新高二2022年暑假讲义第6讲 直线的方程（解析版）

1、第6讲 直线的方程新课标要求根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）。知识梳理1.直线的点斜式方程点斜式已知条件点P(x0，y0)和斜率k图示方程形式yy0k(xx0)适用条件斜率存在2.直线的斜截式方程斜截式已知条件斜率k和直线在y轴上的截距b图示方程式ykxb适用条件斜率存在3.直线的两点式方程和截距式方程名称两点式截距式条件两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2，y1y2)A(a，0)，B(0，b)且ab0方程eq f(yy1,y2y1)eq f(xx1,x2x1)eq f(x,a)eq f(y,b)14.线段的中点坐标公式若点P1

2、，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则eq blc(avs4alco1(xf(x1x2,2)，,yf(y1y2,2).)5.直线的一般式方程形式AxByC0条件A，B不同时为06.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系3.2.1直线的点斜式方程名师导学知识点1 求直线的点斜式方程【例1-1】（南京校级模拟）根据条件写出下列直线的点斜式方程：(1)过点A(4，3)，斜率k3；(2)经过点B(1，4)，倾斜角为135；(3)过点C(1，2)，且与y轴平行；(4)过点D(2，1)和E(3，4)【分析】求直线的点斜式方程的思路(1)由点斜式

3、方程可知，所求直线方程为：y33x(4)(2)由题意知，直线的斜率ktan 1351，故所求直线的方程为y4(x1)(3)直线与y轴平行，斜率不存在，直线的方程不能用点斜式表示，由于直线上所有点的横坐标都是1，故这条直线的方程为x1.(4)直线过点D(2，1)和E(3，4)，斜率keq f(41,32)5.由点斜式得y15(x2)【变式训练1-1】（蜀山区校级月考）根据条件写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45；(3)经过点C(1，1)，与x轴平行(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y54(x2)；(2)直线的斜率ktan 451

4、，直线方程为y3x2；(3)y1.知识点2 直线的斜截式方程【例2-1】（菏泽调研）根据条件写出下列直线的斜截式方程(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150，在y轴上的截距是2；(3)倾斜角为60，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.【分析】直线的斜截式方程的求解策略：(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可(2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y2x5.(2)倾斜角150，斜率ktan 150eq f(r(3),3).由斜截式可得方程为yeq f(r(3)

5、,3)x2.(3)直线的倾斜角为60，其斜率ktan 60eq r(3).直线与y轴的交点到原点的距离为3，直线在y轴上的截距b3或b3.所求直线方程为yeq r(3)x3或yeq r(3)x3.【变式训练2-1】（宁波校级月考）写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是3；(2)直线倾斜角是60，在y轴上的截距是5；(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为2.(1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y3x3.(2)ktan 60eq r(3)，yeq r(3)x5.(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为2，直线过点(4，0)和(0，2)keq f(20,04

6、)eq f(1,2)，yeq f(1,2)x2.知识点3 点斜式、斜截式方程的综合应用【例3-1】（新华区校级期末）(1)当a为何值时，直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直？【分析】在解决有关直线位置关系的问题时，常常用到数形结合思想和待定系数法数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法而待定系数法是解析几何中求直线方程或其他曲线方程的重要方法(1)l1l2，a221，又2a2，解得a1.(2)l1l2，4(2a1)1，解得aeq f(3,8).【变式训练3-1】（黄冈期末）求证

7、：不论m为何值，直线l：y(m1)x2m1总过第二象限【证明】法一直线l的方程可化为y3(m1)(x2)，直线l过定点(2，3)，由于点(2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限法二直线l的方程可化为m(x2)(xy1)0.令eq blc(avs4alco1(x20，,xy10，)解得eq blc(avs4alco1(x2，,y3.)无论m取何值，直线l总经过点(2，3)点(2，3)在第二象限，直线l总过第二象限【变式训练3-2】（赤峰期末）是否存在过点(5，4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5?假设存在过点(5，4)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5.由题意可知，直

8、线l的斜率一定存在且不为零，设直线的斜率为k(k0)，则直线方程为y4k(x5)，则分别令y0，x0，可得直线l与x轴的交点为(eq f(5k4,k)，0)，与y轴的交点为(0，5k4)因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，所以eq f(1,2)|eq f(5k4,k)|5k4|5，所以eq f(5k4,k)(5k4)10，即25k230k160(无解)或25k250k160，所以keq f(8,5)或keq f(2,5)，所以存在直线l满足题意，直线l的方程为y4eq f(8,5)(x5)或y4eq f(2,5)(x5).名师导练A组-应知应会1（宣城期末）过点，斜率是的直线方程是（

