数列综合题习题课毕业论文

1、 .PAGE38 / NUMPAGES42毕业论文（设计）题目：数列综合题习题课数列综合题习题课摘要数列是高中数学的重要容之一，它的基础性和发展性是不言而喻的，由于数列与函数、三角、不等式、解析几何、立体几何等有广泛的联系，有很强的综合性，是高中代数中培养学生综合能力的好素材。本文通过对历年高考题的分析与讲解，希望能培养学生的数学思维能力，自始至终贯穿观察、分析、归纳、类比、运算、概括、应用等能力。其次，数列这一章蕴含着多种数学思想与方法，如函数思想、方程思想，而且在基本概念、公式的教学本身也包含着丰富的数学方法，掌握这些思想方法不仅可以增进对数列概念、公式的理解，而且运用数学思想方法解决问题

2、的过程，往往能诱发知识的迁移，使学生产生举一反三、融会贯通的解决数列问题。然而数列综合题的学习与理解对于大多数学生来说却是很困难的，本文将数列综合题进行了归类,想通过这几类的题型的讲解，让同学们了解和认识到数列，也希望通过所列举的例题与习题来引导学生进入数列综合题的研究与学习。关键词：数列；函数；不等式；几何；数学思想 ；数学方法PROBLEMSETSWILLSEQUENCESYNTHESISPROBLEMABSTRACTThe sequence is one of the important contents of high school mathematics, whose foundat

3、ion and development is evident, because it has a wide connection with function, inequality, triangle, analytic geometry, and solid geometry, which is very comprehensive and is a good material to cultivate comprehensive ability of students in high school algebra. Based on the analysis and explanation

4、 of the questions in the college entrance examination, this article aims to cultivate students mathematical thinking, observation, analysis, induction, analogy, computing, generalization and application ability, etc. Secondly, the chapter of sequence contains a variety of mathematical ideas and meth

5、ods, such as function, equation ideology, and the basic concept, formula teaching itself contains abundant mathematical methods. To master these methods not only can improve the understanding of the concept and the formula and the use of mathematical thought and method to solve the problem, but also

6、 contribute to the migration of knowledge, enable students to infer other things from one fact, and achieve mastery through a comprehensive study of the sequence questions. However sequence synthesis problem of learning and understanding is very difficult for most of the students, this paper compare

7、d the sequence synthesis problem, want to through this a few kinds of questions of interpretation, let students understand and recognize the series, also hope that through cited examples and exercises to lead the students into sequence synthesis problem in the research and study.Keywords: sequence;

8、function; inequality; geometric; mathematical thinking; mathematical methods目 录1前言12 教学过程2 2.1 第一讲：等差数列与等比数列的综合问题22.1.1 等差数列的综合问题32.1.2 等比数列的综合问题52.1.3 等差数列与等比数列的综合问题7 2.2 第二讲： 数列的求和92.2.1 公式法求和92.2.2 错位相减法求和122.2.3 数列求和的其他方法14 2.3 第三讲：数列与函数、不等式、解析几何的综合问题172.3.1 数列与函数、不等式的综合问题182.3.2数列与解析几何的综合问题21 2

9、.4 第四讲：其他数列综合问题242.4.1递推公式与通项公式242.4.2数列与存在性问题262.4.3数列、极限、解析几何的综合题292.4.4 数列构造法与最值问题的应用312.4.5 数列与向量、概率的综合问题323 结论36参考文献37致381 前言数列是高中阶段重要的 HYPERLINK :/ lw54 /html/shuxue/ t _blank 数学基础知识和基本技能，同时数列是刻画离散现象的数学模型，在我们的日常生活中，数列模型可以帮助我们解决如存款利息、购房贷款、资产折旧等实际问题，学习它，研究它，主要是想利用它来解决一些实际问题，让其为我们的生活更好地服务。也就是说，我们

10、所学知识都来源于实践，最后还要应用于生活。其次学习数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值也具有重要的意义。数列是高中数学的重要容，也是很多数学思想方法的重要载体，它具有丰富的现实背景，在现实问题的解决中有着广泛的应用。数列作为离散函数的模型，具有函数的性质，又有自己独特的递推关系，使得他与高中数学的其他部分有着密切的联系，又具有自己鲜明的特征，因此是高考重点考察的容之一。对于数列综合题的学习需要学生具有一定的综合能力，本文正是为了培养与锻炼学生这种综合能力而进行编写的。文中所选习题与例题均出自历年高考真题与各省的模拟题，围基本覆盖数列的所有知识点。对于学习者来说，或许有些难度，但是

11、我相信读者们一定可以跨过这道门槛，走进数列丰富多彩的殿堂。2 教学过程2.1 第一讲：等差数列与等比数列的综合问题授课题目等差数列与等比数列的综合问题课型习题课年级高三教学目标知识与技能熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前项和公式以与递推公式的有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题.过程与方法通过对等差、等比数列综合题的分析、探究，提高学生的观察、探索、发现的能力；利用例题来培养学生分析、比较、概括、归纳的能力.情感、态度与价值观通过具体问题，发现等差等比数列之间的关系以与同其他知识的关系，并利用相关知识予以解决，感受数列的应用价值；培养学生严谨、细心观察的科学态度.学情分析在本节

