2021版数学（新教材）必修 第一册人教A版：第一章 1-5-1

1、15全称量词与存在量词15.1全称量词与存在量词学习目标1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假知识点全称量词和存在量词全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号命题含有全称量词的命题是全称量词命题含有存在量词的命题是存在量词命题命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“xM，p(x)”“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“xM，p(x)”1“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词()2全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”

2、()3“三角形内角和是180”是全称量词命题()一、全称量词命题与存在量词命题的辨析例1(1)下列语句不是存在量词命题的是()A有的无理数的平方是有理数B有的无理数的平方不是有理数C对于任意xZ,2x1是奇数D存在xR,2x1是奇数答案C解析因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题(2)给出下列几个命题：至少有一个x，使x22x10成立；对任意的x，都有x22x10成立；对任意的x，都有x22x10不成立；存在x，使x22x10成立其中是全称量词命题的个数为()A1 B2 C3 D0答案B解析因为“至少有一个”、“存在”是存在

3、量词，“任意的”为全称量词，所以为存在量词命题，为全称量词命题，所以全称量词命题的个数为2.反思感悟全称量词命题或存在量词命题的判断注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略跟踪训练1下列命题中全称量词命题的个数为()平行四边形的对角线互相平分；梯形有两边平行；存在一个菱形，它的四条边不相等A0 B1 C2 D3答案C解析是全称量词命题，是存在量词命题二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2判断下列命题的真假(1)xZ，x30.解(1)因为1Z，且(1)311，所以“xZ，x30”是假命题反思感悟全称量词命题和存在量词命题真假的判断(1)要判断一个全称量词命题为

4、真，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假(2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为假跟踪训练2指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假(1)xN,2x1是奇数；(2)存在一个xR，使eq f(1,x1)0.解(1)是全称量词命题，因为xN,2x1都是奇数，所以该命题是真命题(2)是存在量词命题因为不存在xR，使eq f(1,x1)0成立，所以该命题是假命题三、

5、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数例3已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，且B.(1)若命题p：“xB，xA”是真命题，求m的取值范围；(2)命题q：“xA，xB”是真命题，求m的取值范围解(1)由于命题p：“xB，xA”是真命题，所以BA，B，所以eq blcrc (avs4alco1(m12m1，,m12，,2m15，)解得2m3.(2)q为真，则AB，因为B，所以m2.所以eq blcrc (avs4alco1(m15，,2m12，,m2.)解得2m4.反思感悟求解含有量词的命题中参数范围的策略对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为

6、求函数的最大值(或最小值)跟踪训练3若命题“对任意实数x,2xm(x21)”是真命题，求实数m的取值范围解由题意知，不等式2xm(x21)恒成立，即不等式mx22xm0恒成立(1)当m0时，不等式可化为2x0，显然不恒成立，不合题意(2)当m0时，要使不等式mx22xm0恒成立，则eq blcrc (avs4alco1(m0，,44m20.)解得m1.综上可知，所求实数m的取值范围是m1.1下列语句不是全称量词命题的是()A任何一个实数乘以零都等于零B自然数都是正整数C高二(一)班绝大多数同学是团员D每一个学生都充满阳光答案C解析“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是

7、团员”，是存在量词命题2下列命题中为全称量词命题的是()A有些实数没有倒数B矩形都有外接圆C存在一个实数与它的相反数的和为0D过直线外一点有一条直线和已知直线平行答案B3下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A每个二次函数的图象都开口向上B存在一条直线与已知直线不平行C对任意实数a，b，若ab0，则abD存在一个实数x，使等式x22x10成立答案C解析B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数yax2bxc(a3，xa恒成立，则a的取值范围是_答案a3解析对于任意x3，xa恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a3.1知识清单：(1)全称量词命题、存在量词命题的概念(2)含量词的命题的

8、真假判断(3)通过含量词的命题的真假求参数2常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”1下列命题是“xR，x23”的另一种表述方式的是()A有一个xR，使得x23B对有些xR，使得x23C任选一个xR，使得x23D至少有一个xR，使得x23答案C2存在量词命题“存在实数x，使x210 BxR，x210CxR，x212答案B4给出下列三个命题：对任意的xR，x20；存在xR，使得x2x成立；对于集合A，B，若xAB，则xA且xB.其中真命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案C解析对于，存在x0，使得x20，故是假命题；显然是真命题5下列说法正

9、确的是()A对所有的正实数t，有eq r(t)tB存在实数x，使x23x40C不存在实数x，使x4答案B解析teq f(1,4)时，eq r(t)t，所以A选项错；由x23x40，得x1或x4，因此当x1或x4时，x23x40，故B选项正确；由x25x240，得x8或x3，所以C选项错；x0时，不成立，所以D选项错6下列存在量词命题中真命题有_有的实数是无限不循环小数；有些三角形不是等腰三角形；有的菱形是正方形答案7命题“有些负数满足不等式(1x)(19x)20”用“”写成存在量词命题为_答案x0解析存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“xM，p(x)”8下列命题中，

10、是全称量词命题的有_(填序号)有的实数是整数；三角形是多边形；矩形的对角线互相垂直；xR，x220；有些素数是奇数答案9判断下列命题的真假(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(2)存在一个实数x，使得等式x2x80成立解(1)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为eq r(2)，eq r(2) 就不能用正有理数表示(2)假命题，方程x2x80的判别式310.A1 B2 C3 D0答案B12已知命题p：xR，x22xa0.若p为真命题，则实数a的取值范围是()Aa1 Ba0对xR恒成立，所以必有44a0，解得a1.13若存在xR，使ax22xa0，则实数a的取值范围为_答案a|a1

11、解析当a0时，显然存在xR，使ax22xa0时，需满足44a20，得1a1，故0a1.综上所述，实数a的取值范围是a1.14若任意xR，函数ymx2xma的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围解(1)当m0时，yxa与x轴恒相交，所以aR.(2)当m0时，二次函数ymx2xma的图象和x轴恒有公共点的充要条件是14m(ma)0恒成立，即4m24am10恒成立又4m24am10是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是(4a)2160，解得1a1.综上所述，当m0时，aR；当m0时，1a1.15已知Ax|1x2，命题“xA，x2a0”是真命题的一个充分不必要条件是()Aa4 Ba4 Ca5 Da5答案C解析当该命题是真命题时，只需a(x2)max，xAx|1x2又yx2在1x2上的最大值是4，所以a