9、）ABCDC直线过点且斜率为，由直线方程的点斜式得：，整理得.故选C.2（绵阳期末）已知直线的方程是y2x1，则()A直线经过点(1,2)，斜率为1B直线经过点(2，1)，斜率为1C直线经过点(1，2)，斜率为1D直线经过点(2，1)，斜率为1C方程可化为y(2)x(1)，所以直线过点(1，2)，斜率为1.选C.3（上饶期末）直线yeq r(3)(xeq r(3)的斜率与在y轴上的截距分别是()Aeq r(3)，eq r(3) Beq r(3)，3 Ceq r(3)，3 Deq r(3)，3B由直线方程知直线斜率为eq r(3)，令x0可得在y轴上的截距为y3.故选B.4（通州区期末）直线yk

10、xb经过第一、三、四象限，则有()Ak0，b0 Bk0，b0Ck0 Dk0，b0，b0)”等条件时，采用截距式求直线方程，一定要注意考虑“零截距”的情况(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为eq f(x,a)eq f(y,a)1.又l过点A(3，4)，所以eq f(3,a)eq f(4,a)1，解得a1.所以直线l的方程为eq f(x,1)eq f(y,1)1，即xy10.(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为ykx，因为l过点A(3，4)，所以4k3，解得keq f(4,3)，直线l的方程为yeq f(4,3)

11、x，即4x3y0.综上，直线l的方程为xy10或4x3y0.【变式训练2-1】若将例2-1中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？(1)当截距不为0时，设直线l的方程为eq f(x,a)eq f(y,a)1，又知l过(3，4)，eq f(3,a)eq f(4,a)1，解得a7，直线l的方程为xy70.(2)当截距为0时，直线方程为yeq f(4,3)x，即4x3y0.综上，直线l的方程为xy70或4x3y0.知识点3 直线的综合应用【例3-1】（沭阳县校级期中）已知三角形的三个顶点A(5，0)，B(3，3)，C(0，2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程【分析】(1)已知一

12、点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决如图，过B(3，3)，C(0，2)的两点式方程为eq f(y2,32)eq f(x0,30)，整理得5x3y60.这就是BC边所在直线的方程BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为(eq f(30,2)，eq f(32,2)，即(

13、eq f(3,2)，eq f(1,2)过A(5，0)，M(eq f(3,2)，eq f(1,2)的直线的方程为eq f(y0,f(1,2)0)eq f(x5,f(3,2)5)，即x13y50.这就是BC边上中线所在直线的方程【变式训练3-1】（天心区校级期末）求过点A(4，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程当直线过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0，满足题意此时，直线的斜率为eq f(1,2)，所以直线l的方程为yeq f(1,2)x，即x2y0.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为eq f(x,a)eq f(y,b)1.又因为过点A，所以eq f(4,a)eq f(2,

14、b)1.因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a|b|. 由联立方程组，解得eq blc(avs4alco1(a6，,b6)或eq blc(avs4alco1(a2，,b2.)所以所求直线的方程为eq f(x,6)eq f(y,6)1或eq f(x,2)eq f(y,2)1，化简得直线l的方程为xy6或xy2，即直线l的方程为xy60或xy20，综上，直线l的方程为x2y0或xy60或xy20.名师导练A组-应知应会1（锡山区校级期中）过两点(2，1)和(1，4)的直线方程为 ()Ayx3 Byx1Cyx2 Dyx2代入两点式得直线方程eq f(y1,41)eq f(x2,12)，整理

15、得yx3.A2（红桥区期中）经过P(4，0)，Q(0，3)两点的直线方程是 ()A.eq f(x,4)eq f(y,3)1 B.eqB.eq f(x,3)eq f(y,4)1C.eq f(x,4)eq f(y,3)1 D.eqD.eq f(x,3)eq f(y,4)1由P，Q两点坐标知直线在x轴、y轴上的截距分别为4，3，所以直线方程为eq f(x,4)eq f(y,3)1，即eq f(x,4)eq f(y,3)1.C3（江宁区校级月考）过点P(4，3)且在坐标轴上截距相等的直线有 ()A1条 B2条 C3条 D4条当直线过原点时显然符合条件；当直线不过原点时，设所求直线的方程为eq f(x,