12、课之前学生已经学习了等差、等比数列的所有基本知识，对于基本概念以与相关知识都比较熟悉，同时学生已有了函数与方程知识，因此在教学中可适当渗透函数与方程思想。然而将这些知识综合在一起来考查，学生们往往感觉比较困难，针对学生的认知规律，本节课采取了循序渐进、层层深入的教学方式，以问题解答的形式，通过分析、讨论、归纳、探索而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭建了理想的平台，让学生见识到这类题型的考查方式与解题的基本思路，为学生后来更深一层的研究数列问题打下基础.教学重点与难点通过对等差、等比数列通项公式的运用，渗透函数与方程思想，以与对数列前项和与数列之间的关系理解.教学方法讲授法教具粉笔、直尺2.

13、1.1 等差数列的综合问题方法引导：解决等差数列的综合问题时，首先要熟练掌握等差数列的定义，能够用定义法或等差中项法判断或证明一个数列是等差数列；其次要熟练掌握等差数列的通项公式和前项和公式，能够用等差数列的性质解决相关问题。例1 设数列的前项和为，已知且，其中A、B为常数。求A与B的值；证明数列为等差数列；证明不等式对任何正整数、都成立。选题意图：此题以方程为背景，综合考查了数列与其前项和之间的关系、等差数列的定义、以与不等式的相关知识，对于学生的方程与函数思想、归纳与分析能力的训练都有一定的好处，此题属于常规题型，具有代表性，且问题也不是很难，学生可以接受，解法也很普遍，具有示性。解析：首

14、先看看三个问题，第一问是要求A与B的值，第二问要证明数列为等差数列，第三问是要证明不等式对任何正整数、都成立，针对第一问，这里同学们很容易盯着不放，而忽视，导致此题无从下手，这就是没有理解题意的表现，我们往往只盯着题目中比较大，比较长的式子，而忽视一些细节，所以在作题时，要把题设中所有对象“是什么，有什么性质，如何表示”尽可能理清楚的写下来。仔细分析后，我们很容易想到把的值代入已知等式，建立A与B的方程组，求得A与B的值。这里我们对于题意的表层理解就是找出了与的关系，其实只要我们更深一层的理解，就会发现这里其实所要表达的是等差数列的函数性质与方程思想的运用。于是有 得 把 分别代入 得解得到此

15、第一问解决，绝大多数同学，我想都能做出来。而第二问要我们证明数列为等差数列，而条件给我们的只是有关前项和之间的关系，所以第二问解题的关键就是要找出与之间的关系，这里仍然考察与的关系。于是由（1）知，即这里出现了与之间的关系，结合，递推思想的运用在此油然而生，很自然想到将向前加一位或向后减一位。故得则得，即还是这种想法，将向前加一位得则得，这里我们已经将开始条件里的之间的关系，彻底转化为了之间的关系，充分体现了解题基本路径中的“变更问题”思想，这种转化使得问题的初始状态与目标状态愈来愈接近。观察式又等差数列最鲜明的特征在此处展现出来了。数列是首项为1，公差为5的等差数列。对于第三问是证明不等式，

16、我们可以从这个式子入手分析，要想证明只要证明即只要证又由（2）知， 考虑即因此这种“执果索因”的分析方法，在今后的学习中将被经常用到，同学们要好好体会。能力考察：在数列中判断数列是否为等差数列；若对任意的正整数恒成立，数的取值围。2.1.2 等比数列的综合问题方法引导：解决等比数列的综合问题时，首先要深刻理解等比数列的定义，能够用定义法或等比中项法判断或证明一个数列是等比数列；其次要熟练掌握等比数列的通项公式和前项和公式，能够用等比数列的性质解决有关问题。闲话不多说我们来看看这道题。例2 已知等比数列的前项和为求的通项公式；设数列满足为数列的前项和，求证：选题意图：此题依然是想考查学生对于数列

17、与之间关系的理解，第二问的直观的感觉很复杂，可是只要我们算下去，就会“由难变易”。对于不等式考查同学们函数思想的应用。这里也再次强调，对于数列问题而言，函数思想是必须具备的。解析：还是一样，先看看问题。第一问是求的通项公式，第二问证明不等式。针对第一问，条件告诉我们是一个等比数列，如果我们知道首项与公比，那么第一问就没有问题，关键题目给的条件还是和有关，结合，我们依然采取例1的思想，于是，当时，当 时，由于是等比数列，所以因此有 解得这时到此第一问就解决了。这里体现了数学解题的元认知中的“控制”，即当我们遇到一道新题目时，对如何入手、如何策划、如何构思、如何选择、如何组织、如何猜想、如何修正等

