数学概念、方法、题型、易误点技巧总结──导数

1、数学概念、方法、题型、易误点技巧总结导数 1、导数的背景：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 如一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在时的瞬时速度为_（答：5米/秒）2、导函数的概念：如果函数在开区间（a,b）内可导，对于开区间（a,b）内的每一个，都对应着一个导数 ，这样在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做在开区间（a,b）内的导函数，记作 ，导函数也简称为导数。3、求在处的导数的步骤：（1）求函数的改变量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。4、导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即曲线在点处的

2、切线的斜率是，相应地切线的方程是。特别提醒：（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是。比如：（1）P在曲线上移动，在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是_（答：）；（2）直线是曲线的一条切线,则实数的值为_（答：3或1）；（3）已知函数（为常数）图象上处的切线与的夹角为，则点的横坐标为_（答：0或）；（4）曲线在点处的切线方程是_（答：）；

3、（5）已知函数，又导函数的图象与轴交于。求的值；求过点的曲线的切线方程（答：1；或）。5、导数的运算法则：（1）常数函数的导数为0，即（C为常数）；（2），与此有关的如下：；（3）若有导数，则；。比如：（1）已知函数的导数为，则_（答：）；（2）函数的导数为_（答：）；（3）若对任意，则是_（答：）6、多项式函数的单调性：（1）多项式函数的导数与函数的单调性：若,则为增函数；若,则为减函数；若恒成立,则为常数函数；若的符号不确定,则不是单调函数。若函数在区间（）上单调递增，则，反之等号不成立；若函数在区间（）上单调递减，则，反之等号不成立。比如：（1）函数，其中为实数，当时，的单调性是_（答：

4、增函数）；（2）设函数在上单调函数，则实数的取值范围_（答：）；（3）已知函数为常数）在区间上单调递增，且方程的根都在区间内，则的取值范围是_（答：）；（4）已知，设，试问是否存在实数，使在上是减函数，并且在上是增函数？（答：）（2）利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求；（2）求方程的根，设根为；（3）将给定区间分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判断的符号，由此确定每一子区间的单调性。如设函数在处有极值，且，求的单调区间。（答：递增区间（1,1），递减区间）7、函数的极值：（1）定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值。记作，如果对附近所有的点，都有，

5、就说是函数的一个极小值。记作。极大值和极小值统称为极值。（2）求函数在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数；（ii）求方程的根；（iii）检查在方程的根的左右的符号：“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值。特别提醒：是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是0，0是为极值点的必要而不充分条件。给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！ 如（1）函数的极值点是 A、极大值点 B、极大值点 C、极小值点 D、极小值点（答：C）；（2）已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是_（答：或）；（3）函数

6、处有极小值10，则a+b的值为_（答：7）；（4）已知函数在区间1,2 上是减函数，那么bc有最_值_（答：大，）8、函数的最大值和最小值：（1）定义：函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。（2）求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在（）内的极值（极大值或极小值）；（2）将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。如（1）函数在0，3上的最大值、最小值分别是_（答：5；）；（2）用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边

7、比另一边长0.5m。那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。（答：高为1.2米时，容积最大为）特别注意：（1）利用导数研究函数的单调性与最值（极值）时，要注意列表！（2）要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值)，研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题。比如：（1）是的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是 ( 答：D )（2）方程的实根的个数为_（答：1）；（3）已知函数，抛物线，当时，函数的图象在抛物线的上方，求的取值范围（答：）。2007-12-18人教网数学概念、方法、题型、易误点技巧总结排列、组合和二项式定理 湖南省常德市安乡县第五中学龚光勇收集整理1

8、.排列数中、组合数中。(1)排列数公式 ；。如（1）1！+2！+3！+n！（）的个位数字为 （答：3）；（2）满足的（答：8） (2)组合数公式；规定，。如已知，求 n，m的值（答：mn2） (3)排列数、组合数的性质：；。2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合。比如：（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种（答：）；（2）从4台甲型和5

9、台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70）；（3）从集合和中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是_（答：23）；（4）72的正约数（包括1和72）共有 个（答：12）；（5）的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_个三角形（答：90）；（6）用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法（答：480）；（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式

10、有 种（答：9）；（8）是集合到集合的映射，且，则不同的映射共有 个（答：7）（9）满足的集合A、B、C共有 组（答：）3.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。比如某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_种（答：300）；某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字（

11、如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0. 千位、百位上都能取0. 这样设计出来的密码共有_种（答：100）；用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数_个（答：156）；某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为_（答：6）；四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。恰有两个空盒的放法有_种；甲球只能放入第2或3号盒，而乙球不能放入第4号盒的不同放法有_种（答：84；96）；设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有

