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文档简介

1、 三.有限维概率分布 马尔可夫链X(t),t= t0, t0, t0, 在初始时刻t0的概率分布：称为初始分布.初始分布与转移概率完全地确定了马尔可夫链的任何有限维分布. Pj(t0) = PjX(t0)=j, j=0,1,2, 定理：设齐次马尔可夫链 X(n),n= 0, 1, 2, 的状态空间 S= 0, 1, 2, , i, 则对任意 n 个非负整数k1 k2 kn和S内的任意n个状态j1, j2, , jn ,有证由概率的乘法公式和马尔可夫性由全概率公式,上式等号右端第一因式化为证毕于是得到例6在本节例5中,设初始时输入0和1的概率分别为1/3和2/3,求第2、3、6步都传输出1的概率

2、.解由题设知故马尔可夫链在任何时刻 tn 的一维概率分布又称为绝对概率,或称为瞬时概率.由全概率公式得如果马尔可夫链具有齐次性,那么上式化为由上式递推得到式中t0是初始时刻.写成向量形式得n步转移概率矩阵 上式表明:齐次马尔可夫链在时刻tn的瞬时概率完全地由初始分布和 n步转移概率所确定. 例7本节例2中,设质点在初始时刻 t0恰处在状态2, 试求在t2时刻,质点处在各个状态的概率.即：已知：=(0,0,1,0,0)故：=(0,0,1,0,0)或者(解2)四.平稳分布如果一维分布 pj (tn)与 tn无关,即：此时：对于齐次马尔可夫链即：定义4 对于齐次马尔可夫链X(t),t= t0, t1

3、, t2, ,如果存在概率分布 pj ,j=0,1,2, 满足则称pj ,j=0,1,2, 为平稳分布,于是有称X(t)具有平稳性,是平稳齐次马尔可夫链.即：另外有： 此时：定理 如果齐次马尔可夫链X(t),t= t0, t1, t2, ,的初始分布 是一个平稳分布,则 设齐次马尔可夫链 X(n),n= 0, 1, 2, 的转移概率矩阵为例8 且初始概率分布为(1)求(2)求(3)求平稳分布解(1)(2)(3)平稳分布(P1,P2,P3)满足即：解之得故平稳分布为带一个反射壁的一维随机游动,以 X(tn) =j表示在时刻 tn粒子处于j状态,状态空间S=0,1,2, ,j,转移概率求平稳分布 例9 解根据题设条件，知转移概率矩阵平稳分布应满足转移概率即应满足由(1)得(4),由(2)得得到(5

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