2021版数学（新教材）必修 第一册人教A版：第三章 3-1-2(二)

1、31.2函数的表示法(二)学习目标1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质知识点分段函数1一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数2分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集3作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象1函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(1，x0，,1，x0)是分段函数()2分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数()3分段函数各段上的函数值集合的交集为.()4分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集()一、

2、分段函数求值例1已知函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x1，x2，,x22x，2x2，,2x1，x2.)试求f(5)，f(eq r(3)，f eq blc(rc)(avs4alco1(f blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)的值解由5(，2，eq r(3)(2,2)，eq f(5,2)(，2，知f(5)514，f(eq r(3)(eq r(3)22(eq r(3)32eq r(3).因为f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)eq f(5,2)1eq f(3,2)，2eq f(3,2)2不合题意，舍去当2a3，求x的取值范围解当x2时，x13得x

3、2，又x2，所以x.当2x3得x1或x3，又2x2，所以1x3，得x2，又x2，所以x2，综上有x的取值范围是1x2.反思感悟(1)求分段函数的函数值的方法确定要求值的自变量属于哪一段区间代入该段的解析式求值，当出现f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值(2)求某条件下自变量的值的方法先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内跟踪训练1已知f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2，1x1，,1，x1或x1或x1或x1，,1f(1,4)，)解得xeq f(1,2)或xeq f(1,2)，x的取值范围是eq blc(rc(av

4、s4alco1(，f(1,2)eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，).二、分段函数的图象及应用例2已知函数f(x)x22，g(x)x，令(x)minf(x)，g(x)(即f(x)和g(x)中的较小者)(1)分别用图象法和解析式表示(x)；(2)求函数(x)的定义域，值域解(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图.由图中函数取值的情况，结合函数(x)的定义，可得函数(x)的图象如图.令x22x得x2或x1.结合图，得出(x)的解析式为(x)eq blcrc (avs4alco1(x22，x2，,x，2x1，,x22，x1.)(2)由图知，(x)的定义域为R，(

5、1)1，(x)的值域为(，1反思感悟分段函数图象的画法(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作第一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象跟踪训练2(1)已知函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x1，x1，0，,x21，x0，1，)则函数f(x)的图象是()答案A解析当x1时，y0，即图象过点(1,0)，D错；当x0时，y1，即图象过点(0,1)，C错；当x1时，y2，即图象

6、过点(1,2)，B错故选A.(2)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是_答案f(x)eq blcrc (avs4alco1(x1，1x0，,x，0 x1)解析由图可知，图象由两条线段(其中一条不含右端点)组成，当1x0时，设f(x)axb(a0)，将(1,0)，(0,1)代入解析式，则eq blcrc (avs4alco1(ab0，,b1.)eq blcrc (avs4alco1(a1，,b1.)f(x)x1.当0 x1时，设f(x)kx(k0)，将(1，1)代入，则k1.f(x)x.即f(x)eq blcrc (avs4alco1(x1，1x0，,x，0 x1.)三、分段函数

7、的实际应用例3A，B两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A地写出该车离A地的距离s(公里)关于时间t(小时)的函数关系，并画出函数图象解(1)汽车从A地到B地，速度为50公里/小时，则有s50t，到达B地所需时间为eq f(150,50)3(小时)(2)汽车在B地停留2小时，则有s150.(3)汽车从B地返回A地，速度为60公里/小时，则有s15060(t5)45060t，从B地到A地用时eq f(150,60)2.5(小时)综上可得：该汽车离A地的距离s关于时间t的函数关系为seq blcrc (avs4alco1(

8、50t，0t3，,150，3t5，,45060t，5t7.5.)函数图象如图所示反思感悟分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式1函数f(x)|x1|的图象是()答案B解析方法一函数的解析式可化为yeq blcrc (avs4alco1(x1，x1，,1x，x0，,1，x0，,1，x0.)若f()4，则实数等于()A4或2 B4或2C2或4 D2或2答案B4函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x21，0 x1，,0，x0，,x21，1x0)的定义域为_，值域为_答案(1,1)(1,1)解析定义域为各段

9、的并集，即(0,1)0(1,0)(1,1)值域为各段的并集(0,1)0(1,0)(1,1)5已知f(n)eq blcrc (avs4alco1(n3，n10，,fn5，n10，)则f(8)_.答案10解析因为810，所以f(13)13310，所以f(8)10.1知识清单：(1)分段函数的概念及求值(2)分段函数的图象2方法归纳：分类讨论、数形结合法3常见误区：(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数(2)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实1函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2，x2，,f(2,x)，x2，)则f(2)等于()A1 B0 C1 D2答案A2下列图形是函数yx|

