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文档简介

1、学习资料收集于网络,仅供参考随机过程期末考试卷1. 设 A,B,C 为三个随机事件,证明条件概率的乘法公式:P(BC A)=P(B A)P(C AB) 。1设随机变量 X服从参数为 的泊松分布,则 X 的特征函数为。2设随机过程 X(t)=Acos( t+ ),-t 其中 为正常数, A 和 是相互独立的随机变量,且 A 和 服从在区间 0,1 上的均匀分布,则 X(t) 的数学期望为。3强度为 的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量,且服从均值为的同一指数分布。4设W ,n1 是与泊松过程X(t),t0 对应的一个等待时间序列,则W 服2. 设 X( t ), t0 是独立增量过程 , 且

2、 X(0)=0, 证明 X( t ), t0 是一个马尔科夫从分布。5袋中放有一个白球,两个红球,每隔单位时间从袋中任取一球,取后放回,对每一个确定的 t 对应随机变量X(t)t,如果t时取得红球,则 这个随机过过程。3 te ,如果t时取得白球3. 设X ,n0 为马尔科夫链,状态空间为I ,则对任意整数 n0,1ln和程的状态空间。 6 设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p ) , n 步转移矩阵(n) P(p(n) ,二者之间ij的关系为。7设X ,n n0 为马氏链,状态空间I ,初始概率piP(X =i) ,绝对概率p (n) jP Xnj , n 步转移概率(n) p ij,三者之间

3、的关系为。8 设X(t),t0 是 泊 松 过 程 , 且 对 于 任 意t2t 10则P X(5)6 |X(3)4_i, jI , n 步转移概率p(n)p( )p(n- ),称此式为切普曼科尔莫哥洛夫方程,ijikkj9更新方程K tH ttK ts dF s 解的一般形式为。k I 证明并说明其意义。010记EXn,对一切a0,当t时,Mt +aM t。得 分评卷 人二、证明题(本大题共4 道小题,每题 8 分,共 32 分)学习资料学习资料收集于网络,仅供参考4. 设 N(t),t0 是强度为的泊松过程,Y ,k=1,2, k是一列独立同分布随机变量,且与N(t),t0 独立,令X(t

4、)=N(t)Y ,t0,证明:若2 E(Y ) ,则2. 设顾客以每分钟 2 人的速率到达,顾客流为泊松流,求在2 分钟内到达的顾k=1客不超过 3 人的概率。E X(t)tE Y 1。3. 设明天是否有雨仅与今天的天气有关,而与过去的天气无关。又设今天下雨得 分评卷 人三、计算题(本大题共4 道小题,每题 8 分,共 32 分)1. 设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为P1/32/3203,求其平稳分布。而明天也下雨的概率为,而今天无雨明天有雨的概率为;规定有雨天气为状态 0,无雨天气为状态1。设0.7,0.4 ,求今天有雨且第四天仍有雨的概率。1/30/01/32/3学习资料学习资料收集于网络

5、,仅供参考得 分评卷 人四、简答题(本题6 分)简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系。4. 设有四个状态 I= 0 1 2 3, 的马氏链,它的一步转移概率矩阵P=1 212001 212001 41414140001()画出状态转移图;()对状态进行分类;()对状态空间 I 进行分解。学习资料学习资料收集于网络,仅供参考P(X(t)-X(tn)x-xnX(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=xn) = P(X(t)-X(tn)x-x ) ,又因为P(X(t)x X(t )=x )=P(X(t)-X(tn)x-xnX(t )=x ) = P(

6、X(t)-X(tn)x-x ) ,故一 填空题。211 (sin( 2t+1)-sint)。31n P 。 7 p (n)i Ipip(n)。P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x ) =P(X(t)x X(t )=x ) 3. 1为e(e -1) it证明:(n) P ijP X(n)=j X(0)=iP X(n)=j,X(l)=k X(0)=i=4 5;e,e2。 6 (n) Pt,2t,k IijP X(n)=j,X(l)=kX(0)=i33k I818e69。KtHttKts dMs 10. a =k IP X(l)=k X(0)=iP X(n)=j X(l

7、)=k,X(0)=i=(l) (n-l)P P kj,其意义为 n 步转0移概率可以用较低步数的转移概率来表示。 4. 二证明题A )=右边证明:由条件期望的性质E X(t)E E X(t) N(t),而tE Y 1。1. N(t)证明:左边 =P(ABC) P(A)P(ABC) P(AB)P(C AB)P(BE X(t) N(t)nEY N(t)ni=1P(AB)P(A)nn 2. =EY N(t)n =EYi=nE(Y ) ,所以E X(t)i=1i=1三计算题(每题10 分,共 50 分)证明:当0t1t2tnt 时,1. 解:P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t

8、)=x ) =学习资料学习资料收集于网络,仅供参考解方程组1,11,4)ke-4,则四. 简答题( 6 分)答:(略)13 213 12P 和i1,即23 213 23解得13323 33 11222,34,故平稳分布为(1,27777772.解:设N(t),t0 是顾客到达数的泊松过程,2 ,故P N(2)=k(4)k!P N(2)3P N(2)=0+P N(2)=1 +P N(2)=2+P N(2)=3-4 e4e-4-4 8e32e-471-4 e333.解:由题设条件,得一步转移概率矩阵为p 00P= p 10p 010.70.3 0.6,于是p 110.4(2) PPP=0.610.39,四步转移概率矩阵为(4) P(2) (2)P P0.57490.4251,从0.520.480.56680.4332而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为(4) P 000.5749 。4. 解:( 1)图略;(2)p 33 1, 而 p 30,p 31,p 32 均为零,所以状态 3 构成一个闭集, 它是吸收态,记 C = 3 ;0,1 两个状态互通,且它们不能

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