1

1、近代量子力学及疑难问题专题讲座中国科学技术大学近代物理系 张永德1前 言 近廿余年来，量子理论不仅深入应用于物理学许多分支、而且迅速广泛地应用到了化学、生物学、材料科学、信息科学等重要领域。这些应用极大地促进了这些学科的发展，改变了它们的面貌，形成众多的科学研究热点；与此相同步，量子理论本身也得到了极大的丰富和发展。 为了活跃学生的物理思想、提高学习近代量子理论的兴趣，本着总结、深入、提高、面向未来的精神，结合个人科研教学心得，以系列专题的形式介绍量子力学基础中一些著名的新问题。阐述方式是，起点较低只需要普通量子力学，终点则联系近代有关文献，通向有争议的甚至open的问题。讲解重点在于阐述和分

2、析物理概念，以及明确近代量子理论当前的认知边界。2 第 一 讲 量子测量及相关问题(第1部分)3前言 量子测量理论是量子理论的基础支柱。它连系着理论计算和实验测量，是两者之间的必经桥樑。按现在文献情况可以说，不熟习量子测量理论就难以很好地理解许多近代重要的实验工作。更何况，量子测量理论本身就蕴含着量子理论几乎全部的未解决重大基本问题。这些问题都如此基本，以致于它们的解答必定会从根本上纠正我们现有的时空观念和某些基本概念，导致我们对世界有一个崭新的再认识。 鉴于我国量子力学教材中很少谈及测量问题，所以这里全面简要地介绍了量子测量理论。包括扼要阐述一些基本要义，介绍某些实验和应用，最后指明一些未解

3、决的问题。讲解重点在于阐述和分析物理概念，以及明确近代量子测量理论的认知边界。4 目 录一，量子力学的第三公设测量公设 量子力学五大公设中的测量公设 量子测量分类 两体局域测量、关联测量、联合测量 Von Neumann正交测量模型 一个典型例子Stern-Gerlach装置。 开放系统测量 二，测量理论的三个阶段姑娘出嫁: 纠缠分解 波包塌缩 初态制备三，深邃的塌缩阶段具有四大特征： 随机性 斩断相干性 不可逆性 空间非定域性四，量子测量效应I光学半透片与符合测量5一，量子力学的第三公设测量公设 量子力学五大公设中的测量公设 i）非相对论量子力学的五大公设： 量子状态公设 量子算符公设 量子

4、测量公设 量子运动方程公设 全同性原理公设（？）6 ii) 测量公设 “对状态(x)进行力学量A 的测量，总是将(x)按A所对应算符 的正交归一本征函数族 展开:单次测量所得A 的数值总是随机的（除非(x)是 的某个本征态），但必属 本征值中的某一个 ；测量完毕，(x)即相应突变(塌缩)为该本征值 的本征态 。 对系综的多次重复实验时，某本征值 出现的概率是此展式中对应项系数的模平方 。” 注意，对同一个态，若进行不同的测量，将导致不同的塌缩！7 量子测量分类 量子测量，按不同情况和不同分类标准，有不同分类： i) 封闭系统的量子测量与开放系统的量子测量； ii) 两体及多体有局域测量、 关联

5、测量、 联合测量； iii) 完全测量与不完全测量。 以往量子力学常常只研究 孤立、封闭的量子体系。此时量子测量都是 von Neumann 正交投影按测量公设，是向被测力学量的本征函数族投影:i.e.,8 两体局域测量、关联测量、联合测量 1）局域测量 ：只对两体中的某一方作测量，比如只对A测量。相应力学量是所有测量结果只和约化密度矩阵A 有关。 2）关联测量 ：同时对A 和B 作局域测量（并比较相应的结果）: 此时只对未纠缠态可分离态，有 3）联合测量 ：测量不是局域进行的，类似于下面不可分离类型的力学量测量9Von Neumann正交测量模型 为了测量子系统可观测量A，要建立“测量哈密顿

