电动力学 第四章 恒场

1、第四章 恒场 4.1 基本方程和边界条件4.2 多极展开4.1 基本方程和边界条件恒源条件4.1.1 恒场此时由连续性方程 可得稳流条件条件4.1.2 静电场基本方程方程为边值关系为(4.1.1)(4.1.2a)(4.1.2b)引进静电势对于各向同性的线性介质,有所以有(4.1.3)对于均匀介质(4.1.4)如果均匀区域内不存在自由电荷,则(4.1.5)边值关系:(4.1.5a)(4.1.5b)(4.1.5a)式为(4.1.5a)式等价(4.1.2b)式,(3.1.12)(4.1.5b)式可由 得到静电平衡时,导体的静电条件为4.1.3 导体介质(1) 导体内部电场为零，(3.1.12)（2）

2、导体是等势体,表面为等势面导体内部(3) 导体内部不带电,电荷分布于导体表面导体表面上电场沿法线方向;边值关系4.1.4 稳恒电流体系的基本方程Ohm定律导体表面电荷密度总电荷此时条件静电场和稳恒电流静磁场边值关系为4.2 恒场中的多极展开4.2.1 电势的多极展开若电荷体系集中在空间一小区域 内,它在空间产生的电势体积元 在空间产生的电势整个电荷体系产生的电势在离该区域很远处( )，因为在直角坐标系中作展开，又故有又因为(b)所以(a)化为(a)式中是二阶无迹对称张量,5个独立分量于是电势在直角坐标系中的多极展开式为电势在直角坐标系中的多极展开式可写为式中电偶极矩 3总电量 1电四极矩 5对

3、照：独立分量(2)讨论:(1) 及更高阶电矩和坐标原点选取有关*推广到二维和一维带电体系二维带电体系故(3) 分立电荷体系一维带电体系故直线故(4) 分量电偶极矩电荷分布在x轴上电四极矩分量显然二阶对称张量若带电体系具有轴对称，则故只有一个独立的分量(4) 对称性由于又有(对称轴为z轴)证：当对称轴为z轴时，有若球对称，同样有故有又有且同理例1:电荷 均匀分布在长为 的一段直线上，求该一维带电体系的电偶极矩和电四极矩。取线段沿z轴方向讨论两种情况:(1)原点在线段中点；(2)原点在线段一端，且线段在 处。解: 令(1)电四极矩分量：电偶极矩(2)原点在线段一端，且线段在 处。空间电势分布(计算

4、到电四极矩)例2:(1)x轴上四个点电荷位矢分别为代入到有注：当原点取在其它位置仍有代入到(2) 平面上的四个电荷位矢分别为代入到 中，有代入到可计算例3：一半径为 的圆环均匀带电，其电荷线密度为 。解：取圆环位于 平面，圆心为坐标原点，求圆心作为坐标原点时带电体系的电偶极矩和电四极矩和在远处产生的电势。则总电荷电偶极矩电四极矩分量分量同理分量故空间电势分布(计算到电四极矩)有球坐标系中的多极展开故式中电多极矩对于分立电荷:阶多极矩 的分量的线性组合.球坐标系中的 阶多极矩 表示为直角坐标系中的利用球谐函数公式,可以把球谐函数公式:可得:4.2.2 电场强度的多极展开在直角坐标系中在球坐标系中

5、在球坐标系中有零级近似: 点电荷电场电偶极子 : 设轴对称对于原点任意方向的电偶极子 ,有电场为4.2.3 静磁矢势的多极展开在离该区域很远处( ),有可以写为式中磁单极项磁偶极项磁四极项1. 磁单极项为零由稳恒电流的连续性,可以把稳恒电流区域分成许多闭合的流管对于每一个流管而言,其中I为在该流管内流过的电流. 或如下证明:式中磁偶极矩2.磁偶极项:故所以矢量式产生的磁场因为及得上面利用磁标势位于原点，磁偶极矩为 的磁偶极矩产生的磁感应强度对照电偶极矩产生的电场位于原点的电偶极矩产生的电场利用真空中电磁场能量表达式有:(4.2.1)及(4.2.2)(4.2.3a)(4.2.3b)4.3 恒场能

6、量的势表达式4.3.1 恒场能量的势表达式当区域V为全空间时,则有(4.2.4)(4.2.5)静电能静磁能因此真空区域V中恒场的能量可表示为:此时故及(4.2.6)介质中的能量表达式(包括磁化能和极化能)代入(4.2.6)式(4.2.7)当区域V为全空间时,则有(4.2.8)其总静电能为对于导体系,每个导体都是等势体,电荷在外表面上,4.3.2 两个电荷体系的相互作用能两个带电体系总能量的能量相互作用能的能量又4.3.3 电荷体系与外场的相互作用能的多极展开体系与外场的相互作用能为外源分布 在区域V产生(4.9.37)电势为因为 ,作Taylor展开有(4.9.38)代入(4.9.37)中,得(4.9.39)由于外源 分布在V外( ),故有(4.9.40)在坐标原点 处的取值所以(4.9.39)写为(4.9.41)代入到(4.9.36)式得第 项是电 极子与外场的相互作用能处于 的两个电偶极子 的相互作用能为注：位于原点的电偶极矩产生的电场电偶极子在外场中所受力 :设 平移一个虚位移 ,则4.3.4 电偶极矩在外场中的受力和力矩电偶极子在外场中所受力矩 :设 转动一个虚角度则而于是4.4 Green定理Gauss定理令 ,则同样令 有相减得Green定理任意矢量场4.8 作用在导体面上的电场力所以即因为：通过导体表面 在单位时间内：等于导体外的场对导体在单位时间