16、a)eq f(y,a)1，把点P(4，3)代入方程得a1.因而所求直线有2条B4（临泉县校级月考）经过两点(5，0)，(2，5)的直线方程为 ()A5x3y250 B5x3y250C3x5y250 D5x3y250经过两点(5，0)，(2，5)的直线方程为：eq f(y0,50)eq f(x5,25)，整理，得5x3y250.故选B.B5（朝阳区校级月考）已知直线l：axy20在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是()A1 B1C2或1 D2或1显然a0.把直线l：axy20化为eq f(x,f(2,a)eq f(y,2)1.直线l：axy20在x轴和y轴上的截距相等，eq f(2,a)2，

17、解得a1，故选A.A6（庐江县校级期末）点M(4，m)关于点N(n，3)的对称点为P(6，9)，则 ()Am3，n10 Bm3，n10Cm3，n5 Dm3，n5M(4，m)关于点N(n，3)的对称点为P(6，9)，eq f(46,2)n，eq f(m9,2)3；n5，m3，故选D.D7（海淀区校级期末）已知A(2，1)，B(6，1)，则在y轴上的截距是3，且经过线段AB中点的直线方程为_由于A(2，1)，B(6，1)，故线段AB中点的坐标为(4，0)，又直线在y轴上的截距是3，直线方程为eq f(x,4)eq f(y,3)1，即3x4y120.3x4y1208（红岗区校级期末）过点P(3，2)

18、，且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是_当直线过原点时，斜率等于eq f(20,30)eq f(2,3)，故直线的方程为yeq f(2,3)x，即2x3y0.当直线不过原点时，设直线的方程为xym0，把P(3，2)代入直线的方程得m5，故求得的直线方程为xy50，综上，满足条件的直线方程为2x3y0或xy50.2x3y0或xy509（兴庆区校级期末）求经过点A(2，3)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程【解】(1)当横截距、纵截距都是零时，设所求的直线方程为ykx，将(2，3)代入ykx中，得keq f(3,2)，此时，直线方程为yeq f(3,2)x，即3x2y0.(2)当

19、横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程式为eq f(x,2a)eq f(y,a)1，将(2，3)代入所设方程，解得a2，此时，直线方程为x2y40.综上所述，所求直线方程为x2y40或3x2y0.10（城关区校级期末）求经过点A(2，3)，B(4，1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式【解】过A，B两点的直线的两点式方程是eq f(y1,31)eq f(x4,24).点斜式为：y1eq f(2,3)(x4)，斜截式为：yeq f(2,3)xeq f(5,3)，截距式为：eq f(x,f(5,2)eq f(y,f(5,3)1.B组-素养提升1（鼓楼区校级期末）两条直线l1：e

20、q f(x,a)eq f(y,b)1和l2：eq f(x,b)eq f(y,a)1在同一直角坐标系中的图象可以是()化为截距式eq f(x,a)eq f(y,b)1，eq f(x,b)eq f(y,a)1.假定l1的位置，判断a，b的正负，从而确定l2的位置，知A项符合A2.（秦州区校级期末）直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(3，3)，则其斜率的取值范围是 ()A.eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,5) B.eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,2)(1，)C(，1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)，) D(，1)eq

21、 blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B(3，0)时，直线l在x轴上的截距为3，此时k1；过定点A的直线经过点C(3，0)时，直线l在x轴的截距为3，此时keq f(1,2)，满足条件的直线l的斜率范围是(，1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，).D3（金湖县校级期中）垂直于直线3x4y70，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是_设直线方程是4x3yd0，分别令x0和y0，得直线在两坐标轴上的截距分别是eq f(d,3)，eq f(d,4)，6eq f(1,2)|eq f(d,3)|eq f

22、(d,4)|eq f(d2,24)，d12，则直线在x轴上的截距为3或3.3或34（启东市校级月考）已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是_直线AB的方程为eq f(x,3)eq f(y,4)1，设P(x，y)，则x3eq f(3,4)y，xy3yeq f(3,4)y2eq f(3,4)(y24y)eq f(3,4)(y2)243，即当P点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)时，xy取得最大值3.35（杨浦区校级期末）在ABC中，已知A(5，2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：(1)顶点

