经济数学基础第五章讲稿.pptx

1、 第五章 积分应用一、积分的几何应用1已知切线斜率求曲线方程若已知某一曲线y=F(x)(未知)在其上任意一点x处的切线斜率为k=f(x),且过点(x0，y0)，那么求此曲线的方程的方法为：(2)把（x0,y0）代入上式，确定出任意常数C，即得所求方程。122求平面图形的面积 定积分的几何意义34例1 求 以下两个定积分： 考察其被积函数y=2x与x=0,x=2所围面积A1以及y=2x与x= - 1,x=0所围面积A2（图）, 分别为两个三角形区域，可以用面积公式求得其面积为5显然有并可看出，y=2x在- 1，2上的定积分，恰是y=2x,x=-1,x=2所围面积的代数和。6例2 由定积分的几何意

2、义，计算解：(1)由定积分的几何意义可知，此积分等于半径为3的四分之一圆的面积,即：7(2) 因为 8 平面图形面积的计算由定积分的几何意义，便可得如下两类平面图形面积的计算公式 由y=f(x)、y = 0 (x轴)及x = a,x = b（ab）所围成的平面图形面积。 由y=f(x)、y = g(x)及x = a,x = b (ab)所围成的平面图形面积。9注意：公式是中g(x) = 0时的特殊情况； 在实际应用中，以上两个求平面图形面积的公式可统一记为：10求平面图形面积的步骤： （1）画出所围平面图形的草图；（2）求出各有关曲线的交点及边界点，以确定定积分上、下限； （3）利用上述公式，

3、确定所求面积的定积分； （4）计算定积分的值，即得所求面积。11121314二、积分在经济分析中的应用1已知边际函数求原经济函数已知边际函数求原经济函数，可利用不定积分或变上限定积分求解；（1）利用不定积分 若已知某经济函数F(x)的边际函数为F(x)，则： 其中右端不定积分中出现的积分常数C，由其它已知条件确定。15注意：当由边际收入求总收入函数时，积分常数C需依据隐含条件：R(0)=0来确定。（2）利用变上限定积分若已知某经济函数F(x)的边际函数F(x)及初始值F(0)，由牛顿莱布尼茨公式若分别已知边际成本C(q)，边际收入R(q)，边际利润L(q)及固定成本C(0)=C0，则有1617

4、注意：利用变上限定积分求总成本函数或总利润函数的前提是已知固定成本C0，否则，一般需用不定积分求解。1819解：因已知固定成本，于是可用变上限的定积分求解，即：2021222由边际函数求最优化问题和求原经济函数的改变量已知边际函数F(x),结合第3章求函数极值的方法，可讨论经济问题中的一些最优化问题。当然，还可以利用牛顿-莱布尼茨公式，求出原经济函数F(x)从a到b的改变量（或称为增量），即23例4 设某产品总成本（单位：万元）的变化率是产量q（单位：万元）的函数：C(q)= 6 + q/2，且总收入函数R（单位：万元）的变化率也是产量q的函数：R(q)=12-q，求： 产量从1百台增加到3百

5、台时，总成本与总收入个增加多少？ 产量为多少时，总利润最大？ 若在最大利润产量的基础上再生产2百台，总利润将会发生什么变化？24解 (1) 总成本的增量为又当q 0,q 4时，L(4)0，故唯一驻点是极大值点也是最大值点，即当产量为4百台时，总利润最大。25故当在最大利润的基础上再生产2百台，总利润将减少3万元。当q=4百台时，再生产2百台，利润改变为L，则26三、微分方程1微分方程的概念 微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的等式，称为微分方程。 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程。例如： 均为常微分方程。27 微分方程的阶：微分方程中所含未知函数的导数（或微分）的最

6、高阶数，称为微分方程的阶。例如，上面方程，均为一阶微分方程，分别为二阶、三阶微分方程。 线性微分方程：若微分方程对于未知函数及其各阶导数（或微分）都是一次的，则称该微分方程为线性微分方程。例如，上面方程，均为线性微分方程，而则为非线性的，这是因为yy是二次的形式。28 微分方程的解、通解、特解：解：满足微分方程的函数，称为微分方程的解。例如，y1=x2, y2=Cx2(C为任意常数)均为微分方程xy=2y的解。通解：含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同的解，称为微分方程得通解。例如，y1=Cx2是微分方程xy=2y的通解。特解：不含任意常数的解称为微分方程的特解。例如，y1= x2

7、是微分方程xy=2y的特解29 初值问题：当自变量取某值时，要求未知函数及其导数取特定的值，这样的条件称为初始条件，带有初始条件的微分方程，称为微分方程的初值问题。302可分离变量的微分方程形如 y=f(x)g(x)的微分方程，称为可分离变量的微分方程，其解法为： 求积分：对上方程两端分别求不定积分，即得所求通解。 若求方程的特解，只需把所给初始条件代入通解表达式中，确定出任意常数C即可。例1 判断下列方程中哪些是可分离变量的微分方程，并对可分离变量的微分方程，求其通解。 31解：（1）、（4）为可分离变量的微分方程。（1）将原方程分离变量，得3233343一阶线性微分方程形如：的微分方程，称为一阶线性微分方程。（*）式也称为 一阶线性微分方程的标准形式。该方程的通解，可用将其两端同乘以积分因子 的方法求得。在方程（*）的两端同乘以上积分因子，得35即有两端积分,得于是得一阶线性微分方程的通解为（*）式称为一阶线性微分方程的通解公式。36 例3 求微分方程 xy- y+2lnx =0 的通解。分析：该方程为一阶线性微分方程，但不是其标准形式，首先是要将它变形为标准形式后，再求解。解法1（积分因子法）：先求出方程的一个积分因子，将其乘以方