12、两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有_种（答：31）（2）间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。如在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(1,2)，(2,1)可以确定三角形的个数为_（答：15）。（3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。比如：把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_（答：2880）；某人射击枪，命中枪，枪命中中恰好有枪连在一起的情况的不同种数为_（答：20）；把一同排6张座位编号

13、为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是_（答：144）（4）不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。比如：3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_种（答：24）；某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_（答：42）。（5）多排问题单排法。如若2n个学生排成一排的排法数为x，这

14、2 n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为y，则x,y的大小关系为_（答：相等）；（6）多元问题分类法。比如：某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有_种（答：15某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有_种（答：36）；9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拨5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，选拨的方法有_种（答：90）；（7）有序问题组合法。比如

15、：书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2本不同的书，有 种不同的放法（答：20）；百米决赛有6名运动A、B、C、D、E、F参赛，每个运动员的速度都不同，则运动员A比运动员F先到终点的比赛结果共有_种（答：360）；学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩且满足，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有_种（答：15）；设集合，对任意，有，则映射的个数是_（答：）；如果一个三位正整数形如“”满足，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为_（答：240）；离心率等于(其中且)的不同形状的的双曲线的个数为_（答：26）。（8）选取问题先选后排法。如某

16、种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_（答：576）。（9）至多至少问题间接法。如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有_种（答：596）（10）相同元素分组可采用隔板法。比如：10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；15）；某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？（答：84）4、分组问题：要注意区分是平均

17、分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！。如4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_种（答：37440）；5.二项式定理：，其中组合数叫做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项，其中第r+l项称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项.特别提醒：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。如在的展开式中，第项的二项式系数为，第项的系数为；而的展开式中的系数就是二项式系数；（2）当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系

18、数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？比如：的展开式中常数项是_（答：14）；的展开式中的的系数为_ （答：330）；数的末尾连续出现零的个数是_（答：3）；展开后所得的的多项式中，系数为有理数的项共有_项（答：7）；若的值能被5整除，则的可取值的个数有_个（答：5）；若二项式按降幂展开后，其第二项不大于第三项，则 的取值范围是 （答：）；函数的最大值是_（答：1024）。6、二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：当时，二项式系数C的值逐渐增大，当时,C的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数

19、时，中间一项（第1项）的二项式系数取得最大值。当n为奇数时，中间两项（第和1项）的二项式系数相等并同时取最大值。比如：在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为_（答：426）；在的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，则_（答：17,18或19）。（3）二项式系数的和：；。比如：如果，则 （答：128）；化简（答：）7、赋值法：应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为、“奇数 (偶次)项”系数和为，以及“偶数 (奇次)项”系数和为。比如：已知，则等于_（答：）；，则_（答：2004）；设,则_（答：）。8、系数最大项的求法：设第项的系数最大，由不等式组确定。如求的展开式中，系数的绝对值最大

20、的项和系数最大的项。（答：系数绝对值最大的项为，系数最大的项为）9、二项式定理的应用：二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。比如：（1）(0.998)5精确到0.001近似值为_（答：0.990）；（2）被4除所得的余数为_（答：0）；（3）今天是星期一，10045天后是星期_（答：二）；（4）求证：能被64整除；（5）求证：2007-12-18人教网数学概念、方法、题型、易误点技巧总结概率 湖南省常德市安乡县第五中学龚光勇收集整理随机事件的概率，其中当时称为必然事件；当时称为不可能事件P(A)=0；2.等可能事件的概率（古典概率）： P(A

21、)=。理解这里m、的意义。比如：（1）将数字1、2、3、4填入编号为1、2、3、4的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是_（答：）；（2）设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：从中任取2件都是次品；从中任取5件恰有2件次品；从中有放回地任取3件至少有2件次品；从中依次取5件恰有2件次品。（答：；） 3、互斥事件：（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生）。计算公式：P(A+B)P(A)+P(B)。比如：（1）有A、B两个口袋，A袋中有4个白球和2个黑球，B袋中有3个白球和4个黑球，从A、B袋中各取两个球交换后，求A袋中仍装有4个白球的概率。（答

22、：）；（2）甲、乙两个人轮流射击，先命中者为胜，最多各打5发，已知他们的命中率分别为0.3和0.4，甲先射，则甲获胜的概率是（0.425=0.013，结果保留两位小数）_（答：0.51）；（3）有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P（n），且P（n）与时刻t无关，统计得到 ，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P（0）的值是 （答：）4、对立事件：（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生）。计算公式是：P（A）+ P(B)；P()=1P(A)；5、独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不

23、影响）P(A?B)P(A) ? P(B) 。提醒：（1）如果事件A、B独立，那么事件A与、与及事件与也都是独立事件；（2）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1P（AB）1P(A)P(B)；（3）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1P（）1P()P()。比如：设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是_（答：）；某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为_;这名同学至少得300分的概率为_（答：0.228；0.564）；袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是_（答：）；一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关，那么，连过