ARCH和GARCH估计ppt课件

1、第六章 条件异方差模型 EViews中的大多数统计工具都是用来建立随机变量的条件均值模型。本章讨论的重要工具具有与以往不同的目的建立变量的条件方差或变量动摇性模型。 . 6.1 自回归条件异方差模型 自回归条件异方差(Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model， ARCH)模型是特别用来建立条件方差模型并对其进展预测的。 ARCH模型是1982年由恩格尔(Engle, R.)提出，并由博勒斯莱文(Bollerslev, T., 1986)开展成为GARCH (Generalized ARCH)广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的运用

2、于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。 . 6.1.1 ARCH模型 为了说得更详细，让我们回到k -变量回归模型：(6.1.1) 假设 ut 的均值为零，对 yt 取基于(t-1)时辰的信息的期望，即Et-1(yt)，有如下的关系： (6.1.2)由于 yt 的均值近似等于式6.1.1的估计值，所以式6.1.1也称为均值方程。. 由于(6.1.7)中 ut 的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它为ARCH(1)过程：然而，容易加以推行。 例如，一个ARCH (p)过程可以写为：6.1.8. 假设扰动项方差中没有自相关，就会有 H0 ：这时 从而得到扰动项方差的同方差性情形。 恩格尔曾

3、阐明，容易经过以下的回归去检验上述虚拟假设：其中，t 表示从原始回归模型6.1.1估计得到的OLS残差。 . 6.1.2 GARCH(1, 1)模型 我们经常有理由以为 ut 的方差依赖于很多时辰之前的变化量特别是在金融领域，采用日数据或周数据的运用更是如此。这里的问题在于，我们必需估计很多参数，而这一点很难准确的做到。但是假设我们可以认识到方程(6.1.8)不过是t2的分布滞后模型，我们就可以用一个或两个t2的滞后值替代许多ut2的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型(generalized autoregressive conditional heteroscedasticity mod

4、el，简记为GARCH模型)。在GARCH模型中，要思索两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是条件方差。 . 在规范化的GARCH(1,1)模型中： (6.1.11) (6.1.12)其中：xt 是1(k+1)维外生变量向量， 是(k+1)1维系数向量。 (6.1.11)中给出的均值方程是一个带有扰动项的外生变量函数。由于t2是以前面信息为根底的一期向前预测方差 ，所以它被称作条件方差，式(6.1.12)也被称作条件方差方程 。. (6.1.12)中给出的条件方差方程是下面三项的函数： 1常数项均值： 2用均值方程(6.1.11)的扰动项平方的滞后来度量从前期得到的动摇性的信息： ut2-1

5、ARCH项。 3上一期的预测方差：t2-1 GARCH项。 GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指阶数为1的GARCH项括号中的第一项和阶数为1的ARCH项括号中的第二项。一个普通的ARCH模型是GARCH模型的一个特例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差t2-1的阐明。 . 方差方程的回归因子 方程(6.1.12)可以扩展成包含外生的或前定回归因子z的方差方程： 6.1.17 留意到从这个模型中得到的预测方差不能保证是正的。可以引入到这样一些方式的回归算子，它们总是正的，从而将产生负的预测值的能够性降到最小。例如，我们可以要求：. 高阶GARCH(p, q)模型 高阶GARCH模型可以

6、经过选择大于1的 p 或 q 得到估计，记作GARCH(p, q)。其方差表示为：6.1.18 这里，p是GARCH项的阶数，q是ARCH项的阶数。 .6.1.3 ARCH的检验 下面引见检验一个模型的残差能否含有ARCH效应的两种方法：ARCH LM检验和残差平方相关图检验。 1. ARCH LM检验 Engle在1982年提出检验残差序列中能否存在ARCH效应的拉格朗日乘数检验Lagrange multiplier test，即ARCH LM检验。自回归条件异方差性的这个特殊的设定，是由于人们发如今许多金融时间序列中，残差的大小与最近的残差值有关。ARCH本身不能使规范的OLS估计无效，但

7、是，忽略ARCH影响能够导致有效性降低。 . ARCH LM检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检验原假设：残差中直到q阶都没有ARCH，运转如下回归： 式中 t 是残差。这是一个对常数和直到 q 阶的滞后平方残差所作的回归。这个检验回归有两个统计量： 1F 统计量是对一切残差平方的滞后的结合显著性所作的一个省略变量检验； 2TR2 统计量是Engles LM检验统计量，它是观测值个数 T 乘以回归检验的 R2 ； .2. 平方残差相关图 显示直到所定义的滞后阶数的平方残差t2的自相关性和偏自相关性，计算出相应滞后阶数的Ljung-Box统计量。平方残差相关图可以用来检查残差自回归条件异方差性

