数学分析申大维chap10第3次

1、2 ( 1)n nn2 ( 1)n再如，设 vn 2n，n 1 ，2 ， ,则vn 42极限 lim n v 不存在！nn这表明：级数 2 (1)n n 的敛散性不能直接利用n122nCauchy根式判别法得出. 能否由比值判别法得出？注意到：0 vn 3 n , 故由比较判别法 , 级数 v 收敛 .4n思考题：试分析根式判别法与比值判别法的优劣.回忆：an 0,且 lim an1 A lim n an An ann以上两个敛散性判别法的条件是充分的, 但并不必要.例如，设 u 2 ( 1)n ，n 1 ，2， 则有 u 3 ,nnnn22由比较判别法可知：级数 un 收敛； un12 (

2、1)n11考虑数列 un an , 有 lim a2n ,n2( 2 ( 1) )n6lim a2n1 3 , 极限 lim un1 不存在！n2n un这表明：级数 2 (1)n 的敛散性不能直接利用n12n比值判别法得出. 注意：该级数的敛散性可由 Cauchy判别法得出:n 2 ( 1)n1lim 1 级数收敛n2n2以上两个敛散性判别法的条件是充分的, 但并不必要.例 判别下列级数的敛散性: (1) (n!)2 /(2 n)! ;n1( 2) n! ; ( 3) 3 3 5 7 9 ;n110n n101 4 7 10解22记 u (n!) , 则 lim un1 lim (n 1)

3、1 1n(2n)!n unn (2n 1)(2n 2)4记 v n! , 则 lim vn1 lim (n 1) n10 1n 10n n10n vnn 10 ( n 1)10 级数 (1)收敛, 级数 ( 2) 发散.级数(3) 的通项公式为an 1 3 5(2n 1) , n 1, 2,1 4 7(3n 2)lim an1 lim 2n 3 2 1 , 级数 (3) 收敛.n ann 3n 13以几何级数 0 ) 为标准建立的判别法：Cauchy 根式判别法：设un 是正项级数,且 lim n un r 存在或 lim n un r ,nn则 r 1 时un 收敛；r 1 时un 发散.(

4、 DAlembert)比值判别法：设 n 充分大时，un 0 ，且 lim un1 ( 0 ) .n un若 1，则 un 收敛；若 1 ，则 un 发散.正项级数 un 收敛lim n u 1 或 lim un1 1nnn un以上两个敛散性判别法的条件是充分的, 但并不必要.( dAlembert) 比值判别法：设 n 充分大时，un 0 ，且 lim un1 ( 0 ) .n un若 1，则 un 收敛；若 1 ，则 un 发散.附注 1 满足 lim un1 1的正项级数u 有些收敛( 如n unn(1 / n2 ) ，有些是发散的( 如(1 / n ) ；判别法的条件充分而非必要2

5、若 lim | a n1 | 1, 则an 绝对收敛 an 收敛；n an若 lim | an1 | 1，则| an |发散； 由极限性质，n ann 充分大以后，| an1 | 1, 即 n 充分大以后数列| a | ann严格递增，从而 an不收敛于 0，故 an 必发散！Cauchy 根式判别法： 设 un 是正项级数,n1且 lim n un r 存在或 lim n un r ,nn则 r 1 时 un 收敛； r 1 时 un 发散.n1附注 1 lim n u 1 时无法根据此判别法判别级数u 的nnn敛散性； （该判别法在此种情况下失效！）2. 若 lim n | un | r

6、1, 则un 绝对收敛 un 收敛；n若 lim n | un | r 1，则 | un |发散，且此时可推出n un 也发散； 一般情况下 | an |发散 an 发散；注意：极限 lim n a 有时不易计算，如 a 3 n n! ；nnnn n例级数enn! 的敛散性，其中 p 为参数.n1 nn pnna解 记 a e n! ，liman lim n1 1nn pnn an nn( an 1) n( enn! (n 1) n1 p 1) n(1 1 )n p ean1nn p en1(n 1)!en(1 x)p (1/ x) e(1 x) p(1/ x ) ( px 1) ln(1 x

7、) lim limx0 xx01x lim n( an 1) p 1 ( p 1 )enan122p 3时，级数 enn! 收敛由拉贝判别法：2n1 nn pp 3时，级数 enn! 发散.2n1 nn p拉贝( Raabe )判别法：设 n 充分大时， un 0，且极限 lim n( un 1) Ln un1存在( 或为 ， ) .若L 1，则 un 收敛；若 L 1，则 un 发散.例 3 n 的敛散性.n1nan1这表明：解 记 an 1 / 3 n ， liman lim a 1nn nn( an 1) n( n 1 n) 3 n 1 n 1an1n 1 nlim 3x 1 lim e

8、 x ln 3 1 ln 3 lim n( an 1) x0 xx0 xn an1所以， n 1n13收敛.以 p-级数 n p 为比较标准建立的判别法：若 p 1, 使得 n 充分大时un 1 ，则 un cgt.np若 p 1, 使得 n 充分大时ln un p ln n，则un cgt.对数比值判别法：设 n 充分大时un 0，且 lim ln(1 / un ) L.nln n若L 1，则 un cgt.；若L 1 ，则 un dgt.对于满足L 1 的正项级数un ，此法不能判别.例 3 n 的敛散性.n1解 lim l 1/ 3 n )n( lim n ln 3 1 1 cgt.nl

9、n nn ln nn1 3 nL可以是 例 1 的敛散性. 根式判别法失效!n1 3 n解法二 注意到：x 时, 1 x o( 1 ) ,3x4 1 n 时, 1 o( 1 ) ,即有 lim 3 n 03 nn2n 1 n2由比较判别法的极限形式，可知原级数收敛.9例 1 的敛散性. 根式判别法失效!n1 3 n解 利用积分判别法，设 N 是某个自然数， f (x ) 在 N , ) 内单调递减，且 f ( x) 0 . 又设 a n f( n) , n N , N 1, , 则级数a 收敛 数列极限 lim n f ( x) dx 存在.n N nn Nf ( x) 1 在x 1内单调递减

10、，非负， f (n) 1 .3 x3 n令 x t , n dxn 2tdt n 2tet ln 3dt 1 3 x13t1练习题8 lim n dx 存在n 1 3 x例 判别下列级数的敛散性: n 1 .n n 1 n12 n( 2n 1)解 lim2n(2n 1) 1 Cauchy 根式判别法失效ndAlembert 比值判别法也一定失效！注意到：n 1 n 1 1 / n 2n(2n 1)n n 2(2 1 / n) 1 1 o(1) 1 o( 1 ) , n n n 44n3 / 2n3 / 2 limn 11 1 , 由比较判别法的极限形式，n 2n(2n 1) n3 / 24级数 n 1 与 1 有相同的敛散性 ,n1 2n(2n 1)n1 n3 / 2 级数 n 1 收敛.n1 2n(2n 1)补充题 1. 设有数列 xn. 已知存在常数M 0, 使得对一切自然数 n,3 n M.求证：数列 xn收敛.补充题 2. 设un 0 (n 1, 2,)，且 lim n 1，n un级数 ( 1 1 )的敛散性.n1 unun1补充题 3. 设 an 0 , n 1, 2 , ，且极限 lim an1 qn an存在，求证：对任意的 r q， lim