6、量 ”。 办法是连通子系统的可观测量 A 和（作为测量仪器的）指示器 X 。在 A 和 X 之间的这种耦合，在可观测量的本征态和指示器的可区分态之间建立起量子纠缠，正是这种量子纠缠，使我们能够通过测量指示器变数x去制备可观测量的本态。 设初始时刻子系统处于A的一个叠加态 ，而指示器波包有关变量的状态为 。合成的大系统处于尚未纠缠的可分离态，由于 中 A 和 X 的耦合项存在 ，在 t 时刻后，这个量子态将从可分离态演化成为纠缠态， 所造成的量子纠缠使 X 和 A 的测量值 x（和 a）关联起来。 如果位置变量 x 的观测精度足以分辨的全部本征值 a ，就实现了通过测量 x 造成关联塌缩 得到

7、a 的相应本征态 得到 a 的数值。 10一个典型例子Stern-Gerlach装置。 测 自旋粒子的 ，使它通过 z 轴方向为非均匀的磁场粒子磁矩 ，它和磁场之间的耦合项 （ “测量哈密顿量” ） 为 这里是可观测量 和位置 相耦合。由于 中含 ，不同 值处附加能数值不同，这产生一个力 力沿 轴，正负视 而定。在测量(穿过磁场)时间 内给粒子冲量这就是说，耦合使指示器（ 方向的位置）偏转。通过观察粒子向 轴正向、反向的偏转距离，投影出粒子自旋态 或 。 这里 。注意，此处仍有 。 11开放系统测量 出现三个新特点： 1）态可能是混的； 2）演化可能是非幺正的、不可逆的； 3）测量可能是非正交

8、投影分解POVM POVM 正算符取值测度* POVM 是（针对封闭系统的von Neumann正交投影理论）向开放系统的推广，是完全测量向非完全测量的推广。 大系统进行正交测量时，在子系统上实现的测量称为广义测量。*张永德，量子力学，科学出版社，第二次印刷，2003年，12二，测量理论的三个阶段 姑娘出嫁： 纠缠分解； 波包塌缩； 初态制备 量子体系状态改变的两种方式量子理论的两种因果观: U 过程决定论的、可逆的、保持相干性的 R 过程随机的、不可逆的、斩断相干性的理想的完全测量的三个阶段姑娘出嫁 纠缠分解 波包塌缩 初态制备 “纠缠分解”：(r)按被测A本征态分解并和测量指示器可区分态纠

9、缠； “波包坍缩”：(r)以A展式系数模方为几率向本征态之一随机突变； “初态制备”：坍缩后态作为初态在新环境哈密顿量下开始新一轮演化。 实验经常对大量相同量子态所组成的量子系综进行同类重复测量并读出结果。多次重复测量将制备出一个混态 不同塌缩得到的i(x)之间不存在任何位相关联，彼此是非相干的。这个混态也称做纯态系综一个纯态系列：出现纯态1(x的几率为p1; 等等13三，深邃的塌缩阶段具有四大特征 随机性 斩断相干性 不可逆性 空间非定域性 状态塌缩过程是一个极其深邃的、尚未了解清楚 的过程。 其中存在一系列根本性的open问题。塌缩过程的四大特征 按测量公设，每次测量并读出结果之后，态(r

10、)即受严重干扰，并且总是向该次测量所得本征值的本征态突变（塌缩）过去，使波函数约化到它的一个成分（一个分枝）上。这种由单次测量造成的塌缩称为第一类波包塌缩。除非(r)已是该被测力学量的某一本征态，否则在单次测量后，被测态(r)究竟向哪个本征态塌缩，就象测得的本征值一样，是随机的、不能事先预计的。 随机的原则上就无法预见和控制的 不可逆的有人说，测量是熵增加过程 切断相干性的切断被测态原有的一切相干性 非定域的波函数的塌缩总是非定域的14塌缩中，表现出是粒子状态的突变，实质上是体系演化时空的塌缩！近来实验表明：塌缩与关联塌缩是同一个事件，其间不存在因果关联！塌缩中存在的未解决的问题： 塌缩随机性