8、ARCH。假设残差中不存在ARCH，在各阶滞后自相关和偏自相关应为0，且Q统计量应不显著。可适用于运用LS，TSLS，非线性LS估计方程。显示平方残差相关图和Q-统计量，选择View/Residual Tests/Correlogram Squared Residual，在翻开的滞后定义对话框，定义计算相关图的滞后数。 . 例6.1 沪市股票价钱指数动摇的GARCH模型 为了检验股票价钱指数的动摇能否具有条件异方差性，本例选择了沪市股票的收盘价钱指数的日数据作为样本序列，这是由于上海股票市场不仅开市早，市值高，对于各种冲击的反响较为敏感，因此，本例所分析的沪市股票价钱动摇具有一定代表性。在这个

9、例子中，我们选择的样本序列sp是1998年1月3日至2001年12月31日的上海证券买卖所每日股票价钱收盘指数，为了减少舍入误差，在估计时，对sp进展自然对数处置，即将序列log(sp)作为因变量进展估计。. 由于股票价钱指数序列经常用一种特殊的单位根过程随机游动Random Walk模型描画，所以本例进展估计的根本方式为： (6.1.25) 首先利用最小二乘法，估计了一个普通的回归方程，结果如下：(6.1.26) 15517 R2= 0.994 对数似然值 = 2871 AIC = -5.51 SC = -5.51 . 可以看出，这个方程的统计量很显著，而且，拟和的程度也很好。但是需求检验这

10、个方程的误差项能否存在条件异方差性，。. 图6.1 股票价钱指数方程回归残差 察看上图，该回归方程的残差，我们可以留意到动摇的“成群景象：动摇在一些较长的时间内非常小例如2000年，在其他一些较长的时间内非常大例如1999年，这阐明残差序列存在高阶ARCH效应。. 因此，对式(6.1.26)进展条件异方差的ARCH LM检验，得到了在滞后阶数p = 3时的ARCH LM检验结果： 此处的P值为0，回绝原假设，阐明式6.1.26的残差序列存在ARCH效应。还可以计算式6.1.26的残差平方的自相关AC和偏自相关PAC系数，结果如下：. 6.1.4 ARCH-M模型 金融实际阐明具有较高可观测到的

11、风险的资产可以获得更高的平均收益，其缘由在于人们普通以为金融资产的收益该当与其风险成正比，风险越大，预期的收益就越高。这种利用条件方差表示预期风险的模型被称为ARCH均值模型(ARCH-in-mean)或ARCH-M回归模型。在ARCH-M中我们把条件方差引进到均值方程中: 6.1.29 ARCH-M模型的另一种不同方式是将条件方差换成条件规范差：或取对数 . ARCH-M模型通常用于关于资产的预期收益与预期风险严密相关的金融领域。预期风险的估计系数是风险收益买卖的度量。例如，我们可以以为某股票指数，如上证的股票指数的票面收益returet依赖于一个常数项，通货膨胀率t 以及条件方差(风险)：

12、 这种类型的模型其中期望风险用条件方差表示就称为GARCH-M模型。 .在EViews中估计ARCH模型 估计GARCH和ARCH模型，首先选择Quick/Estimate Equation或Object/ New Object/ Equation，然后在Method的下拉菜单中选择ARCH，得到如下的对话框。. 一、均值方程(Mean equation) 在因变量编辑栏中输入均值方程方式，均值方程的方式可以用回归列表方式列出因变量及解释变量。假设方程包含常数，可在列表中参与C。假设需求一个更复杂的均值方程，可以用公式的方式输入均值方程。 假设解释变量的表达式中含有ARCHM项，就需求点击对话

13、框右上方对应的按钮。EViews5.0中的ARCH-M的下拉框中，有4个选项： 1.选项None表示方程中不含有ARCHM项； 2.选项Std.Dev.表示在方程中参与条件规范差； 3.选项Variance那么表示在方程中含有条件方差 2。 4.选项Log(Var)，表示在均值方程中参与条件方差的对数ln( 2)作为解释变量。 . 二、方差设定和分布设定 (Variance and distribution specification) EViews5的选择模型类型列表 (1) 在下拉列表中选择所要估计的ARCH模型的类型。 (2) 在Variance栏中，可以列出包含在方差方程中的外生变量。

14、 (3) 可以选择ARCH项和GARCH项的阶数。 (4) 在Threshold编辑栏中输入非对称项的数目，缺省的设置是不估计非对称的模型，即该选项的个数为0。 (5) Error组合框是设定误差的分布方式，缺省的方式为NormalGaussian。. 三、估计选项Options EViews为我们提供了可以进入许多估计方法的设置。只需点击Options按钮并按要求填写对话即可。 .ARCH的估计结果 利用GARCH(1, 1)模型重新估计例6.1的式6.1.25，结果如下： . ARCH估计的结果可以分为两部分：上半部分提供了均值方程的规范结果；下半部分，即方差方程包括系数，规范误差，z-统