18、都应该作出基本策划和安排。对于第二问，由于，这个关系式很复杂，我们可以不关注其“长相”，依然从深层去理解，紧抓问题之间的关系，联系第一问我们可得，故，从而到这里我们就把刚刚题目中的“隐性信息”转化成了“显性信息”，接下来的求解就可水到渠成。所以观察的构造，很自然想到用错位相减法求出，即则得所以，要证即要证，很显然要考虑的取值情况，即考查它的单调性。不妨令，显然随着的增大而减小，故，故，即等比数列的综合问题，其实并不是很难，然而这类问题的考察，常常会伴有大量的计算与“丑陋”而又“粗犷”的式子。同学们往往被这些附带的东西迷惑，致使解题出现困难。其实只要抓住问题的本源，掌握数列的性质，就一定能找出头

19、绪。 能力考察： 已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数。用表示；若，记，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；若是数列的前项和，证明2.1.3 等差数列的综合问题与等比数列的综合问题方法引导：解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系。如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或成等比数列的项抽出来，研究这些项与项数之间的关系；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解。例3 假设是一个等差数列，且满足若给出以下命题：（1）数列是等比数列；（2）；（3）；（4）。其中正确的个数

20、是A.1 B.2 C.3 D.4选题意图：此题以等差数列为面等比数列为里综合而成的。重点是对等差等比数列性质的考查，对于这种选择题型，抓住题目所给条件，细心分析，关注两种数列之间的联系，就一定能得出结论。分析解答：四个命题我们一个一个看，首先第一个命题说数列是等比数列，由条件知.不妨设的公差为，则，又，所以.易知数列是等比数列，公比为，故（1）正确；其次第二个命题，由于，所以，故（2）正确；再次第三个命题，由于，所以，故（3）正确；最后第四个命题因为，所以，故（4）正确.故四个命题都是正确的，选D.等差与等比数列的综合问题，我们只要能熟悉它们之间的联系与区别，按部就班地从基本的想法试下去，就一

21、定可以做出来.能力考察： 已知数列是首项为的等比数列，且成等差数列，则其公比等于A.1 B.1 C.1或1 D.2.2 第二讲： 数列的求和授课题目数列求和课型习题课年级高三教学目标知识与技能熟悉各种求和方法的定义以与运用的条件，能熟练地运用各种求和方法来求数列的和.过程与方法通过对数列的各种求和公式的运用来培养学生归纳、分类讨论、迁移的能力.情感、态度与价值观在解决实际问题的过程中，体会如何去分析问题、解决问题，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的综合能力.学情分析在本节课之前学生已经学习了各种求和公式的推导以与主要的求和思想，本节是对学生能否用已学知识来解决问题的一次考查。通过上节的讲解与练

22、习，学生们已经对等差等比数列的基础知识相当熟悉，各种思想方法也得到了一次训练，对于数列求和，因为有很多方法，致使学生在解题时不知道用哪种方法，所以本文从最基本的求和方法开始讲解，层层递进地介绍了包括错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、并项转化法的相关应用，符合学生的认知规律.教学重点与难点会用各种求和方法进行求和，理解公式法求和，错位相减法求和，倒序相加法求和，裂项相消法求和，并项转化法求和的基本思想以与会灵活运用.教学方法讲授法教具粉笔、直尺2.2.1 公式法求和方法引导：所谓公式法，就是直接应用等差数列、等比数列的求和公式，以与正整数的平方和公式、立方和公式等公式求解。而我们常用的几个求和

23、公式如下：（1）（2）（3）熟练这些公式，是能求出数列前项和的保障。所以公式的记忆是很重要的。例1 已知函数（1）若函数的图像的顶点的横坐标构成数列，试证明数列是等差数列；（2）设函数的图像的顶点到轴的距离构成数列，试求数列的前项和。选题意图：此题是在数列的知识框里镶上了函数知识，两类知识结合的天衣无缝，即考查了数列求和的知识，又考查了函数的最值点等相关知识。这种结合在数列综合题问题的考查中时有发生，属于常规考法，比较典型。解析：首先分析问题,对于第一问说是由函数的图像的顶点的横坐标构成的，这里充分的利用了数列的函数特点，成功地将数列问题“嫁接”在了我们已经非常熟悉的一元二次方程的“树干”上，

24、这类题型在高考中很是常见，只要学生们能从熟悉的知识入手，从而联想到一个可行的解决方案，那么接下来的事，就水到渠成了。接着看，既然说是由函数的图像的顶点的横坐标构成的，所以我们要看看的顶点横坐标是什么。由（这里还可以直接用对称轴为），于是可得，我们知道题目是要我们证数列是等差数列，这里只要考虑一下等差数列通项的特征，就能立即得到结果，当然如果你不放心，也可以检验相邻两项的关系，即，隐藏的等差数列终于暴露出来了，到此就证明了数列是等差数列。而对于第二个问题，又出现了另一个数列，其实只要对第一问很熟悉，我们自己都可以“猜测”到第二问的问题，一个框架，造出来的楼也是很相似的，由上面的分析可得很显然下一

