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文档简介

1、2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意:1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前,认真阅读答题纸上的注意事项,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知中,则( )A1BCD2已知函数满足,且,则不等式的解集为( )ABCD3已知为虚数单位,若复数,则ABCD4已知不同直线、与不同平面、,且,则下列说法中正确的是( )A若,则B若,则C若,则D若,则5已知是双曲线的左、右焦点,若点关于双

2、曲线渐近线的对称点满足(为坐标原点),则双曲线的渐近线方程为()ABCD6已知数列为等比数列,若,且,则( )AB或CD7已知函数(,且)在区间上的值域为,则( )ABC或D或48在中,为边上的中点,且,则( )ABCD9如图,正三棱柱各条棱的长度均相等,为的中点,分别是线段和线段的动点(含端点),且满足,当运动时,下列结论中不正确的是A在内总存在与平面平行的线段B平面平面C三棱锥的体积为定值D可能为直角三角形10椭圆的焦点为,点在椭圆上,若,则的大小为( )ABCD11如图示,三棱锥的底面是等腰直角三角形,且,则与面所成角的正弦值等于( )ABCD12设平面与平面相交于直线,直线在平面内,直

3、线在平面内,且则“”是“”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13在中,角,的对边分别为,.若;且,则周长的范围为_.14设全集,集合,则集合_.15已知为椭圆内一定点,经过引一条弦,使此弦被点平分,则此弦所在的直线方程为_16记实数中的最大数为,最小数为.已知实数且三数能构成三角形的三边长,若,则的取值范围是.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知椭圆:()的离心率为,且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合.过点的直线交椭圆于,两点,为坐标原点.(1)若直线过椭圆的上顶点,

4、求的面积;(2)若,分别为椭圆的左、右顶点,直线,的斜率分别为,求的值.18(12分)已知中,内角所对边分别是其中.(1)若角为锐角,且,求的值;(2)设,求的取值范围.19(12分)已知非零实数满足 (1)求证:; (2)是否存在实数,使得恒成立?若存在,求出实数的取值范围; 若不存在,请说明理由20(12分)如图,在长方体中,为的中点,为的中点,为线段上一点,且满足,为的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.21(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程是(是参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程;(2)在曲线上取一点,直线绕原点逆时针旋转,交

5、曲线于点,求的最大值.22(10分)已知各项均为正数的数列的前项和为,且,(,且)(1)求数列的通项公式;(2)证明:当时,参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1C【解析】以为基底,将用基底表示,根据向量数量积的运算律,即可求解.【详解】,.故选:C.【点睛】本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理,考查向量数量积运算,属于中档题.2B【解析】构造函数,利用导数研究函数的单调性,即可得到结论.【详解】设,则函数的导数,,即函数为减函数,,则不等式等价为,则不等式的解集为,即的解为,由得或,解得或,故不等式的解集为.故选:

6、.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性,根据函数的单调性解不等式,考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.3B【解析】由可得,所以,故选B4C【解析】根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.【详解】对于,若,则可能为平行或异面直线,错误;对于,若,则可能为平行、相交或异面直线,错误;对于,若,且,由面面垂直的判定定理可知,正确;对于,若,只有当垂直于的交线时才有,错误.故选:.【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析,关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.5B【解析】先利用对称得,根据可得,由几何性质可得,即,从而解得渐近线方程

7、.【详解】如图所示:由对称性可得:为的中点,且,所以,因为,所以,故而由几何性质可得,即,故渐近线方程为,故选B.【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识,考查了双曲线渐近线方程,由题意得出是解题的关键,属于中档题.6A【解析】根据等比数列的性质可得,通分化简即可.【详解】由题意,数列为等比数列,则,又,即,所以,.故选:A.【点睛】本题考查了等比数列的性质,考查了推理能力与运算能力,属于基础题.7C【解析】对a进行分类讨论,结合指数函数的单调性及值域求解.【详解】分析知,.讨论:当时,所以,所以;当时,所以,所以.综上,或,故选C.【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题,指数函数的值域一般是

8、利用单调性求解,侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.8A【解析】由为边上的中点,表示出,然后用向量模的计算公式求模.【详解】解:为边上的中点,故选:A【点睛】在三角形中,考查中点向量公式和向量模的求法,是基础题.9D【解析】A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交,则交线与平面ABC平行;B项利用线面垂直的判定定理;C项三棱锥与三棱锥体积相等,三棱锥的底面积是定值,高也是定值,则体积是定值;D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.【详解】A项,用平行于平面ABC的平面截平面MND,则交线平行于平面ABC,故正确; B项,如图:当M、N分别在BB1、CC1上运动时,若满足BM=CN

9、,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面,故正确;C项,当M、N分别在BB1、CC1上运动时,A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,所以棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故正确;D项,若DMN为直角三角形,则必是以MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1,而此时DM,DN的长大于BB1,所以DMN不可能为直角三角形,故错误.故选D【点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力,意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用,是中档题.10C【解析】根据椭圆的定义可得,再利用余弦定理

