世外中学2011年初二年级数学竞赛选拨赛答案

1、翔文学习数学竞赛选拨赛答案xiangwenjy世外中学2011年初二年级数学竞赛选拨赛填空题（每題7分.共70分）1.231,562.123故1=F(z?)n0)所以m为小于23的m刃+12323正整数。又1=23+（和+1），故加（23+p）=23p这里0=刃+1因为m23,等式右边是23的倍m23（”+1）数左边也必定是23的倍数从而得到23+p是23的倍数，故p必定是23的倍数。设p=n+l=23k,k为正整数故得到m（l+k）=23k.因为m23z所以只能是l+k=23.BPk=22/m=22/n=23x22-l=505/故m+n=22+5O5=S2712,52,69小于133的完全平

2、方数为149,16,25,36,49,64,81,200,121.不妨设ab761+612,最前应是76：中间排序基本无所谓.因为出现在哪位上都在个.十.百位加一次。故结论是呆小时如：765432189765*6S44543厶432鼻3214218*189=3122或761234589761+6124123+234+345+458+589=3122这种比简单排成123456789.123+2344345+456+567+678+789=3192耍好。5.设点Ca,b）,A（0），B（1Q）,则C到两点A和B的距离和就是J/+（bJ.）?十/al）：十b从右图看出，当且仅当C在AB线段上时，上述

3、值最小（三角形两边之和大于第三边）故为了计算方便.取C在A点时，距离之和就是AB线段的长度，即最小值为、伍。本題可以扩展：任意实数理2，x3，y3.证明：J(xl_x2)2+(yl_尹2)2SJ(xl_x3)z+(yl_y3)2+J(x3_x2)+(尹3_尹2尸提示：将上述三对数看成三个点的平面坐标，利用两点距离公式和三角形两边之和大于第三边的性茨.即可以得到。6.由给定的方程组.依次给各方程编上序号(1)(6),将相邻两个等式两两相减，得到:-(1)b-a=20-(2)c-b=40(3)dc=S0-(4)e-d=160-(5)f-e=32O所以(f-e)+(d-c)+(b-a)=320+80

4、+20=4207.如图，假设直角三角形AGF的一条短直角边AG二x.因为三角形ABC为等边三角形故ZA二NB二NC=60,又HI丄IJ,KJ丄KF,FG丄GH所以NAFG二30,AF二2x,FG=/3x,外围6个直角三角形显然全等，所以FK二FG二y/3x.一13_丿3由已知AB二1,所以l=3x+03x,x=l=3+V366个直角三角形的面积都等于直角三角形FAG的面积.f宀孚時卫；严.故公共部分面积二三角形ABC的面积-3x（三角形FAG的面积）=-3（23=禺444记仕：等边三角形的面积丹为正三角形的妆长48、解：相似三角形的面积之比等于相似比的平方。本题没有死套该性质。如下图:设AH=

5、JED=i,因为EF/BC,所以AEFAABC,唸境喘宀辻=（笋EFBC同理AEHsAEBD.故AE：EB二AH：ED二j：i设该比值为x己知Saef：StBc=2:l,即(EFAH)：(BCED)=2:1,AE_2AE+EBxAE_2EBx-2即x=x-2x(x2)=2a-1=3x=1/3取正数，x=l+V3-1故ae=ef=ah=2ABBCAGSaaF=(/3-1)2=4-2y/3;Saebc=Saaef/2=2-品；Saefc=1-3（2-V3）=359解：作DsCxE关于AE的轴对称图形，分别是和E（E和E，重合）。连接DUUE,AD：aUD*因为DsCE共线，故D：C：E也必定共线。

6、显然，AADCSAADC（SSS）故：ZDACsZDAC*,ZACEsZACE同理：AAECAAEC所以NCEA二NUEA二NCEC72由己知务件知道ZBAD二ZDACZBAD二ZDAUTDA丄AE.故DS丄AE.即D、A、D三点共线。所以B、A、C三点也共线（或者说ZBAC=180）翔文学习数学竞赛选拨赛答案xiangwenjygmaiI.com由已知条件得到：AB+AC=BE.AR+ACRCxRF故ZBCE=ZBEC=2ZBEA故ZACE=2ZAEB由三角形的外角等于不相邻的两个内角和得到:ZACE=ZB+18。,2ZAEB二ZB+18。,ZAEB=ZB/2+9由三角形内角和为180。得到

7、：ZAEB+ZBAE+ZB=180(ZB/2-*9)+(9十90)+ZB二180解得ZB=4810.解：如下图解法一、取AM的中点G.连接NG.NM.所以AG=AM/2=1=GMC因为AN=AG=1,ZNAE=60所以ANAG是边长为1的正三角形,NG=AG=AN=1,从而可知ANM是直角三角形，AN丄NM.故NM二J5延长NM和AB,相交于点F,VAB/DC,ZBFM=ZCNMBM=MCZBMF=ZCMN故厶BMFACMN所以BF二NC=DC/2二AB/2,AF二AB+BF二AB+AB/2=(3/2)AB在直角三角形ANF中.利用勾股定理：AFANNF29AB2=1+1243解法二.延长AM

8、和DC.相交于点E同样的方法.但是需要用到余弦定理。已知两边长和夹角，可以用余弦定理来求第三边。这里省略。超出了初二的范围。翔文学习数学竞赛选拨赛答案xiangwenjy二、综合题（每题10分，共30分）11解：考察取整函数，利用分类讨论数学思想。实数可以分为整数和分数。1）x为密数时，由取報函数定义可知：x=X/故有2x=2x,3x=3xz由题意得到：5x=8x-7/2zx=7/6不是整数，舍弃。2）当x为分数时，由取轅函数定义可知：XX1+X,或者x-lxxz所以5x2v2x+（3xv5x,等式左边是整数，显然右边也是整数.不妨S8x-7/2=k（k为整数），即x=k/8+7/16由不等式知道5x-28x-7/25X/解得：-3/23x7/2/所以TOC o 1-5 h z7x6HYPERLINK l bookmark6 o Current Documentk77+8166-82A:+7315z3526-7k/3)2=2x/19过A作AE丄BC,垂足为E,在RtABDM和RtABEA中.有一个公共的锐角NB,/.RtABDMRtABEA故DM:AE=BM:AB（这一步也可以由三角函数得到，都等于sinB）所以AE=DMA