新高一2022年暑假讲义第15讲 基本不等式的应用1（解析版）

1、第15讲：基本不等式的应用【学习目标】1掌握对应的基本不等式求解最值2掌握公式，凑项，凑系数，分离，常数代换，换元，平方等方法求解最值【基础知识】基本不等式：基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方【考点剖析】考点一：公式直接应用例1已知，则的值可能为（ ）A0B1C2D3B【详解】，即

2、，当且仅当，即取等号，所以的取值范围为，故选：B变式训练1：已知，且，则的最大值为（ ）ABCDA【详解】由基本不等式知；（当且仅当时取等号），的最大值为.故选：A.变式训练2：已知函数的图象经过点，则（ ）A有最大值1B有最小值1C有最大值4D有最小值4A【详解】解：函数的图象经过点，当且仅当时等号成立，故选：变式训练3：已知，且，则的最小值为（ ）ABCDB【详解】因为，且，所以，所以，所以，即当且仅当即，时等号成立，故的最小值考点二：凑项例2已知，则的最大值为？1；【详解】因为，所以，则.当且仅当，即时，取等号.故的最大值为1.变式训练1：若，则的最小值是_.【详解】因为，所以，所以，当

3、且仅当即时，取等号成立.故的最小值为，故变式训练2：设，求的最小值；5；【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为5；变式训练3：求函数的最小值.学生小明的解答过程如下：使用基本不等式得到，由基本不等式的取等条件有，解得，从而得到，所以函数的最小值为2.分析小明的过程是否正确，如果不正确请写出正确的解答过程.错误，过程见解析最小值是2【详解】，当且仅当即时等号才能成立，故值1取不到由勾形函数性质知函数在上是增函数，因此在上是增函数，时， 所求最小值是2考点三：凑系数例3设，则函数的最大值为（ ）A2BCDD【详解】，当且仅当，即时，等号成立，即函数的最大值为.故选：D变式

4、训练1：已知，则的最大值为（ ）ABCDD【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，整理得，即.所以的最大值为.故选：D.变式训练2：设，则的最大值为（ ）ABCDC【详解】解：因为0 x，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，故选：C变式训练3：若，则的最大值为（ ）AB1C2D4B【详解】因为，所以当且仅当，即时取等号，则的最大值为1.故选：B.考点四：分离例4求的最小值_.9【详解】，当且仅当即时，等号成立.故9.变式训练1：函数（）的最小值为（ ）ABCDB【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数（）的最小值为，故选：B变式训练2：已知，

5、则的最大值是（ ）ABC2D7A【详解】，当且仅当，即时，等号成立，所以 的最大值为故选：A变式训练3：求下列函数的最小值（1）；（2）；（3）.（1）3；（2）；（3）10.【详解】（1）（当且仅当，即x=1时取“=”）即的最小值为3；（2）令，则在是单增，当t=2时，y取最小值；即y的最小值为（3）令，则可化为：当且仅当t=3时取“=”即y的最小值为10考点五：常数代换（1代换）例5已知，且，则的最小值为（ ）A5B6C7D8D【详解】因为，当且仅当，即时取等号，所以，故选：D.变式训练1：若，则的最小值为（ ）ABC5D4B【详解】解：，（当且仅当时等号成立）故选：B变式训练2：已知，则

6、的最小值为（ ）A9B5CDC【详解】，所以.变式训练3：已知正数满足，则的最小值等于（ ）A4BC8D9D【详解】因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时等式成立，故选：D考点六：消元例6若实数满足，则的最小值为_【详解】实数满足，解得.则，当且仅当时，等号成立变式训练1：已知实数，且，则的最大值为（ ）ABCDB【详解】由得：，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最大值为故选：B变式训练2：已知，且，则（ ）A有最大值1，有最小值2B有最大值1，有最小值1C有最大值1，无最小值D无最大值，无最小值C【详解】由可得，即，即解得，当且仅当时，即时取得.由得即故令由双勾函数单调性可知在上为增函数，故