25、步我们要去掉绝对值，于是当时，数列为等差数列，由公式,；当时，数列是等差数列，这里的首项是，共有项，到此问题就全部解决了。从某种意义上说，这里我们只是再认了一个由旧问题“乔装打扮”而成的新问题而已，需要提醒的是用等差数列或等比数列的求和公式时，一定要看清数列的哪些项构成等差数列或等比数列。在第（2）问的求解中，或时，都可以用等差数列的前项和公式，但当时，不要误求为数列的前2项和；当时，数列的首项为，项数为，不要误求为项的和，也不要误求为项的和。能力考察：已知数列是首项为，公比为的等比数列，是其前项和，且成等差数列。（1）求公比；（2）设，求2.2.2 错位相减法求和方法引导：如果一个数列的各项

26、是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的，此时可把式子的两边同乘以公比，得到，两式错位相减整理即可求出。利用错位相减法求和是一种非常重要的求和方法，这种方法的计算过程较为复杂，对计算能力的要求较高，应加强训练，并注意通过训练，掌握在错位相减过程中几个容易出错的环节。下面就来看看错位相减法求和是怎么一回事。例2 已知数列是首项、公比都为的等比数列，.（1）当时，求数列的前项和（2）当时，若，求的最小值。选题意图：从一看便知，此题是借着对数模型发挥，综合考查学生对于与之间的关系的理解、错位相减法的应用、以与比较大小的处理方法。构造简单，思路也很明显，对于大多数同学来说，容易接受。也希望通过

27、此题让同学们类比函数模型与数列结合这一类问题的解题思路。解析：等差数列、等比数列的求和，对于我们来说是很容易的，毕竟我们有现成的公式可以套用，那么如果把等差与等比数列糅合在一起，导致项与项之间没有了明显的关系，你还能作出来吗？错位相减法，就是为了培养和训练学生的“创造”思想的。依然分析一下问题，第一问想求数列的前项和，想求，就得求，想求就得求，这里依然遵循“从基本的想法试下去”这一原则，所以由题得,，要求出,关键是求出.故可设，（这里出现了运用错位相减法的时机）故，于是由得到此第一问运用错位相减法就解决了。而第二问是解不等式，对于解不等式，我们常常能想到是作差和相除，不妨我们尝试一下相除，于是

28、，即取时，。当然也可通过作差的方法，建立关于的不等式，求出的取值围，即，此处的式子乍一看很复杂，其实仔细分析一下就变成了的样子。，即取时，故所求的的最小值是15，结论与上所求一致。此类问题应该从整体进行观察、分析、处理，从全局把握条件与结论间的联系，抓住问题的本质，使问题变得简洁、明晰，从中发现解决问题的办法，即“整体化策略”。 能力考察：已知函数满足且（1）当时，求的表达式；（2）设，求证：；（3）设为的前项和，当最大时，求的值。2.2.3 数列求和的其他方法方法引导：数列求和的方法有很多，这里再重点说说倒序相加法、裂项相消法、并项转化法这三种方法。所谓倒序相加法即如果一个数列，与首末两项等

29、距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和，进而求出数列的前项和。当然运用倒序相加法求和具有一定的局限性，只有与首尾两项等距离的两项之和是常数时才可以用。而裂项相消法就是把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项和变成首尾若干少数项之和，从而求出数列的前项和。这里列举了一些常用的裂项技巧：（1）（2）（3）（4）（5）（6）最后看看并项转化法，即在求数列的前项和时，如果一个数列的项是正负交错的，尤其是当各项的绝对值又构成等差数列时，可以先将相邻的两项或几项合并，然后再利用其他相关的方法进行求和。说了这么多，接着我们来看看下面的

30、这道例题。例3 二次函数，当时，的函数值中所有整数值的个数为，则A. B. C. D.选题意图：此题依然是将数列问题“嫁接”在函数的“树干”上，对于此类问题的解决，一定要从函数的思想方法入手，深入研究，找出那些被函数所隐藏的信息。只要找出了“隐藏性信息”，剩下的就是对学生的运算能力的考察。同时本题对于并项转化法求和的训练也是相当的有深度的，希望同学们能体会。解析：先考虑的对称轴为，即在时，函数为增函数。故当时，函数的值随的增大而增大，则的值域为，.既然已经求出，所以可得.此处求出了。下面要分析一下的构造，由于受的影响，必须对其进行讨论，故先考虑当为偶数时，再考虑当为奇数时，故选A。注意在利用并

31、项转化法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数进行分类讨论，但最终的结果却往往可以用一个公式来表示。能力考察：设函数，若已知，且数列满足，则数列的前项和=2.3 第三讲：数列与函数、不等式、解析几何的综合问题授课题目数列与函数、不等式、解析几何的综合问题课型习题课年级高三教学目标知识与技能使学生了解数列与函数、不等式、解析几何之间的关系，掌握这类题型的解题思路和常规解题方法，让学生体会数学知识间的联系.过程与方法结合实例，通过观察、分析、归纳、猜想，让学生经历数列与函数、不等式、解析几何综合问题的解题过程，发现此类问题的命题特点与考查方式，以与体验函数与方程、转化与化归、分类讨