15、计量和方差方程系数的P值。在方程(6.1.12)中ARCH的参数对应于，GARCH的参数对应于 。在表的底部是一组规范的回归统计量，运用的残差来自于均值方程。 留意假设在均值方程中不存在回归量，那么这些规范，例如R2也就没有意义了。 . 例6.1利用GARCH(1, 1)模型重新估计的方程如下： 均值方程： 23249 方差方程： 5.27 11.49 33.38 R2=0.994 D.W.=1.94 对数似然值 = 3003 AIC = -5.76 SC = -5.74 . 方差方程中的ARCH项和GARCH项的系数都是统计显著的，并且对数似然值有所添加，同时AIC和SC值都变小了，这阐明这

16、个模型可以更好的拟合数据。再对这个方程进展条件异方差的ARCHLM检验，相伴概率为P = 0.91，阐明利用GARCH模型消除了原残差序列的异方差效应。ARCH和GARCH的系数之和等于0.982，小于1，满足参数约束条件。由于系数之和非常接近于1，阐明一个条件方差所受的冲击是耐久的，即它对一切的未来预测都有重要作用，这个结果在高频率的金融数据中经常可以看到。 . 例6.2 估计我国股票收益率的ARCHM模型 选择的时间序列仍是1998年1月3日至2001年12月31日的上海证券买卖所每日股票价钱收盘指数sp，股票的收益率是根据公式：re ln(spt /spt-1) ，即股票价钱收盘指数对数

17、的差分计算出来的。 ARCH-M模型： re + t + ut . 估计出的结果写成方程:均值方程: (-2.72) (3.00)方差方程: (5.43) (12.49) (29.59) 对数似然值 = 3007 AIC = -5.77 SC = -5.74 在收益率方程中包括 t 的缘由是为了在收益率的生成过程中融入风险丈量，这是许多资产定价实际模型的根底 “均值方程假设 的含义。在这个假设下， 应该是正数，结果 = 0.27，因此我们预期较大值的条件规范差与高收益率相联络。估计出的方程的一切系数都很显著。并且系数之和小于1，满足平稳条件。均值方程中t 的系数为0.27，阐明当市场中的预期风

18、险添加一个百分点时，就会导致收益率也相应的添加0.27个百分点。 .ARCH模型的视图与过程 一旦模型被估计出来，EViews会提供各种视图和过程进展推理和诊断检验。 一、ARCH模型的视图 1. Actual, Fitted, Residual 窗口列示了各种残差方式。 2. 条件SD图 显示了在样本中对每个观测值绘制向前一步的规范偏向t 。t 时期的察看值是由t-1期可得到的信息得出的预测值。 3. 协方差矩阵 4. 系数检验 5. 残差检验/相关图-Q-统计量 . 二、ARCH模型的过程 1构造残差序列 将残差以序列的名义保管在任务文件中，可以选择保管普通残差 ut 或规范残差 ut /

19、t 。残差将被命名为RESID1，RESID2等等。可以点击序列窗口中的name按钮来重新命名序列残差。 2构造GARCH方差序列 将条件方差t2以序列的名义保管在任务文件中。条件方差序列可以被命名为GARCH1，GARCH2等等。取平方根得到如View/Conditional SD Gragh所示的条件规范偏向。 . 3预测 例3 假设我们估计出了如下的ARCH(1) (采用Marquardt方法)模型：(ARCH_CPI方程中参与CPI做解释变量 ，留下2001年10月2001年12月的3个月做检验性数据) . 运用估计的ARCH模型可以计算因变量的静态的和动态的预测值，和它的预测规范误差

20、和条件方差。为了在任务文件中保管预测值，要在相应的对话栏中输入名字。假设选择了Do gragh选项EViews就会显示预测值图和两个规范偏向的带状图。. 估计期间是1/03/1998- 9/28/2001，预测期间是10/02/2001 - 12/31/2001左图表示了由均值方程和SP的预测值的两个规范偏向带。.6.2 非对称ARCH模型 在资本市场中，经常可以发现这样的景象：资产的向下运动通常伴随着比之程度更强的向上运动。为了解释这一景象，Engle和Ng1993绘制了好音讯和坏音讯的非对称信息曲线。 动摇性 0 信息. 本节将引见3种可以描画这种非对称冲击的模型：TARCH模型、EGAR