11、的根源是什么？ 或者有根源吗？！ 为什么（不论自旋态或空间态、单粒子或多粒子）所有塌缩过程总是非定域的？ 塌缩过程中微观体系的熵真的增加了？ 塌缩关联塌缩和相对论性定域因果律有没有深刻的矛盾？！认为是同一个事件就能解决问题吗？ 相互作用过程和测量过程的明确界线？15四，量子测量效应I半透片与符合测量 光子分束器（光学半透镜） “测量效应 + 全同性原理”效应分析： 1）单光子入射最简单的“which way” 广义杨氏双缝实验 如右图，有一块半透镜，水平极化光子1从左上方a端入射，透镜将其相干分解，反射向分束器的c端，同时透射向d端。由a端入射的空间模称为a空间模，向c端出射的模称为c空间模，

12、等。此时光子的输入态为 这里水平箭头表示光子的极化方向（横向线偏振光子的电矢量振动方向）。出射光子是16 2 ) “测量塌缩 + 全同性原理”效应分析研究分束器双光子入射情况。 设这块半透镜有两个不同极化的光子入射。水平极化光子1从左上方a端入射，透镜将其相干分解：反射向分束器的c端，同时透射向d端；垂直极化光子2从左下方b端入射，相干分解后反射向d端，透射向c端。 此时两个光子的输入态为 这里水平和垂直箭头分别表示光子的两种极化方向，这两种极化状态彼此正交。17 经分束器之后，反射束应附加 位相跃变而透射束则无位相跃变。同时，分束器不改变入射光子的极化状态，所以出射态应为 设两个光子同时（

13、）到达分束器，出射态中两光子空间模有重叠，必须考虑两光子按全同性原理所产生的交换干涉。 事实上，这相当于两个电子同时到达的杨氏双缝实验。只是此处出射态需要的是对称化。所以正确的出射态应为这里 是四个（正交归一）Bell基中的两个： 18 3）极化测量。现在设想最简单的一种测量方案： 在c和d各放一只分别测量水平、垂直极化状态的探测器，测量出射到达c端和d端的光子。这时由于在 i）入射态里； ii）分束器中； iii）特别是，最后测量，向之塌缩的态中；这三个环节里，两个光子各自极化状态都不变，即，它们的极化矢量一直都守恒着。于是整个测量实验中，两个光子就可以用它们的极化状态（此时既是守恒的又相异

14、的量子数）来分辩，不存在全同性原理带来的干涉效应。它俩现在可以分辩。19 4 ) 符合测量。注意出射态第二项与极化态 相关联的空间模为“两个光子分别自两个端口出去”：这不同于第一项光子1、2同时出现在c(d)端（估计由于目前光子探测器效率不但难以做到1，也难以分辩光子数目，而这个模的测量需要分辩光子数目是1个还是2个，目前实验未选用这个模）。为了探测从两个端口出去的这个模，可在分束器出射方向c和d两端各放一个探测器，对两处单光子计数作符合测量。此式表明，这种实验按排将有 几率探测到出射态塌缩为第二项，也即有 几率得到双光子极化纠缠态 ： 20 5）符合测量的作用。这样一来，尽管两个光子之间（以及分束器中）并不存在可以令光子极化状态发生改变的相互作用，但： “全同性原理的交换作用 + 符合测量塌缩”还是使两光子的极化状态发生了改变纠缠起来。 就是说，如此的测量造成了这般的塌缩，使得两个光子中每一个的极化矢量都不再守恒（尽管表面上看来并不存在改变入射光子极化状态的作用）。现在 这两个光子已经不可分辩！这是由于这种测量实验造成的。说明：这种符合测量的塌缩末态和光子极化本征