2022届北京海淀高三下学期一模考试数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数满足,则()ABCD2抛物线的焦点为，则经过点与点且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ）A1个B2个C0个D无数个3如图示，三棱锥的底面是等腰直角三角形，且，则与面所成角的正弦值等于（ ）ABCD4已知等差数列an，则“a2a1”是“数

2、列an为单调递增数列”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5 若数列满足且，则使的的值为( )ABCD6已知复数满足：，则的共轭复数为（ ）ABCD7设为自然对数的底数，函数，若，则( )ABCD8某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）A8BCD9已知椭圆，直线与直线相交于点，且点在椭圆内恒成立，则椭圆的离心率取值范围为（ ）ABCD10已知在中，角的对边分别为，若函数存在极值，则角的取值范围是（ ）ABCD11已知集合，则集合的真子集的个数是（ ）A8B7C4D312一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40的方向直线航行

3、，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是（ ）A6 海里B6海里C8海里D8海里二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13直线（，）过圆：的圆心，则的最小值是_.14已知函数f(x)若关于x的方程f(x)kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_15记复数za+bi（i为虚数单位）的共轭复数为，已知z2+i，则_16已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分

4、）已知椭圆，上、下顶点分别是、，上、下焦点分别是、，焦距为，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆上异于、的动点，过作与轴平行的直线，直线与交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值，说明理由.18（12分）已知，函数.（1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；（2）求证：对上的任意两个实数，总有成立.19（12分）已知函数.（1）设，若存在两个极值点，且，求证：；（2）设，在不单调，且恒成立，求的取值范围.（为自然对数的底数）.20（12分）已知公比为正数的等比数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.21（12分）在平面直角坐标系中，点，直线的参数方程

5、为为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点是线段的中点，当时，求的值22（10分）已知数列和，前项和为，且，是各项均为正数的等比数列，且，（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解【详解】解：由，得，故选C【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题2B【解析】圆心在的中垂线上

6、，经过点，且与相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆【详解】因为点在抛物线上，又焦点，由抛物线的定义知，过点、且与相切的圆的圆心即为线段的垂直平分线与抛物线的交点，这样的交点共有2个，故过点、且与相切的圆的不同情况种数是2种故选：【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上3A【解析】首先找出与面所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值.【详解】由题知是等腰直角三角形且，是等边三角形，设中点为，连接，可知，同时易

7、知，所以面，故即为与面所成角，有，故.故选：A.【点睛】本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题.4C【解析】试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可解：在等差数列an中，若a2a1，则d0，即数列an为单调递增数列，若数列an为单调递增数列，则a2a1，成立，即“a2a1”是“数列an为单调递增数列”充分必要条件，故选C考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断5C【解析】因为，所以是等差数列，且公差，则，所以由题设可得，则，应选答案C6B【解析】转化，为，利用复数的除法化简，即得解【详解】复数满足：所以 故选：B【点睛】本题考查了复数的除法和复数的基本概念，考查了学生概

8、念理解，数学运算的能力，属于基础题.7D【解析】利用与的关系，求得的值.【详解】依题意，所以故选：D【点睛】本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.8D【解析】根据三视图还原几何体为四棱锥，即可求出几何体的表面积【详解】由三视图知几何体是四棱锥，如图，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，四棱锥的底面是正方形,边长为2,棱锥的高为2，所以，故选：【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，棱锥表面积的计算，考查了学生的运算能力，属于中档题.9A【解析】先求得椭圆焦点坐标，判断出直线过椭圆的焦点.然后判断出，判断出点的轨迹方程，根据恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率的取值范围.【详解】设是椭圆的焦点，所

9、以.直线过点，直线过点，由于，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆.由于点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于，即，所以，所以双曲线的离心率，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.10C【解析】求出导函数，由有不等的两实根，即可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结论【详解】，.若存在极值，则，又.又故选：C【点睛】本题考查导数与极值，考查余弦定理掌握极值存在的条件是解题关键11D【解析】转化条件得，利用元素个数为n的集合真子集个数为个即可得解.【详解】由题意得，集合的真子集的个数为个.故选：D.【点睛】本