21、CH模型和PARCH模型。 估计TARCH模型，EViews5要在Threshold选项中填“1 ，阐明有1个非对称项，可以有多个。其他的选项与GARCH模型的选择类似。.6.2.1 TARCH模型 TARCH或者门限(Threshold)ARCH模型由Zakoian (1990) 和Glosten，Jafanathan，Runkle(1993)独立的引入。条件方差指定为：(6.2.1)其中，dt-1是虚拟变量：当 ut 0)和坏音讯(ut 0 ，我们说存在杠杆效应，非对称效应的主要效果是使得动摇加大；假设 0 ，那么非对称效应的作用是使得动摇减小。. 例6.3 货币政策对物价影响的非对称效应

22、分析 由于货币政策及其它政策的实施力度以及时滞导致经济中出现了不同于货币政策开场实施阶段的条件要素，导致货币政策发生作用的环境发生了变化，此时，货币政策在产生普通的紧缩或者是扩张的政策效应根底上，还会产生一种特殊的效应，我们称之为“非对称效应。表如今经济中，就是使得某些经济变量的动摇加大或者变小。本例运用1991年第一季度至2003年第一季度的数据建立了通货膨胀率(t)的TARCH模型: 均值方程： 方差方程： . 变量的选取: 采用居民消费物价指数CPI，上年同期=100减去100代表通货膨胀率t ，货币政策变量选用狭义货币供应量M1的增长率(M1Rt )、银行同业拆借利率7天(R7t )，

23、运用银行同业拆借利率替代存款利率，是由于目前我国根本上是一个利率控制国家，中央银行对利率直接调控，因此名义存款利率不可以反映市场上货币供需的真实情况。全国银行间同业拆借市场于1996年1月成立，1996年7天以内的同业拆借的比重为28.78%，而2001年已上升为82.23%，。所以用同业拆借利率代表金融市场的市场化的利率。模型中解释变量还包括货币流通速度(Vt)Vt = GDPt / M1t、通货膨胀率的1期滞后(t-1)代表预期通货膨胀。 . 由TARCH模型的回归方程和方差方程得到的估计结果为： (-2.62) (25.53) (5.068) (-3.4) (1.64) (1.152)

24、(0.94) (-3.08) (3.9) R 2 = 0.96 D.W.= 1.83 结果表中的(RESID)*ARCH(1)项是(6.2.1)式的 ，也称为TARCH项。在上式中， TARCH项的系数显著不为零，阐明货币政策的变动对物价具有非对称效应。需求留意，方差方程中 = -0.399 ，即非对称项的系数是负的。这就阐明，货币政策对于通货膨胀率的非对称影响是使得物价的动摇越来越小。. 察看残差图，还可以发现货币政策的非对称作用在不同阶段对通货膨胀率表现是不同的：在经济过热时期，如1992年1994年期间，经过均值方程中货币政策变量的紧缩作用，导致了货币政策对通货膨胀的减速作用非常明显，但

25、是由于通货膨胀率方程的残差非常大，由方差方程可知这一时期物价动摇很大，但 t 0 ，那么 dt-1= 0，所以TARCH项不存在，即不存在非对称效应。1995年1996年初 t 0 ，那么TARCH项存在，且其系数 是负值，于是非对称效应使得物价的动摇迅速减小。当处于经济增长的下滑阶段，它的残差只在零上下动摇，虽然出现负值比较多，但这一时期的货币政策非对称扩张作用非常小。. 对于高阶TARCH模型的制定，EViews将其估计为： (6.2.2)6.2.2 EGARCH模型 EGARCH或指数ExponentialGARCH模型由纳尔什Nelson，1991提出。条件方差被指定为： (6.2.5

26、) 等式左边是条件方差的对数，这意味着杠杆影响是指数的，而不是二次的，所以条件方差的预测值一定是非负的。 杠杆效应的存在可以经过 0的假设得到检验。假设 0 ，那么冲击的影响存在着非对称性 。 . 例6.4 股票价钱动摇的TARCH模型和EGARCH模型 那么在我国的股票市场运转过程当中，能否也存在股票价钱动摇的非对称性呢？利用沪市的股票收盘价钱指数数据，我们估计了股票价钱动摇的两种非对称模型，结果分别如下： TARCH模型：均值方程： (19679) 方差方程： (5.55) (7.63) (5.31) (45.24) 对数似然值 =3009 AIC = -5.77 SC = -5.75. 杠杆效应项由结果中的RESID(-1)2(RESID(-1) 0 意味着条件方差中的暂时杠杆效应。需求留意，这种非对称效应只出如今短期动摇中，对长期动摇率的影响那么主要表达在系数 的变化上。 .在EViews中估计成分ARC