32、论等数学思想.情感、态度与价值观在解决实际问题的过程中，体会如何去分析问题、解决问题，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的综合能力.学情分析本节课的学习是对以前所学知识的一个总结与考查，学生对于数列、函数、不等式、解析几何的相关知识也已经相当熟悉，然而将这些知识综合起来，题型是什么样的，到底会如何考查，基本的解题思路是什么，该如何分析问题，从何处下手等问题，是每个学生的困惑，而且由于学生对知识间的联系不够清楚，虽然具有一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维能力也已经形成，但缺乏冷静、深刻，思维上具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊等情况，往往会导致解题失败. 教学重点与

33、难点熟练掌握函数、不等式、解析几何、数列所涉与的各个知识点，能熟练运用这些知识点，以与有一定的综合运用能力，能掌握知识间的在联系.教学方法讲授法教具粉笔、直尺2.3.1 数列与函数、不等式的综合问题方法引导：数列是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，我们可以用函数的观点来研究数列。例如要研究数列的单调性、周期性，可以通过研究其通项公式所对应函数的单调性、周期性来实现，但要注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特性。由于在等差数列的通项公式中，是关于的一次函数，在前项和公式中，是关于的二次函数，在等比数列的通项公式中，和的关系

34、类似于指数函数，所以等差数列与一次函数、二次函数，等比数列与指数函数有着密切的关系。一方面我们要了解这种关系，另一方面也要能够利用数列与函数的这种关系解决问题。由于图像是函数的一种重要表示形式，所以有些数列问题借助其对应函数的图像可以得到直观形象的解答，同时有些函数问题，例如求函数解析式，也可以借助数列中的相关知识进行求解。而数列与不等式的综合问题是高考考查的热点容。考查方式主要有三点，一是判断数列问题中的一些不等关系，二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，三是考查与数列问题有关的不等式的证明问题。在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用数列的单调性的时候，可以通过比较相邻

35、两项的大小进行判断。当然这节的学习，可以帮助我们检查自己对于以前学习过的知识的掌握程度。例1 已知二次函数同时满足：不等式的解集有且只有一个元素；在定义域存在，使得，但。设数列的前项和。（1）求的表达式；（2）求数列的通项公式；（3）若，数列的前项和为对恒成立，求的取值围。选题意图：此题将函数、不等式与数列融合在一起进行考查，综合考查了不等式、函数的性质、数列的通项公式、数列的求和等知识。容丰富，知识点也比较多，通过此题的解答过程，想给同学们一些启发。使同学们在以后的学习中善于总结知识间的联系。当然裂项法求数列的和，也是我们必须掌握的技能。解析：解决这类问题，同学们一定要在题目的文字中理解出一

36、个“表征方式”，可以是语义的、表象的、图式的、图表的，这里对于问题在学生头脑中的“表征方式”就起着很重要的作用。依然是先分析一下问题，第一问求的表达式，关键是求出的值，从题目已知的条件不等式的解集有且只有一个元素，再结合一元二次函数的性质我们或许可以得到一些启示，尝试一下。的解集有且只有一个元素，也就是说图像与轴只有一个交点。或这里解出了的值。再看看条件说在定义域存在，使得，但。故可将的值代入之后一一验证即可。所以当，函数是一个偶函数，图像关于轴对称，时必有。故不存在，使得，且这里“数形结合”思想的运用，是很重要的。又当时，函数，在定义域存在，使得，且满足题设条件。故.对于第二问是求数列的通项

37、公式，由条件已知，故由第一问的结果可知，这里考查与之间的关系。当时，当时，有，第三问又多出了两个数列与数列，由条件知这里数列与数列可谓来势汹汹，然而却是一只纸老虎，我们不要自乱阵脚，来慢慢分析，此题是让我们解不等式，很显然我们要求出，由上可知当时，观察的形式，要考虑到用裂项求和法来求。数列的前项和即对恒成立，由于是想求出的取值，常用策略就是分离变量，于是分离变量之后可转化为：对恒成立，此处要理解“恒成立”的意义，将问题转化一下，其实就是考查的增减性，来找最值。是关于的增函数，当时，取最小值18，本题将函数、不等式与数列融合在一起进行考查，综合考查了不等式、函数的性质、数列的通项公式、数列的求和

38、等知识。尤其是第（3）问，需要用裂项法求数列的和，这是学习中的一个难点，需要我们慢慢体会与理解。能力考察：已知数列的前项和为，并且满足（1）求的通项公式；（2）令，问是否存在正整数，对一切正整数，总有？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。2.3.2 数列与解析几何的综合问题方法引导：数列与解析几何的综合问题，尤其是解析几何中的点列问题正成为高考的热点容。解决点列问题的关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系或通项公式之间的关系，然后借助数列的知识加以解决，这些都需要学习者有较高的融会贯通能力，比较困难。然而此节学习还有一处难点，就是对学习者计算能力的挑战，解析几何与数列中都

