第一章第五节 独立性—概率论与数理统计(李长青)

1、第五节 独立性一、两个事件的独立性 例 1 一袋中装有 a 个黑球和 b 个白球，采用有放回摸球，求：（1） 在已知第一次摸得黑球的条件下，第二次摸出黑球的概率；（2） 第二次摸出黑球的概率.解 以事件 A 表示第一次摸得黑球，事件 B 表示第二次摸得黑球， 则由此算得 另一方面，有从而有定义1.7 对于任意两个事件 A, B, 若 成立, 则称事件 A, B是相互独立的, 简称为独立的.定理1.4 若随机事件A, B 相互独立, 则下列事件对 分别也是相互独立的. 证 由于A, B 相互独立, 所以 又 从而有 由此可得 同理可证事件对 即事件A, 是相互独立的. 的独立性. 例2 在例1中

2、如果采用不放回摸球, 试求同样两个事件的概率. 解 在不放回的情形, 利用古典概型容易求得 所以 另外易知 显然 即事件 A 与事件 B 不是相互独立的. 二、多个事件的独立性 定义1.8 对于三个事件 A, B, C, 若 (1) (2)同时成立, 则称事件 A, B, C 相互独立. 注: (1)式成立称事件 A, B, C 两两独立, 值得注意的 是两两独立并不能保证三个事件相互独立. 例3 抛掷一枚均匀的硬币两次, 观察其正反面出 现的情况, 则试验的样本空间为 定义随机事件如下: 显然 由此知事件 A, B, C 两两独立, 所以 A, B, C 不相互独立. 但是定义1.9 设 是

3、 n 个事件，如果对于所有可能的组合下述各式成立 则称 相互独立. 事件的独立性有如下几个性质：1、如果 n 个事件相互独立，则其中 任意 k （1 k n ）个事件也相互独立。2、如果 n 个事件相互独立，则将其中任意 k （1 k n ）个事件换成其相应的对立事件，则得到的 n 个事件仍然相互独立。三、事件独立性在概率计算中的应用 相互独立，若事件所以 上式可以简化概率的计算. 由得摩根律知例4 若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 混合100个人的血清, 求此血清中含有肝炎病毒的概率.解 以 Ai ( i = 1, 2, , 100 ) 表示事件“第 i 个人的 血清含有肝炎病毒

4、”, 我们可以认为诸 Ai 是相互独立的, 所求的概率为 由独立性可得 例5 甲、乙两射手射击同一目标,他们击中目标的概率分别为0.9与0.8,求在一次射击中(每人各射一次)目标被击中的概率.解 设 A 表示事件“甲射中目标”，B 表“乙射中目标”，C 表示“目标被击中”。则由独立性，有例6 设某系统由 n 个元件连接而成. 以 Ai 表示事件“在时间段0, t 内第 i 个元件正常工作” ( i = 1,2, , n ), A 表示事件“在时间段 0, t 内系统正常工作”. 又假定各个元件能否正常工作相互独立, 即各个元件是否发生故障不影响其它元件是否发生故障, 从而事件Ai ( i =

5、1,2, , n )相互独立. () 串连系统的可靠性 如果该系统由 n 个元件串连而成(如上图 ) , 称其为串连系统. 系统能正常工作可表示为 设每个元件的可靠性为 r, 则系统的可靠性为 由于 由上式可以看到, 元件越多( n 越大) , 系统的可靠性就越小. 对于串连系统, 组成系统的元件要尽可能地少, 以保证系统有较大的可靠性. 结论： () 并联系统的可靠性 将 n 个元件按右图所示 并联而组成该系统，称其为 并联系统. 可表示为 如果每个元件的可靠性仍为 r, 则系统的可靠性为 对于并联系统, 元件越多, 系统的可靠性越大. 结论:则系统能正常工作四、贝努利概型 定义1.10 如

6、果一个试验所有可能的结果只有两个: A (成功)与 (失败), 并且 (其中 , 称此类试验为贝努利试验. 定义11:设 E 为一贝努里试验，将 E 在相同条件下独立重复进行 n 次，每次试验中结果 A 出现的概率保持不变，均为 p ( 0 p 1 ). 把这 n 次独立重复试验总起来看作一个试验，并称其为 n 重贝努里试验 ,记 作 定理1.5 在 n 重贝努利试验中, 设 A 在各次试验记 中发生的概率为则在 n 次试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率为 证 以 Bk 表示事件 “在 n 重贝努利试验 中事件A 恰好出现 k 次”,以 Ai 表示事件“在第 i 次试验中A发生”，上式右边

7、的每一项表示在 n 次重复试验中,在某确定的 表示事件“在第 i 次试验中 发生” , 则 k 次试验中出现 A, 在另外 nk 次试验中出现 上式右边一共有项, 而且两两互不相容. 由试验的独立性 及有 同理可得其余各项所对应事件的概率均为 利用概率的可加性即得 例7 设有 N 件产品, 其中有 M 件次品, 现进行 n 次有放回的抽样检查, 问共抽得 k 件次品的概率是多少？ 解 由于抽样是有放回的, 每次抽样产品成份不发生变化, 现次品这一事件, 由二项概率公式可得 因此这是 n 重贝努利试验, 若以 A 记各次试验中出则例8 某火炮对一目标进行8次独立射击, 每次射击 命中目标的概率为0.6, 设目标至少被击中两次才能被摧毁, 求目标被摧毁的概率. 解 由于各次射击是独立的, 因此, 8次射击相当于8重贝努利试验,若以 A 记各次射击中命中目标这一事 件, 则 设 B 表示事件“目标被摧毁”, 表示事件“8次射击中命中目标 k 次” 则所求的概率为例 10 一个人要开门, 他共有 n 把钥匙, 其中仅有一次试开成功的概率 pk 是多少？ 即在每次把能将门打开. 他随机地选取一把钥匙开门, 被使用, 这人在第 k