选修4-4坐标系与参数方程知识点与经典例题

1、PAGE2 / NUMPAGES34坐标系与参数方程*选考内容坐标系与参数方程高考考试大纲要求：1坐标系：理解坐标系的作用.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2参数方程：了解参数方程，了解参数的意义.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.第一讲一、平面直角坐标系伸缩变换：设点

2、P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换xx,(0),:的作用yy,(0).下，点P(x,y)对应到点P(x,y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。-1-方法1：求伸缩变换后的图形。由伸缩变换公式解出x、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。例:：在一个平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。方法2：待定系数法求伸缩变换。求伸缩变换时，先设出变换，再代入原方程或变换后的方程，求出其中系数即可。例：在同一平面直角坐标系中,求下列图形变换的伸缩变换:-2-二、极坐标1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox

3、叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。2.点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为。有序数对(,)叫做点M的极坐标，记为M(,).极坐标(,)与(,2k)(kZ)表示同一个点。极点O的坐标为(0,)(R).3.若0,则0,规定点(,)与点(,)关于极点对称，即(,)与(,)表示同一点。如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示；同时，极坐标(,)表示的点也是唯一确定的。4.极坐标与直角坐标的互化

4、：22x2y,xcos,ysin,tanyx(x0)如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(，)(1)极坐标化直角坐标(2)直角坐标化极坐标222xy，ytanx（x0）.-3-方法3：极坐标与直角坐标的互化例：（1）点M2，23的极坐标是（2）点M22,的直角坐标是3练：-4-三、简单曲线的极坐标方程1.圆的极坐标方程：(1)特殊情形如下表：圆心位置极坐标方程图形r圆心在极点(0，0)(02)2rcos_圆心在点(r，0)(2)2圆心在点(r，2)2rsin_(0)2rcos_圆心在点(r，)3(2)23圆

5、心在点(r，2)2rsin_(0)(2)一般情形：设圆心C(0，0)，半径为r，M(，)为圆上任意一点，则|CM|r，COM|0|，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为220cos(0)20r20即r22202cos(00)2.直线的极坐标方程：(1)特殊情形如下表：-5-直线位置极坐标方程图形(1)(R)或(R)过极点，倾斜角为(2)(0)和(0)cos_a过点(a，0)，且与极轴垂直22过点a，2，且与极sin_a(0)轴平行sin()asin过点(a，0)倾斜角为(0)(2)一般情形，设直线l过点P(0，0)，倾斜角为，M(，)为直线l上的动点，则在OPM中利用正弦定理可得直线l的极坐标方

6、程为sin()0sin(0)方法4：直角坐标方程与极坐标方程的互化-6-方法5：极坐标系下的运算方法6：曲线极坐标方程的求法四、柱坐标系与球坐标系简介（了解）1、柱坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(，)(0，02)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组（，z）(zR)表示这样，我们建立了空间的点与有序数组(，z)之间的一种对应关系把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(，z)叫做点P的柱坐标，记作P(，z)，其中0，02，zR-7-xcos(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(，

7、z)之间的变换公式为ysinzz2、球坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|r，OP与Oz轴正向所夹的角为，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为，这样点P的位置就可以用有序数组(r，)表示，这样，空间的点与有序数组(r，)之间建立了一种对应关系把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，)，叫做点P的球坐标，记作P(r，)，其中r0，0，0b0)的参数方程是abxacosybsin(是参数)，规定参数的取值X围是0，2)(2)中心在原点，焦点在y轴上的椭圆22yx2

8、21(ab0)的参数方程是abxbcosyasin(是参数)，规定参数的取值X围是0，2)(3)中心在(h，k)的椭圆普通方程为2（xh）2a2（yk）21，则其参数方程为bxhacosykbsin(是参数)2双曲线的参数方程-10-(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线22xy221的参数方程是abxasecybtan(为参数)，规定参数的取值X围为0，2)且32，2(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线2y2a2x21的参数方程是bxbtanyasec(为参数)3抛物线的参数方程22px的参数方程为(1)抛物线y2x2pt(t为参数)y2pt(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一

9、点与原点连线的斜率的倒数方法1：参数方程和普通方程的互化-11-五、直线的参数方程1直线的参数方程经过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为xx0tcosyy0tsin(t为参数)2直线的参数方程中参数t的几何意义(1)参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离(2)当M0M与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数当M0M与e反向时，t取负数，当M与M0重合时，t03直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程我们把过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线，选取参数tM0M得到的参数方程xx0tcosyy0tsin(t为参数)称为直

10、线参数方程的标准形式，此时的参数t有明确的几何意义b一般地，过点M0(x0，y0)，斜率ka(a，b为常数)的直线，参数方程为xx0atyy0bt(t为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t不具有标准式中参数的几何意义方法2：求直线参数方程-12-方法3：参数方程问题的解决办法解决参数问题的一个基本思路：将其转化为普通方程，然后在直角坐标系下解决问题。方法4：利用参数的几何意义解题-13-六、渐开线与摆线（了解）1渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的

11、渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系设基圆的半径为r，绳子外xr（cossin），端M的坐标为(x，y)，则有(是参数)这就是圆的渐开线的参数方程yr（sincos）2摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线(2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为xr（sin），(是参数)yr（1cos）-14-练习1曲线x25ty12t(t)为参数与坐标轴的交点是（）A21(0,)(,0)、B5211(0,)、

12、(,0)C(0,4)、(8,0)D525(0,)(8,0)、92把方程xy1化为以t参数的参数方程是（）Axtyt1212BxsintxcostxtantCDy1sinty1costy1tant3若直线的参数方程为x12ty23t(t)为参数，则直线的斜率为（）A23B23C32D324点(1,2)在圆xy18cos8sin的（）A内部B外部C圆上D与的值有关xt1t5参数方程为(t为参数)表示的曲线是（）y2A一条直线B两条直线C一条射线D两条射线6两圆xy342cos2sin与xy3cos3sin的位置关系是（）A内切B外切C相离D内含xt7与参数方程为(t)为参数等价的普通方程为（）y2

13、1tA2y21xB42y21(01)xx4C2y21(02)xyD42y21(01,02)xxy48曲线xy5cos()5sin3的长度是（）-15-A5B10C53D1039点P(x,y)是椭圆222x3y12上的一个动点，则x2y的最大值为（）A22B23C11D2210直线1x1t23y33t2(t为参数)和圆2216xy交于A,B两点，则AB的中点坐标为（）A(3,3)B(3,3)C(3,3)D(3,3)2x4t(t为参数)上，则|PF|等于（）11若点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线y4tA2B3C4D512直线x2ty1t()t为参数被圆22(x3)(y1)25所截得的弦长为（）A98B4014C82D9343ttxee13参数方程(t)为参数的普通方程为_tty2(ee)x22t14直线(t为参数)上与点A(2,3)的距离等于2的点的坐标是_y32t15直线xtytcossin与圆xy42cos2sin相切，则_16设ytx(t为参数)，则圆2240 xyy的参数方程为_17求直线x1tl:(t为参数)和直线1y53tlxy的交点P的坐标，及点P与Q(1,5)的距2:230离18已知直线l经过点P(1,1),倾斜角，6（1