39、有较大量的计算，所以要求学习者的计算功底要相当扎实，既要快又要准，下面来看看例题。例2 已知抛物线，过原点作斜率为1的直线交抛物线与第一象限一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点（1）令，求证：数列是等比数列；（2）设数列的前项和为，试比较与的大小。选题意图：此题是解析几何与数列结合考查的常见形式，求和、通项、比较大小也是大众题型。同学们容易接受，思路也比较清晰，只要在解题中注意细节，解题就能很顺利。解析：此类问题对于题意的理解很重要，一定要从题意中概括出大致意思，辅之于图像，帮助自己理解题意。可以通过“它

40、是什么？如何表示？能否画出图像？能否用其他形式表示？”这样的话来提示自己挖掘题目的深层含义。话不多说先看看问题。第一问是要证数列是等比数列，那么要明确等比数列的定义与性质，由题目条件可知都在直线与抛物线上，据此可建立与，与之间的关系式。即又直线的斜率为，即把代入式可得，到此得到了与之间的关系。再看看的构造，故可得这里是一个思考难点，同学们很少能发现，其实只要仔细分析从上面得出相邻项的关系，就能很自然的建立起这其中的“桥梁”。结合问题考虑，故得，等比数列最鲜明的特征已经展现在我们眼前了，所以是以为公比的等比数列。第一问到此便解决了。针对第二问是比较与的大小，首先要求出，由（1）知，且,，,原题转

41、化成比较与的大小。故只要比较与的大小即可。这里“转化策略”的运用，可以省去很多麻烦，由于是指数形式，是一次函数形式，考虑作差或者相除都必将导致运算量增大，故索性就从“简单自然”的方法考虑，即可对进行讨论，即当时，；当时，；当时，（1）当时，；（2）当时，；（3）当，时，。结论已经得出，此题到此结束。能力考察：已知曲线过上一点作斜率为的直线交曲线于另一点，点列的横坐标构成数列，其中。（1）求与的关系式；（2）求证：数列是等比数列；（3）求证：2.4 第四讲：其他数列综合问题授课题目其他数列综合问题课型习题课年级高三教学目标知识与技能掌握各知识点之间的部联系，能熟练运用所学知识，进行解题.过程与方

42、法通过实例，帮助学生了解题型与考查方式，培养学生的综合解题能力.情感、态度与价值观在解决问题的过程中，使学生认识并感受数学的应用价值.学情分析本节课是对上一节补充，也是对整个数列综合题的总结。数列与很多知识都有关联，有很强的综合性，所出题型信息量较大，涉与知识面广，复杂难懂，学生往往读完题后没有任何头绪，使同学们苦不堪言，其实单个的知识点，同学们都非常熟悉，可是当这些知识点“纠缠”在一起时，同学们或许是因为题意理解有障碍，或许是因为某些知识点不够清晰，导致无法解题，本节再次以例题讲解为主，来帮助同学们体会这类题的解题方法。教学重点与难点掌握各知识点之间的部联系，能熟练运用所学知识，进行解题。教

43、学方法讲授法教具粉笔、直尺2.4.1递推公式与通项公式方法引导：如果一个数列的连续两项（或几项）的关系，可以用一个公式（或者）来表示，就称该公式为数列的递推公式；由数列的首项（或前几项），与递推公式给出的数列，称为递推数列。递推公式是给出数列的一种重要方法。如果说由通项公式给出的数列是直接的、具体的，那么相对而言递推公式给出的数列则是间接的、抽象的。如何实现这种由“抽象”到“具体”的转化乃是我们要研究的核心容，即求递推数列的通项。此节容的学习会遇到很多关系式，可以利用函数的思想来进行考虑，当然也要求我们具有比较高的化简与变形关系式的能力。除去伪装，从而将那种隐藏的关系找出，解决问题。下面看看例

44、题。例1设（）令求数列的通项公式；（）求数列的前项和.选题意图：此题将两个数列“纠缠”在一起，通过相互两者之间的相互联系，互相求出。设计新颖，问题层层递进很有层次感，且方法比较普遍具有代表性。通过此题希望同学们理解递推公式的作用与处理方法。解析：首先分析一下问题，第一问是要求数列的通项公式，条件给出了与的关系，又给出了的递推关系式，因此从此递推关系式出发，想办法求出是解出此题关键。这是一种比较常规的思考方向，我相信大部分同学都会想到这些。当然这题还可以通过从这个关系式作为突破点来考虑，我们知道在高中学习阶段，我们所学习的数列中特殊的不多，常见的就是等差与等比数列，能求出通项的也就只有这两种，本

45、题是要我们求通项公式，是否可以考虑是等差或等比数列呢？可以尝试一下。于是可以寻找一下与之间的关系。由，这里出现了等比数列的典型特点，我们的尝试有了结果。所以是公比为的等比数列，且首项是由此可写出。到此第一问我们便解决了。对于第二问，是要我们求数列的前项和。想求出，那么我们就要知道的“样子”。回头看看题目已知条件与第一问的结论。我们很容易由第一问的结论得出与之间的关系，即, 注意到由等比数列的意义可得,，这里我们求出数列，当然就知道了的“样子”，所以，要求的前项和，分析一下的结构，它是由两部分组成的。对于我们很容易求出它的前项和，比较困难的是的前项和，可以把它单独分离出来考虑，化繁为简。不妨记数