10、题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.12A【解析】先根据给的条件求出三角形ABC的三个内角，再结合AB可求，应用正弦定理即可求解.【详解】由题意可知：BAC704030.ACD110，ACB1106545，ABC1803045105.又AB240.512.在ABC中，由正弦定理得，即，.故选：A.【点睛】本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13；【解析】求出圆心坐标，代入直线方程得的关系，再由基本不等式求得题中最小值【详解】圆：的标准方程为，圆心

11、为，由题意，即，当且仅当 ，即时等号成立，故答案为：【点睛】本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”14【解析】由图可知，当直线ykx在直线OA与x轴(不含它们)之间时，ykx与yf(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根1534i【解析】计算得到z2（2+i）23+4i，再计算得到答案.【详解】z2+i，z2（2+i）23+4i，则故答案为：34i【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力.1616.【解析】由题意可知抛物线的焦点，准线为设直线的解析式为直线互相垂直

12、的斜率为与抛物线的方程联立，消去得设点由跟与系数的关系得，同理根据抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，同理，当且仅当时取等号.故答案为16点睛：（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径；（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）；（2），理由见解析.【解析】（1）求出椭圆的上、下焦点坐标，利用椭圆的定义求得

13、的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的方程；（2）设点的坐标为，求出直线的方程，求出点的坐标，由此计算出直线和的斜率，可计算出的值，进而可求得的值，即可得出结论.【详解】（1）由题意可知，椭圆的上焦点为、，由椭圆的定义可得，可得，因此，所求椭圆的方程为；（2）设点的坐标为，则，得，直线的斜率为，所以，直线的方程为，联立，解得，即点，直线的斜率为，直线的斜率为，所以，因此，.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中定值问题的求解，考查计算能力，属于中等题.18（1）（2）见解析【解析】（1）求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离得在上恒成立.设，求出即可得到参数的取值范围；（

14、2）不妨设，利用导数说明函数在上是减函数，即可得证；【详解】解：（1），且函数在上为减函数，即在上恒成立，在上恒成立.设，函数在上单调递增，实数的取值范围为.（2）不妨设，则，.，又，令，在上为减函数，即，在上是减函数，即，当时，.，.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，利用导数证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题19（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）先求出，又由可判断出在上单调递减，故，令，记， 利用导数求出的最小值即可；（2）由在上不单调转化为在上有解，可得，令，分类讨论求的最大值，再求解即可.【详解】（1）已知，由可得， 又由,知在上单调递减，令，记，

15、则在上单调递增；，在上单调递增；，（2），在上不单调，在上有正有负，在上有解，恒成立，记，则，记，在上单调增，在上单调减. 于是知（i）当即时，恒成立，在上单调增，.（ii）当时，故不满足题意.综上所述，【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，考查了分类讨论，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.20（1）（2）【解析】（1）判断公比不为1，运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；（2）求得，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和.【详解】解：（1）设公比为正数的等比数列的前项和为，且，可得时，不成立；当时，即，解得（舍去），则；（2），前项

16、和，两式相减可得，化简可得.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题21（1）；（2）.【解析】（1）在已知极坐标方程两边同时乘以后，利用cosx，siny，2x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；（2）联立直线l的参数方程与x24y由韦达定理以及参数的几何意义和弦长公式可得弦长与已知弦长相等可解得【详解】解：（1）在+cos28sin中两边同时乘以得2+2（cos2sin2）8sin，x2+y2+x2y28y，即x24y，所以曲线C的直角坐标方程为：x24y（2）联立直线l的参数方程与x24y得：（cos）2t24（sin）t+40，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由16sin216cos20，得sin，t1+t2，由|PM|，所以20sin2+9sin200，解得sin或sin（舍去），所以sin【点睛】本题考查