习题课-6-8-多元微分学的应用ppt课件

1、机械1509 1510 没交作业名单: 2. 求函数 在抛物线x轴正向的切线方向的方导游数.解: 将抛物线用参数方程表示为它在点(1,2) 的切线方向为上点 (1, 2)处,沿着这抛物线在该点处偏向 2. 求函数 在抛物线x轴正向的切线方向的方导游数.解: 先求切线斜率：在它在点(1,2) 的切线方向为上点 (1, 2)处,沿着这抛物线在该点处偏向两端分别对x求导，得 求可微函数最大值和最小值的普通方法：1求函数在 D 内的一切驻点；2求函数在 D 的边境上的最大值和最小值；3将函数在一切驻点处的函数值及在 D 的边境上的 最大值和最小值相比较，最大者就是函数在 D 上 的最大值，最小者就是最

2、小值。 在实践问题中，假设根据问题的性质，知道函数的最 大或最小值存在且一定在 D 的内部获得，而函数在 D 内只需一个驻点，那么该驻点就是函数在 D 上的最大或 最小值点。解如图,得 在边境 和在边境 上 第九章 习题课三、多元函数微分法的运用 多元函数微分法的运用一、 根本概念延续性 偏导数存在 方导游数存在可微性1. 多元函数的定义、极限 、延续 定义域及对应规律 判别极限不存在及求极限的方法 函数的延续性及其性质2. 几个根本概念的关系偏导数延续二、多元函数微分法显示构造隐式构造1. 分析复合构造(画变量关系图)自变量个数 = 变量总个数 方程总个数自变量与因变量由所求对象断定2. 正

3、确运用求导法那么“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导留意正确运用求导符号3. 利用一阶微分方式不变性三、多元函数微分法的运用1.在几何中的运用求曲线的切线及法平面(关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) 求解最值问题3. 在微分方程变形等中的运用 最小二乘法1) 近似计算2) 几何运用几何运用曲线切线(法平面)曲面切平面(法线)一、内容小结：多元微分学的运用曲线：参数方程情形切线：法平面：普通方程情形切线：法平面：也可表为法平面方程那么曲线在该点的切线可以看作两曲面在

4、该点切平面的交线：普通方程假设另：曲面：该曲面上，那么相应的切平面：法线：曲面方程： ，点 在称之为函数在l 方向上的增量。假设极限存在射线l的参数方程为那么称此极限为 f ( x , y ) 在点 处沿方向 l 的方导游数。记为3) 方导游数与梯度其中 为 轴正向到方向 的转角二元函数的方导游数其中 是方向 l 的方向余弦.三元函数的方导游数梯度注：梯度方向为方导游数取最大值的方向或者函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.同样, 的等值面(等量面). 当其各偏导数不同其上点 P 处的法向量为称为时为零时, 那么上点P 处的法向量为 4) 极值问题必要性：可导的极值点是驻点充分

5、性：那么时， 极小值；时， 极大值；时不能确定；时 非极值(1) 无条件极值(2) 条件极值方法：最后对方程组的解进展讨论而得到所求极值构造Lagrange函数单条件极值 求函数 在条件下的条件极值解方程组方法：解方程组构造Lagrange函数两条件极值 下的条件极值最后对方程组的解进展讨论而得到所求极值求函数 在条件(3)函数的最大值和最小值求函数在有界区域上的最大值和最小值的方法 1.求出该函数在内的一切驻点和偏导数不存在的点的函数值， 2.求出在边境上能够的最大值最小值, 3.比较大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值。在实践问题中往往可根据问题本身的性质来断定驻点能否是最值点。1

6、. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设函数 z = f (x, y) 在点(0, 0)的某邻域内有定义,且 函数f (x, y) 在点(0, 0)处的两个偏导数存在,不一定可微.那么有_.P133 题2解: 取x为参数 , 故(C)正确. 2. ( )选择题解:平面的法向量曲线的切向量:3. 假设z=f (x,y)在(x0,y0)处获得极大值, 那么g(y)=f(x0,y) 在y0处一定有 ( )A. g(y)在y0获得最大值; B. g(y)在y0获得极大值C. y0是g(y)的驻点 D.以上都不对.1314 ABC3. 假设 f(x0 , y) 及 f(x , y0) 在(x0

7、 , y0) 都获得极值,那么f ( x , y) 在(x0 , y0) 处( )A.不一定获得极值; B.获得极值; C.获得最值. D.取不到极值不一定获得极值.例如,在 不取极小值.此时 取极小值;在 当 时, 分析:当 时, 取极小值;在 令 A.不一定获得极值; B.获得极值; C.获得最值. D.取不到极值不一定获得极值.例如,在 不取极值.但 取极大值;在 当 时, 分析:当 时, 取极小值;在 3. 假设 f(x0 , y) 及 f(x , y0) 在(x0 , y0) 都获得极值,那么f ( x , y) 在(x0 , y0) 处( ) 那么(0,0) ( )(A). 不是f