10、x|的图象的是()答案D解析函数yx|x|eq blcrc (avs4alco1(x2，x0，,x2，x0，)故选D.3设f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2，x1，,x2，1x2，,2x，x2，)若f(x)3，则x等于()A1 Beq r(3) C.eq f(3,2) D.eq r(3)答案D解析若eq blcrc (avs4alco1(x1，,x23，)即eq blcrc (avs4alco1(x1，,x1，)无解若eq blcrc (avs4alco1(1x2，,x23，)即eq blcrc (avs4alco1(1x2，,xr(3)，)xeq r(3).若eq blcr

11、c (avs4alco1(x2，,2x3，)即eq blcrc (avs4alco1(x2，,xf(3,2)，)无解故xeq r(3).4.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)等于()Aeq f(1,3) B.eq f(1,3)Ceq f(2,3) D.eq f(2,3)答案C解析f(x)eq blcrc (avs4alco1(x1，0 x1，,x1，1x0.)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)eq f(2,3).5电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟后，

12、每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计费通话收费S(元)与通话时间t(分钟)的函数图象可表示为下图中的()答案B6函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(2x，0 x1，,2，1x10.)由y16m，可知x10.令2mx10m16m，解得x13(立方米)8设函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)x1，x0，,f(1,x)，x1，则实数a的取值范围是_答案(4，)解析当a0时，f(a)eq f(1,2)a11，解得a4，符合a0；当a1，无解故a4.9已知函数f(x)的解析式为f(x)eq blcrc (avs4alco1(3x5，x0，,x5，01

13、.)(1)求f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,)，f(1)的值；(2)画出这个函数的图象；(3)求f(x)的最大值解(1)eq f(3,2)1，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)2eq f(3,2)85.0eq f(1,)1，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,)eq f(1,)5eq f(51,).10，f(1)352.(2)这个函数的图象如图在函数y3x5的图象上截取x0的部分，在函数yx5的图象上截取01的部分图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象(3)由函数图象可

14、知，当x1时，f(x)取最大值6.10已知函数f(x)1eq f(|x|x,2)(2x2)(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；(2)画出函数f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域解(1)当0 x2时，f(x)1eq f(xx,2)1，当2x0时，f(x)1eq f(xx,2)1x.所以f(x)eq blcrc (avs4alco1(1，0 x2，,1x，2x0.)(2)函数f(x)的图象如图所示(3)由(2)知，f(x)在(2,2上的值域为1,3)11设函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(r(x)，x0，,r(x)，x0，)若f(a)f(1)2，则a等于()A3 B3

15、 C1 D1考点分段函数题点分段函数求值答案D解析f(1)eq r(1)1.f(a)f(1)f(a)12.f(a)1，即eq blcrc (avs4alco1(a0，,r(a)1)或eq blcrc (avs4alco1(a0，,r(a)1，)解得a1，解得a1.a1.12若定义运算abeq blcrc (avs4alco1(b，ab，,a，ab.)则函数f(x)x(2x)的值域为_答案(，1解析由题意得f(x)eq blcrc (avs4alco1(2x，x1，,x，x1，)画出函数f(x)的图象得值域是(，113设函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(3xb，x1，,2x，x

16、1，)若f eq blc(rc)(avs4alco1(f blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)4，则b_.答案eq f(1,2)解析f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)3eq f(5,6)beq f(5,2)b，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)b)4，eq blcrc (avs4alco1(f(5,2)b1，,3blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)b)b4，)无解；eq blcrc (avs4alco1(f(5,2)b1，,2blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)b)4，)解得beq f(1,2).综上，beq

17、f(1,2).14.某工厂八年来产品累积产量C(即前t年年产量之和)与时间t(年)的函数如图，下列四种说法中正确的是_前三年中，产量增长的速度越来越快；前三年中，产量增长的速度越来越慢；第三年后，这种产品停止生产；第三年后，年产量保持不变答案解析由于纵坐标表示八年来前t年产品生产总量，正确15已知函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(2，1x1，,4x，x1，)若f(1x)2，则x的取值范围是()A B0,2C2,0 D10,2考点分段函数题点分段函数求值答案D解析当11x1，即0 x2时，f(1x)2，满足条件，所以0 x2，当1x1即x2时，f(1x)4(1x)x32，解得x1，满足条件，综上有0 x2或x1.16如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系骑车者9时离开家，15时回家根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多