7、取不到最小值故没有最小值故选：C变式训练3：已知，若，则的最大值为_【详解】由条件可知，则，设，当，即时，等号成立，所以的最大值是.故考点七：平方例7已知为正实数，求的最大值x，y为正实数，3x2y10，W23x2y2eq r(3x2y)10(3x2y)20，当且仅当3x2y,3x2y10，即xeq f(5,3)，yeq f(5,2)时，等号成立W2eq r(5)，即W的最大值为2eq r(5).变式训练1：若，则函数的最大值为（ ）ABCDD【详解】，令，两边平方，又，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最大值为，故选：D.变式训练2：设正数，满足，则的最大值为（ ）ABCDD【详解】因为

8、正数，满足，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为，故选：D考点八：构建目标不等式例8已知是正数，且，则的最小值等于_a，b是正数，且(ab)(a2b)ab9，即(ab)(a2b1)9，即(2a2b)(a2b1)18，可得3a4b1(2a2b)(a2b1)2eq r(2a2ba2b1)6eq r(2)，当且仅当2a2ba2b1，即a1，beq f(3r(2)2,2)时，等号成立，即3a4b的最小值为6eq r(2)1.变式训练1：已知正实数满足，则的最小值是_【详解】由已知得，则，因为，所以，因此，当且仅当，即，即时，等号成立；所以的最小值是.故答案为.变式训练2：已知正实数满足，

9、则的最小值为_2【详解】正实数x，y满足，当且仅当等号成立，故的最小值为2.故2.【过关检测】1、若实数，满足，则的最大值是（ ）ABCDB【详解】因为实数，满足，为使取得最大值，必有，同号，因为，当且仅当，即或时，等号成立，所以，因此的最大值为.故选：B.2、已知为正实数，且，则的最大值为（ ）A1B2CDC【详解】由题意，为正实数，且，则，当且仅当，即，时取等号，所以的最大值为.故选：C3、已知，则的最大值为（ ）A1B2C4D8C【详解】,当且仅当时取等号,所以所以的最大值为.故选：C.4、若为正实数，则的最大值是（ ）ABCDC【详解】，即，解得：，当，即时等号成立，此时的最大值是.故

10、选：C5、已知，且，则（ ）ABCDC【详解】由，且，当且仅当时取等号而，当且仅当时取等号.故选：C6、若，则的最大值为（ ）A1BCDC【详解】，当且仅当，即时取等号则的最大值为故选：C7、若正实数满足，则的最小值为（ ）A1B2C3D4A【详解】由题意，正实数满足，则，当且仅当时，等号成立，即，所以，即的最小值为1.故选：A.8、已知，则的最小值是（ ）A1B4C7DC【详解】，当且仅当时等号成立.故选：C9、已知实数若，求的最大值（ ）A1BC4DB【详解】因为，则，所以，当且仅当时，即时取等号，所以的最大值为故选：B.10、当时，则的最大值为（ ）ABCDD【详解】，当，即时等号成立，

11、即最大值为，11、已知，则的最大值为（ ）ABCDC【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，整理得，即.所以的最大值为.故选：C.12、已知，则的最大值为（ ）ABCDC【详解】因为，当且仅当，即时，取等号.所以的最大值为故选：C13、若则函数的最大值为（ ）A1B2C4D5A【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，故选：A14、已知，则有（ ）A最大值B最小值C最大值3D最小值3D【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立，即有最小值3.故选：D.15、函数的最大值为（ ）A3B2C1D-1D【详解】，当且仅当,即等号成立.故选：D.16、若函数在处取最小值，则（ ）

12、AB2C4D6C【详解】由题意，而，当且仅当，即时，等号成立，所以.故选：C.17、若，则有（ ）A最大值B最小值C最大值2D最小值2D【详解】，当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2.故选：D.18、已知，则的最小值是（ ）A3B4C5D6B【详解】因为，所以,当且仅当时等号成立,故选:B19、已知非负数满足，则的最小值是（ ）A3B4C10D16B【详解】由，可得，当且仅当取等号，故选：B20、设为正数，且，则的最小值为（ ）ABCDA【详解】可得，当且仅当时成立，故选：A21、已知正实数、满足，则的最小值为（ ）ABCDA【详解】设，可得，解得，所以，.当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：A.22、已知正实数，满足，则的最小值为（ ）ABCDC【详解】解：由题意，故，当且仅当，即，时等号成立，故选：C.23、已知，则的最小值为（ ）ABCDB【详解】，当且仅当时等号成立