8、( x, y)的延续点; (B) . 不是f ( x, y)的极值点; (C) .是f ( x , y)的极小值点. (D). 是f (x, y)的极大值点分析:4. 设函数的全微分为令得驻点 (0,0).在点(0,0) 处为极小值;5.设函数在处获得极值，试求常数a，并确定极值的类型分析 这是二元函数求极值的反问题， 即知获得极值，只需求根据可导函数获得极值的必要条件和充分条件即可求解此题解：由于可微, 故必为驻点， 那么有 因此有，即1112B5.设函数在处获得极值，试求常数a，并确定极值的类型在点为极小值.求二阶偏导数解：处即解: 令切平面方程 法线方程法向量7在椭球面 上求一点，使函数

9、 在该点沿方向的方导游数为最大解: 设向量 l 的方向余弦为为椭球面上任一点，问题归结为求在条件下的最大值.设拉格朗日函数解方程组7在椭球面 求一点，使函数 在该点沿方向的方导游数为最大得驻点得驻点在点的方导游数为最大沿方向由知条件可知此题的最大值与最小值一定存在.而且解:由方导游数的计算公式知P133 题15故例1.例2. 求函数在椭球面解: 的方导游数.沿外法线方向 对于封锁的曲面，上述两个法向量中，一个指向曲面的外侧，另一个那么指向曲面的内侧。设那么椭球面上恣意一点 P ( x , y , z ) 处的法向量可取为 指向外侧，称为外法线方向向量指向内侧，称为内法线方向向量上点 处P134

10、 题16解: 例2. 求函数在椭球面的方导游数.沿外法线方向上点 处椭球面在点 处的一个外法线方向向量例3.在第一卦限作椭球面的切平面,解: 设切点为那么切平面的法向量为即切平面方程使其与三坐标面所围的四面体体积最小, 并求切点和最小体积. P134 题18问题归结为求在条件下的最小值 .设拉格朗日函数切平面在三坐标轴上的截距为所围四面体的体积 V 最小等价于 f ( x, y, z ) = x y z 最大,令由此问题的性质知为所求切点 .得独一驻点四面体的最小体积为 上求一点 , 使该点处的法线垂直于 在曲面并写出该法线方程 .解: 设所求点为曲面的法向量利用得平面法线垂直于平面点在曲面上

11、P134 题14那么法线方程为所以法线方程为例4. 例4. 抛物面 被平面 截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短间隔。分析：设 为椭圆上任一点, 那么 到原点的距. 又 点既在抛物面上, 又在知平面上,故此题可转化为求目的函数 在约束条件及 下的最大值和最小值。可用拉格朗日乘数法求解。 解：设 椭圆上任一点，那么它到原点的间隔为 下面求 在约束条件及 下的最值.离为P121 题11解方程组 得两个驻点 由题意可知这种间隔的最大值与最小值一定存在；而驻点只需两个,故最大值、最小值一定在这两个驻点处获得。 由于 故最长间隔为 最短间隔为 作拉格朗日函数P92证明: 隐函数求导法P92 11解法2

12、 复合函数求导法.由于 t 是由方程当(1)将上面的两个式子代入(1), 得时,确定的 x, y 的隐函数,故P89解法3 微分法.对各方程两端分别求全微分,得由(2), 得当(2)(1)乘以(1)两端,并以(3)式代入, 得(3)时,P131 题11 设求解:P131 题11其中 f 具有延续的二阶偏导数.这里 仍是以u, x, y 为中间变量的函数, 且与函数 f 有一样的复合构造,故对它们求偏导要按复合函数求导法那么.P131 题12 设求解:利用行列式解出两端对x求导，得P131 题12上式中的第一式乘 第二式乘 两式相减，得上式中的第一式乘 第二式乘 两式相加，得同理可得因此P131

13、 题12 设求提示:利用行列式解出 du, dv ：代入即得 代入即得 四、运用题7.求函数解: 第一步 求驻点.得驻点: (0, 0) , (0, 2), (1, 1) , (1, 1) .第二步 判别.在点(0,0) 处为极大值;解方程组的极值.求二阶偏导数在点(1,1) 处不是极值;在点(0,2) 处为极小值.在点(1,1) 处不是极值;例4.求旋转抛物面与平面之间的最短间隔.解: 设为抛物面上任一点，那么 P 的间隔为问题归结为求作拉格朗日函数到平面在条件下的最小值 .令解此方程组得独一驻点由实践意义最小值一定存在 ,且有独一驻点,故2. 设均可微, 且在约束条件(x, y) 0下的一个极值点, 知 (x0, y0) 是 f (x, y)以下选项正确的选项是( ) 提示: 设()代入()得D(2006考研)例3.设有二阶延续偏导数, 且求解:例10. 设其中 f 与F分别具解法1 方程两边对 x 求导, 得有一阶导数或偏导数, 求(1999 考研)解法2 方程两边求微分, 得化简消去 即可得作业 P130 5，6，10， 15，