-期末随机过程试题及答案

1、学习资料收集于网络，仅供参考随机过程期末考试卷1. 设 A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB) 。1设随机变量 X服从参数为 的泊松分布，则 X 的特征函数为。2设随机过程 X(t)=Acos( t+ ),-t 其中 为正常数， A 和 是相互独立的随机变量，且 A 和 服从在区间 0,1 上的均匀分布，则 X(t) 的数学期望为。3强度为 的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为的同一指数分布。4设W ,n1 是与泊松过程X(t),t0 对应的一个等待时间序列，则W 服2. 设 X( t ), t0 是独立增量过程 , 且

2、 X(0)=0, 证明 X( t ), t0 是一个马尔科夫从分布。5袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的 t 对应随机变量X(t)t,如果t时取得红球，则 这个随机过过程。3 te ,如果t时取得白球3. 设X ,n0 为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数 n0,1ln和程的状态空间。 6 设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p ) ， n 步转移矩阵(n) P(p(n) ，二者之间ij的关系为。7设X ,n n0 为马氏链，状态空间I ，初始概率piP(X =i) ，绝对概率p (n) jP Xnj ， n 步转移概率(n) p ij，三者之间

3、的关系为。8 设X(t),t0 是 泊 松 过 程 ， 且 对 于 任 意t2t 10则P X(5)6 |X(3)4_i, jI ， n 步转移概率p(n)p( )p(n- )，称此式为切普曼科尔莫哥洛夫方程，ijikkj9更新方程K tH ttK ts dF s 解的一般形式为。k I 证明并说明其意义。010记EXn,对一切a0，当t时，Mt +aM t。得 分评卷 人二、证明题（本大题共4 道小题，每题 8 分，共 32 分）学习资料学习资料收集于网络，仅供参考4. 设 N(t),t0 是强度为的泊松过程，Y ,k=1,2, k是一列独立同分布随机变量，且与N(t),t0 独立，令X(t

4、)=N(t)Y ,t0，证明：若2 E(Y ) ，则2. 设顾客以每分钟 2 人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2 分钟内到达的顾k=1客不超过 3 人的概率。E X(t)tE Y 1。3. 设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨得 分评卷 人三、计算题（本大题共4 道小题，每题 8 分，共 32 分）1. 设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为P1/32/3203，求其平稳分布。而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为；规定有雨天气为状态 0，无雨天气为状态1。设0.7,0.4 ，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。1/30/01/32/3学习资料学习资料收集于网络

5、，仅供参考得 分评卷 人四、简答题（本题6 分）简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系。4. 设有四个状态 I= 0 1 2 3， 的马氏链，它的一步转移概率矩阵P=1 212001 212001 41414140001（）画出状态转移图；（）对状态进行分类；（）对状态空间 I 进行分解。学习资料学习资料收集于网络，仅供参考P(X(t)-X(tn)x-xnX(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=xn) = P(X(t)-X(tn)x-x ) ，又因为P(X(t)x X(t )=x )=P(X(t)-X(tn)x-xnX(t )=x ) = P(

6、X(t)-X(tn)x-x ) ，故一 填空题。211 (sin( 2t+1)-sint)。31n P 。 7 p (n)i Ipip(n)。P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x ) =P(X(t)x X(t )=x ) 3. 1为e(e -1) it证明：(n) P ijP X(n)=j X(0)=iP X(n)=j,X(l)=k X(0)=i=4 5;e,e2。 6 (n) Pt,2t,k IijP X(n)=j,X(l)=kX(0)=i33k I818e69。KtHttKts dMs 10. a =k IP X(l)=k X(0)=iP X(n)=j X(l

7、)=k,X(0)=i=(l) (n-l)P P kj，其意义为 n 步转0移概率可以用较低步数的转移概率来表示。 4. 二证明题A )=右边证明：由条件期望的性质E X(t)E E X(t) N(t)，而tE Y 1。1. N(t)证明：左边 =P(ABC) P(A)P(ABC) P(AB)P(C AB)P(BE X(t) N(t)nEY N(t)ni=1P(AB)P(A)nn 2. =EY N(t)n =EYi=nE(Y ) ，所以E X(t)i=1i=1三计算题（每题10 分，共 50 分）证明：当0t1t2tnt 时，1. 解：P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t

8、)=x ) =学习资料学习资料收集于网络，仅供参考解方程组1,11,4)ke-4，则四. 简答题（ 6 分）答：（略）13 213 12P 和i1，即23 213 23解得13323 33 11222,34，故平稳分布为(1,27777772.解：设N(t),t0 是顾客到达数的泊松过程，2 ，故P N(2)=k(4)k!P N(2)3P N(2)=0+P N(2)=1 +P N(2)=2+P N(2)=3-4 e4e-4-4 8e32e-471-4 e333.解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为p 00P= p 10p 010.70.3 0.6，于是p 110.4(2) PPP=0.610.39，四步转移概率矩阵为(4) P(2) (2)P P0.57490.4251，从0.520.480.56680.4332而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为(4) P 000.5749 。4. 解：（ 1）图略；（2）p 33 1, 而 p 30，p 31，p 32 均为零，所以状态 3 构成一个闭集， 它是吸收态，记 C = 3 ；0，1 两个状态互通，且它们不能