10、即可得到结论.【详解】由题意,又,则,由余弦定理可得.故.故选:C.【点睛】本题考查椭圆的定义,考查余弦定理,考查运算能力,属于基础题.11A【解析】首先找出与面所成角,根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值,再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值.【详解】由题知是等腰直角三角形且,是等边三角形,设中点为,连接,可知,同时易知,所以面,故即为与面所成角,有,故.故选:A.【点睛】本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算,属于基础题.12A【解析】试题分析:, bm又直线a在平面内,所以ab,但直线不一定相交,所以“”是“ab”的充分不必要条件,故选A.考点:充分条件、必要条件.二

11、、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13【解析】先求角,再用余弦定理找到边的关系,再用基本不等式求的范围即可.【详解】解:所以三角形周长故答案为:【点睛】考查正余弦定理、基本不等式的应用以及三条线段构成三角形的条件;基础题.14【解析】分别解得集合A与集合B的补集,再由集合交集的运算法则计算求得答案.【详解】由题可知,集合A中集合B的补集,则故答案为:【点睛】本题考查集合的交集与补集运算,属于基础题.15【解析】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点,利用点差法可求得直线的斜率,进而可求得直线的点斜式方程,化为一般式即可.【详解】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点,由于点为弦的中点,则,得,

12、由题意得,两式相减得,所以,直线的斜率为,所以,弦所在的直线方程为,即.故答案为:.【点睛】本题考查利用弦的中点求弦所在直线的方程,一般利用点差法,也可以利用韦达定理设而不求法来解答,考查计算能力,属于中等题.16【解析】试题分析:显然,又,当时,作出可行区域,因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是(1,1)和,从而当时,作出可行区域,因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是(1,1)和,从而综上所述,的取值范围是考点:不等式、简单线性规划.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(1)(2)【解析】(1)根据抛物线的焦点求得椭圆的焦点,由此求得,结合椭圆离心率求得

13、,进而求得,从而求得椭圆的标准方程,求得椭圆上顶点的坐标,由此求得直线的方程.联立直线的方程和椭圆方程,求得两点的纵坐标,由此求得的面积.(2)求得两点的坐标,设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,写出韦达定理,由此求得的值,根据在椭圆上求得的值,由此求得的值.【详解】(1)因为抛物线的焦点坐标为,所以椭圆的右焦点的坐标为,所以,因为椭圆的离心率为,所以,解得,所以,故椭圆的标准方程为.其上顶点为,所以直线:,联立,消去整理得,解得,所以的面积.(2)由题知,设,.由题还可知,直线的斜率不为0,故可设:.由,消去,得,所以所以,又因为点在椭圆上,所以,所以.【点睛】本小题主要考查抛物线的焦

14、点,椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆,三角形的面积等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.18(1);(2).【解析】(1)由正弦定理直接可求,然后运用两角和的正弦公式算出;(2)化简,由余弦定理得,利用基本不等式求出,确定角范围,进而求出的取值范围.【详解】(1)由正弦定理,得: ,且为锐角 (2) 【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用,基本不等式的应用,三角函数的值域等,考查了学生运算求解能力.19(1)见解析(2)存在,【解析】(1)利用作差法即可证出.(2)将不等式通分化简可得,讨论或,分离参数,利用基本不等式即可求解.【详解】又

15、即即当时,即恒成立(当且仅当时取等号),故当时恒成立(当且仅当时取等号),故综上,【点睛】本题考查了作差法证明不等式、基本不等式求最值、考查了分类讨论的思想,属于基础题.20(1)证明见解析(2)【解析】(1)解法一: 作的中点,连接,.利用三角形的中位线证得,利用梯形中位线证得,由此证得平面平面,进而证得平面.解法二:建立空间直角坐标系,通过证明直线的方向向量和平面的法向量垂直,证得平面.(2)利用平面和平面法向量,计算出二面角的余弦值.【详解】(1)法一:作的中点,连接,.又为的中点,为的中位线,又为的中点,为梯形的中位线,在平面中,在平面中,平面平面,又平面,平面.另解:(法二)在长方体

16、中,两两互相垂直,建立空间直角坐标系如图所示,则,.(1)设平面的一个法向量为,则,令,则,.,又,又平面,平面.(2)设平面的一个法向量为,则,令,则,.同理可算得平面的一个法向量为,又由图可知二面角的平面角为一个钝角,故二面角的余弦值为.【点睛】本小题考查线面的位置关系,空间向量与线面角,二面角等基础知识,考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力,数形结合思想,化归与转化思想.21(1)(2)最大值为【解析】(1)利用消去参数,求得曲线的普通方程,再转化为极坐标方程.(2)设出两点的坐标,求得的表达式,并利用三角恒等变换进行化简,再结合三角函数最值的求法,求得的最大值.【详解】(1)由消去得曲线的普通方程为.所以的极坐标方程为,即.(2)不妨设,则当时,取得最大值,最大值为.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程,普通方程化为极坐标方程,考查极坐标系下线段长度的乘积的最值的求法,考

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