23、C的坐标；(2)直线MN的方程【解】(1)设C(x0，y0)，则AC边的中点为Meq blc(rc)(avs4alco1(f(x05,2)，f(y02,2)，BC边的中点为Neq blc(rc)(avs4alco1(f(x07,2)，f(y03,2).因为M在y轴上，所以eq f(x05,2)0，得x05.又因为N在x轴上，所以eq f(y03,2)0，所以y03.所以C(5，3)(2)由(1)可得Meq blc(rc)(avs4alco1(0，f(5,2)，N(1，0)，所以直线MN的方程为eq f(x,1)eq f(y,f(5,2)1，即5x2y50.3.2.3直线的一般式方程名师导学知识

24、点1 直线的一般式方程与其他形式的转化【例1-1】（水富市校级期末）(1)下列直线中，斜率为eq f(4,3)，且不经过第一象限的是()A3x4y70 B4x3y70C4x3y420 D3x4y420(2)直线eq r(3)x5y90在x轴上的截距等于()A.eq r(3) B5 C.eq f(9,5) D3eq r(3)【分析】(1)当A0时，方程可化为xeq f(B,A)yeq f(C,A)0，只需求eq f(B,A)，eq f(C,A)的值；若B0，则方程化为eq f(A,B)xyeq f(C,B)0，只需确定eq f(A,B)，eq f(C,B)的值因此，只要给出两个条件，就可以求出直

25、线方程(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式(1)将一般式化为斜截式，斜率为eq f(4,3)的有：B、C两项又yeq f(4,3)x14过点(0，14)即直线过第一象限，所以只有B项满足要求(2)令y0，则x3eq r(3).【变式训练1-1】（包河区校级期末）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程 (1)斜率是eq r(3)，且经过点A(5，3)；(2)斜率为4，在y轴上的截距为2；(3)经过A(1，5)，B(2，1)两点；(4)在x，y轴上的截距分别是3，1.(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：

26、y3eq r(3)(x5)，化为一般式为：eq r(3)xy35eq r(3)0.(2)由斜截式方程可知，所求直线方程为：y4x2，化为一般式为：4xy20.(3)由两点式方程可知，所求直线方程为：eq f(y5,15)eq f(x（1）,2（1）).化为一般式方程为：2xy30.(4)由截距式方程可得，所求直线方程为eq f(x,3)eq f(y,1)1，化成一般式方程为：x3y30.知识点2 直线的一般式方程的应用【例2-1】（上虞区期末）(1)若方程(m25m6)x(m23m)y10表示一条直线，则实数m满足_(2)已知方程(2m2m3)x(m2m)y4m1表示直线当m_时，直线的倾斜角

27、为45；当m_时，直线在x轴上的截距为1.(1)若方程不能表示直线，则m25m60且m23m0.解方程组eq blc(avs4alco1(m25m60，,m23m0，)得m3，所以m3时，方程表示一条直线(2)因为已知直线的倾斜角为45，所以此直线的斜率是1，所以eq f(2m2m3,m2m)1，所以eq blc(avs4alco1(m2m0，,2m2m3（m2m），)解得eq blc(avs4alco1(m0且m1，,m1或m1.)所以m1.因为已知直线在x轴上的截距为1，令y0得xeq f(4m1,2m2m3)，所以eq f(4m1,2m2m3)1，所以eq blc(avs4alco1(2

28、m2m30，,4m12m2m3，)解得eq blc(avs4alco1(m1且mf(3,2)，,mf(1,2)或m2.)所以meq f(1,2)或m2.【例2-2】（柳南区校级期末）已知直线l的方程为3x4y120，求满足下列条件的直线l的方程：(1)过点(1，3)，且与l平行；(2)过点(1，3)，且与l垂直l的方程可化为yeq f(3,4)x3，l的斜率为eq f(3,4).法一(1)l与l平行，l的斜率为eq f(3,4).又l过点(1，3)，由点斜式知方程为y3eq f(3,4)(x1)，即3x4y90.(2)l与l垂直，l的斜率为eq f(4,3)，又l过点(1，3)，由点斜式可得方程为y3eq f(4,3)(x1)，即4x3y130.法二(1)由l与l平行，可设l的方程为3x4ym0.将点(1，3)代入上式得m9.所求直线的方程为3x4y90.(2)由l与l垂直，可设l的方程为4x3yn0.将(1，3)代入上式得n13.所求直线的方程为4x3y130.【变式训练2-1】（佛山校级月考）已知直线l经过点P(2，1)，且与直线2xy20平行，那么直线l的方程是()A2xy30 Bx2y40C2xy40 Dx2y40由题意可设所求的方程为2xyc0(c2)，代入已知点(2，