必修四_平面向量知识点梳理PPT通用课件

1、 必修四 平面向量知识点梳理知识网络平面向量加法、减法 数乘向量坐标表示两向量数量积零向量、单位向量、共线向量、相等向量向量平行的充要条件平面向量基本定理两向量的夹角公式向量垂直的充要条件两点的距离公式向量的概念解决图形的平行和比例问题解决图形的垂直和角度,长度问题向量的初步应用向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。重要概念：（1）零向量：长度为0的向量，记作0.（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量.（3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量.（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.一、平面向量概念几何表示 : 有向线段向量的表示字母

2、表示 坐标表示 : (x，y)若 A(x1,y1), B(x2,y2)则 AB = (x2 x1 , y2 y1)一、平面向量概念向量的模（长度）1. 设 a = ( x , y ),则2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则一、平面向量概念1.向量的加法运算ABC AB+BC=三角形法则OABC OA+OB=平行四边形法则坐标运算:则a + b =重要结论：AB+BC+CA= 0设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)( x1 + x2 , y1 + y2 )AC OC一、平面向量概念2.向量的减法运算1）减法法则：OAB2）

3、坐标运算:若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 )则a b= 3.加法减法运算律a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交换律：2）结合律：BA(x1 x2 , y1 y2)OAOB =一、平面向量概念练习120oADBCO120oADBCOreturn4.实数与向量 a 的积定义：坐标运算：其实质就是向量的伸长或缩短！a是一个向量.它的长度 |a| =| |a|；它的方向若a = (x , y), 则a = (x , y)= ( x , y)(2) 当0时,a 的方向与a方向相反.(1) 当0时,a 的方向与a方向相同；一、平面向量概念则存在唯一实数，使得结论: 设表

4、示与非零向量同向的单位向量.定理1:两个非零向量平行(方向相同或相反)一、平面向量概念向量垂直充要条件的两种形式:二、平面向量之间关系向量平行(共线)充要条件的两种形式:（3）两个向量相等的充要条件是两个向量的坐标相等. 即: 那么 三、平面向量的基本定理如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 使1、平面向量数量积的定义：2、数量积的几何意义：OABB1(四) 数量积4、运算律:3、数量积的坐标运算5、数量积的主要性质及其坐标表示：OBA综上所述：原命题成立CNDBMOA解: CNDBMOA例3、 已知a=(3,-2) ， b=(-2,1)， c=

5、(7,-4)，用a、b表示c。解：c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2bO A B P另解:可以试着将 说明：(1) 本题是个重要题型：设O为平面上任一点，则：A、P、B三点共线 或令 = 1 t， = t，则 A、P、B三点共线 (其中 + = 1) (2) 当t = 时， 常称为OAB的中线公式(向量式)例5.设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)，求证：A、B、D 三点共线。 分析要证A、B、D三点共线，可证AB=BD关键是找到解：BD=BC+CD= 2a +

6、8b+ 3(a b)=a+5bAB=2 BD A、B、D 三点共线AB BD且AB与BD有公共点B例6.设非零向量 不共线， 若 试求 k. 解： 由向量共线的充要条件得： 即 又 不共线 由平面向量的基本定理 解：设顶点D的坐标为（x，y） 例8 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（2，1）、（ 1，3）、（3，4），求顶点D的坐标例9. 已知A(2，1)，B(1，3)，求线段AB中点M和三等分点坐标P，Q的坐标 .解：(1) 求中点M的坐标，由中点公式可知 M( ，2)(2) 因为 =(1，3)(2，1) =(3，2)例10.设A(2, 3)，B(5, 4)，C(7, 10)

7、满足(1) 为何值时,点P在直线y=x上?(2)设点P在第三象限, 求的范围.解: (1) 设P(x, y)，则 (x2, y3)=(3, 1)+(5, 7), 所以x=5+5，y=7+4. 解得 =(2) 由已知5+50,7+40 ,所以1. 例11（1）已知 =（4，3），向量 是垂直于 的单位向量，求 .例13、已知ABC中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD。（1）求证：ABAC；（2）求点D和向量AD的坐标；（3）求证：AD2=BDDC解：（1）A(2,4) B(-1,-2) C(4,3) AB=(-3,-6) AC=(2,-1) ABAC=(-3)2+

8、(-6)(-1)=0 ABAC（2）D(x,y) AD=(x-2,y-4) BC=(5,5) BD=(x+1,y+2) ADBC ADBC=0 5(x-2)+5(y-4)=0 又B、D、C共线 5(x+1)-5(y+2)=0 x+y-6=0 x= D( , ) x-y-1=0 y= AD=( ,- )（3）AD=( ,- ) BD=( , ) DC=( , ) |AD| = + = BDDC= + = AD =BDDC22例13、已知ABC中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD。（1）求证：ABAC；（2）求点D和向量AD的坐标；（3）求证：AD2=BDDC例14.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为（ ） A. B. C. D. 解析 设a和b的夹角为，|a|cos= C解：解： 同理可得 =120解答案 CABCABCP解析【例23】已知向量a=(cos x,sin x), b=(cos ,-sin )，且x . (1)求ab及|a+b|; (2)若f(x)=ab-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值.解 0|a+b|=2cos x.(2)由(1)可得f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1=2(cos x- )2- .x ， cos x1