46、列的前项和为，则这个式子的特征在前几节数列求和中讲过，可以利用错位相减法来求和。于是可得 两式相减得,故所有的准备工作都做好了，下面来求。由上可得。到这里我们就完整的把问题全部解决了，对于此类问题的解决，化“抽象”为“具体”、化繁为简、先分后和以与正难则反等策略的运用是非常有效的，同学们在平时的学习中要注意体会。能力考察：设数列、满足：，（）,证明：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（）.2.4.2数列与存在性问题方法引导：近年来,随着高考改革的深化和新教材中研究性课题的不断引入,探索题正逐渐成为高考的热点,尤其是以数列存在性问题为代表、考查学生创新意识与研究性学习能力的题目倍受命题者的青

47、睐。下面我们将结合具体实例谈一谈数列存在性问题的求解策略。例2 已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为。()求数列的首项和公比；()对给定的,设是首项为，公差为的等差数列.求数列的前10项之和；()设为数列的第项，求，并求正整数，使得存在且不等于零。(注：无穷等比数列各项的和，即当时该无穷数列前项和的极限)选题意图：此题放在这里，既能承接上文又能呼应下文，且问题设计的很新颖，将大学课程中的有关知识进行了“下放”，对于题意的理解，相关方法的考查很到位，希望同学们能借此训练自己的思维能力。此题比较有深度，值得同学们仔细琢磨。解析：首先分析一下问题，第一问要我们求首项和公比，我

48、们知道是等比数列，所以也是等比数列，且首项是，公比是。条件已知与的各项和，由等比数列的前项和公式与题目注解可得，这里，所以可得，到此第一问就解决了。这里的难点是对于极限的理解和运用。对于第二问首先要读懂题意，二问的意思是说，用重新构造了一个数列，长什么样子呢？题目说数列是首项为，公差为的等差数列，再看看问题是让我们求出的前10项和。首先我们来整理一下手上的“碎片”，我们知道了，是首项为，公差为，所以数列的首项为,公差,首项和公差都已经知道了，又知道是等差数列，所以前10项和,即数列的前10项之和为155。现在就差最后一问了，依然先来看看题目，第三问里包括两个问题，一问是求和，另一问是考查存在性

49、，首先看看一问，从题意可知，新出现的数列的特点就是为数列的第项，我们在第二问已经熟悉了的构造，即，其实“为数列的第项”的意思就是=，故.，这里求和仍要用到错位相减法，可见此法对于数列求和来说，相当重要。于是可得.到此求出一问.对于二问求正整数，使得存在且不等于零，是比较困难的。下面我们来慢慢研究，首先利用一问的结论，可得=,分别考虑，的极限值：因为,所以，由上式可得：当时，=；当时，；综上：对于存在性问题的考察，往往会引入一些未知参数，所以对于分类讨论思想、定量分析思想、等式转化等思想考察尤为突出，当然挖掘题意，从而理解“潜台词”，也是很重要的。能力考察：已知数列中, ，点在直线上,其中(1)

50、令， 求证:数列是等比数列；(2)求数列的通项；(3)设分别为数列、的前项和, 是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在, 试求出；若不存在, 请说明理由。2.4.3数列、极限、解析几何的综合题方法引导：数列极限问题是高中数学的难点容,值得引起关注的是高中数学新教材对这一部分容给与了前所未有关照；而解析几何又是传统的重点和难点,把数列极限揉合到解析几何中,新老交替必然会出现一类档次较高、难度较大的综合题,这类题在培养学生分析问题、解决问题以与提高学生对知识的交叉、融合和渗透方面有独特的作用。当然，前面也说了，这类题难度也是很大的，对于同学们的知识水平与能力要求较高。下面仅仅选出一道例题来进行说

51、明。例3 已知直线中,为中任取的两个数,且,所有不同形式的直线,其斜率构成数集(取不同的值即为形式不同的直线)()求的所有项的和；()设数列,求。选题意图：此题对于题意的分析很是重要，理解题意是解题的关键，问题将数列、极限、解析几何的相关知识糅合在一起，问的很简单，但是如果对于题意理解不到位，想解题就很困难，希望通过此题同学们能体会理解题意的重要性。解析：先来分析一下问题一，由题意在中,从中任取,且,直线的斜率为,所以,数集是由所有形如的真分数组成。即数集的所有项为此处是一个思维难点，很多同学因为找不到与旧经验意义上的联系而束手无策，导致无法解答。接着本题要我们把的所有项之和求出来。即要求。要

52、将这个整体直接求出是很困难的，或者说根本求不出来。这里依然采用前面所讲的“化繁为简、先分后和”的思想，我们能不能将其进行分解呢？首先观察的形式，是否可以考虑分别求它们的和呢？只要能求出上面的式子的和，再将它们的和相加，就自然能得出的和。有了这个思想，下面我们就来尝试一下。不妨设,于是可得。所以。看来我们的尝试成功了。下面来看看第二问，问题二构造了一个新的数列，让我们求出，即数列的所有项之和。还是老规矩，我们得先看看的样子。由以与上一问的结论可得,。（此处对于进行裂项也是一个难点，很多同学可能想不到这样处理。）经过裂项处理之后，很容易看出可用裂项求和法来求的所有项之和。即。所以仔细分析，我们发现

