垂径定理 (3)

1、24.2.1垂径定理驶向胜利的彼岸问题：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义?我们是用什么方法研究轴对称图形的? I创设问题情境，引入新课 驶向胜利的彼岸7/11/2022讲授新课 圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 讨论：你是用什么方法解决上述问题的? 归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线驶向胜利的彼岸（一）想一想7/11/2022探索垂径定理 1在一张纸上任意画一个O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合2得到一条折痕CD3在O上任取一点A，过点A作CD折痕 的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交

2、点，即垂足4将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.问题：（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？ 说一说你的理由。驶向胜利的彼岸做一做：按下面的步骤做一做7/11/2022归纳：总结得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。驶向胜利的彼岸由 CD是直径 CDAB可推得AC=BC,AD=BD.AM=BM,7/11/2022 2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OEAB，垂足为E， 则AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即 ACBD.ACD

3、BOE1.在半径为30的O中，弦AB=36，则O到AB的距离是= 。 OABP练一练(1)24mm注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法 例如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)，其中CD=600m，E为CD上一点，且OECD，垂足为F，EF=90 m求这段弯路的半径分析要求弯路的半径，连接OC，只要求出OC的长便可以了.因为已知OECD，所以CFCD300 cm，OFOE-EF，此时得到了一个RtCFO,利用勾股定理便可列出方程.讲例驶向胜利的彼岸7/11/2022探索垂径定理的逆定理1.想一想：如下图示，AB是

4、O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。驶向胜利的彼岸由 CD是直径 AM=BM可推得AC=BC,CDAB,AD=BD.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!知“二”推“三”如图,在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. 想一想P918OABCDM 过圆心的直线, AM=BM, CDAB,AC=BC,AD=BD.垂径定理及逆定理 想一想P919OABCDM

5、条件结论命题垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.挑战自我垂径定理的推论 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相等吗?老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:随堂练习P9210OABCD1.两条弦在圆心

6、的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.第二课时应用 忆一忆垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.垂径定理的逆定理平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.赵州石拱桥例1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).RDOABC37.4m7.2m船能过拱桥吗变形题： 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米

7、.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.由题设得在RtOAD中，由勾股定理，得解得 R3.9（m）.在RtONH中，由勾股定理，得此货船能顺利通过这座拱桥.OD=R-2.4=3.9-2.4=1.5DH=OH-OD练一练在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. ED 600变形题在直径为650mm的圆柱形油槽内

8、装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. BAO600 650DC方法规律 想一想 已知：如图，直径CDAB，垂足为E .若半径R = 2 ，AB = , 求OE、DE 的长. 若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.由 、两题的启发，你能总结出什么规律吗？方法总结 对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：d + h = r试一试P9312驶向胜利的彼岸挑战自我填一填1、判断： 垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）例2：如图，已知圆O的直径AB与 弦CD相交于G，AECD于E， BFCD于F，且圆O的半径为 10，CD=16 ，求AE-BF的长。练习3:如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E， CEB=30，DE=9，CE=3，求弦AB的长。小