53、这类问题难就难在开头的起步，这里解题的过程往往带着“顿悟”的色彩，只要迈出了一步，后面的路就比较好走，可是这种“顿悟”的出现，却不是那么容易的，这需要我们根据问题本身的提示来表征问题，并在相应的问题空间中进行搜索，在这个问题空间中，潜在可能的新表征方式很多，一旦在搜索中发现了对等性表征，顿悟就产生了，接下来的解题过程也变得很轻松。2.4.4 数列构造法与最值问题的应用方法引导：构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型从而使问题得以解决。构造法的涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点而采取相应的

54、解决办法，基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法。在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，可以根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维围，运用构造法来解题也能培养创造意识和创新思维，同时对提高解题能力也有所帮助。用构造法求数列最值问题，其关键是要从问题的背景出发，根据题设与所求题目的结构特征经过合理的推理，探究出问题中隐藏的数列关系，列出符合题意的关系式，从而与数列的有关知识联系起来，以达到解题目的。下面我们来看例题。例4 已知实数满足，且，求的最大值和最小值。选题意图：本题问题简洁，却很复杂，通过此题我们能够体会到数列的工具性特点，即有些问题通过数列这一

55、工具可以得到更简洁的解答。同时也希望同学们通过此题体会问题之间的转化。解析：观察所给条件，因为，所以，从而。从这一步变形，的“样子”就变成了只和的乘积有关了，即问题转化为求的取值围从而求得的最值。此步的操作充分体现了“变更问题”这一解题思想。再回头看看，这里是关键的一步，这里建立了所求问题与数列之间的联系，故由等差数列的等差中项可知成等差数列，这里我们成功的构造了一个等差数列，接下来就可以沿着等差数列这条“路”考虑，先设公差为，这里的形式比较“肥胖”，不妨设，则由等差中项的性质得观察的形式，可采用相乘的方法将其“消去”，消元思想在此处产生了巨大的作用，所以，所以，从而解出，可得，即，故。因此。

56、到这里就完美地解决了此问。看到此题大多数同学都感觉无从下手，但通过变形，类比联想到等差中项的形式，采用等差数列的有关知识另辟蹊径来解决问题，可谓独具匠心。构造法的应用是极其广泛的，这种方法即有利于学生融会贯通“基础知识与基本技能”，又有利于帮助学生提高综合解题能力，对于启迪学生思维，开拓学生视野均颇有益处。2.4.5 数列与向量、概率的综合问题方法引导：向量因具有代数与几何的双重属性与其他知识的综合,成为高考命题的热点,尤其是向量与数列的综合题,它能够利用向量的性质给出数列的关系式,再利用数列的知识进行求解,体现了考查能力的命题原则。数列是传统高考重点容，概率是新生代，数列与概率的交汇可以迸发

57、出一类档次较高的综合题，对训练学生的创造能力大有裨益。与数列、向量有关的概率综合题频频出现在各类高考模拟试卷中，这类问题涵盖的知识点多，构思新颖。对这些问题的求解，需要有较强的思维能力以与运算能力。然而很多同学感到难以下手，考试时经常弃而不答，令人惋借。下面我们就以一道例题来谈谈这类题的思想方法，希望同学们能从中受到启发，掌握破解此类综合题的通法。例5 已知数列与点,对所有,满足(1) (2) (3) 存在实数,使。() 用表示；() 当时,在与两项中,至少有一项是数列的最小项,试数的取值围；()设为正整数,在()的条件下,试证：数列中的最小项为与最小项为的概率相等。选题意图：此类题是高考题中

58、的“新星”，向量与概率问题与数列之间的综合并不是很常见。这也恰恰体现出了数列知识的相容性。希望通过此题扩展同学们的眼界也希望借此来向同学们展示数列知识的综合性。解析：对于此类题的“病原”往往是信息量较大，涉与知识面广。“病症”表现为复杂难懂，读完题后或许没有任何头绪，让很多同学苦不堪言.在这里我提供“良药”一味“尝试错误式”，即遇到新的陌生问题时，将自己经验中与新问题有关的知识，有关的问题类型和有关的方法集中起来做出尝试，如果尝试失败，就进行新的尝试，从积累的全部经验中做出一个又一个尝试，直到问题解决。下面我们来分析一下这道题，首先看第一问，让我们用表示，再看看题目所给条件，由条件(1) (2),可知数列是以为首项,为公差的等差数列,于是可以写出,由题意我们可得四点的坐标，而对于条件(3)，说明直线平行，现在我们来整理一下“手里的碎片”碎片一：是以为首项,为公差的等差数列且；碎片二：四点坐标；碎片三：直线平行。下面我们就开始尝试吧，因为平行，所以,故。又，所以。这里出现