复习提纲（含练习）必修二

1、复习提纲含练习必修二一几何体的认识1. 棱柱:两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体称为棱柱2. 棱锥: 有一面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥3. 棱台: 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的局部，这样的多面体叫做棱台1.有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗？分析：如图18所示，此几何体有两个面互相平行，其余各面是平行四边形，很明显这个几何体不是棱柱，因此说有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱.图18 由此看，判断一个几何体是否是棱柱，关键是

2、紧扣棱柱的3个本质特征：有两个面互相平行；其余各面都是四边形；每相邻两个四边形的公共边都互相平行.这3个特征缺一不可，图18所示的几何体不具备特征.2.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？剖析：如图19所示，将正方体ABCDA1B1C1D1截去两个三棱锥AA1B1D1和CB1C1D1，得如图20所示的几何体. 图19 图20 图20所示的几何体有一个面ABCD是四边形，其余各面都是三角形的几何体，很明显这个几何体不是棱锥，因此说有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥.由此看，判断一个几何体是否是棱锥，关键是紧扣棱锥的3个本质特征：有一个面是多边形；其余各面都

3、是三角形；这些三角形面有一个公共顶点.这3个特征缺一不可，图18所示的几何体不具备特征.3. 以下几何体是台体的是 图2活动：学生回忆台体的结构特征.分析：A中的“侧棱没有相交于一点，所以A不是台体；B中的几何体没有两个平行的面，所以B不是台体；很明显C是棱锥，D是台体.答案：D点评：此题主要考查台体的结构特征.像这样的概念辨析题，主要是依靠对简单几何体的结构特征的准确把握.例1. 宁夏模拟，理6长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的外表的最短距离为 A. B. C. D.活动：解决空间几何体外表上两点间最短线路问题，一般都是将空间几何体外表展开，转化为求平面内两点间线

4、段长，这表达了数学中的转化思想.解：如图3，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=3，BC=2，BB1=1.图3如图4所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开,图4那么有AC1=，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是；如图5所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开,那么有AC1=，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是；图5如图6所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开,图6那么有AC1=，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是.由于，所以由A到C1在正方体外表上的最短距离为.答案：C点评：此题主要考查空间

5、几何体的简单运算及转化思想.求外表上最短距离可把图形展成平面图形.4.如图23，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=3，AA11的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N，求P点的位置.图23分析：把三棱锥展开后放在平面上，通过列方程解应用题来求出P到C点的距离,即确定了P点的位置.解：如图24所示，把正三棱锥展开后，设CP=x,图24根据可得方程22+3+x)2=29.解得x=2.所以P点的位置在离C点距离为2的地方.二中心投影与平行投影例2.如图12甲所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点

6、，G是正方形BCC1B1的中心，那么四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图12乙中的_. 甲 乙图12活动：要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A、G、F、E在每个面上的投影，再顺次连接即得到在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的.分析：在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是图12乙1；在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是图12乙2；在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是图12乙3.答案：123点评：此题主要考查平行投影和空间想象能力.画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次

7、连接即可得此图形在该平面上的投影.如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，防止出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间想象来完成.5 .变式训练 如图13(1)所示，E、F分别为正方体面ADDA、面BCCB的中心，那么四边形BFDE在该正方体的各个面上的投影可能是图13(2)的_. (1) (2)图13分析：四边形BFDE在正方体ABCDABCD的面ADDA、面BCCB上的投影是C；在面DCCD上的投影是B；同理，在面ABBA、面ABCD、面ABCD上的投影也全是B.答案：B C6. 两条相交直线的平行投影是 D 三空间几何体的直观图例3. 如图7所示，梯形ABC

8、D中，ABCD，AB=4 cm，CD=2 cm，DAB=30，AD=3 cm，试画出它的直观图.图7活动：利用斜二测画法作该梯形的直观图，要注意在斜二测画法中，要有一些平行于原坐标轴的线段才好按部就班地作图，所以先在原坐标系中过作出该点在x轴的垂足，那么对应地可以作出线段的直观图，进而作出整个梯形的直观图.解：步骤是：1如图8所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图9所示，画出对应的x轴，y轴，使xAy=45.2如图8所示，过D点作DEx轴，垂足为E.在x轴上取AB=AB=4 cm，AE=AE=cm 2.598 cm；过E作EDy轴，使ED=

9、，再过点D作DCx轴，且使DC=CD=2 cm. 图8 图9 图103连接AD、BC、CD，并擦去x轴与y轴及其他一些辅助线，如图10所示，那么四边形ABCD就是所求作的直观图.7 .一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1的等腰梯形，那么该平面图形的面积等于 A. B. C. D.分析：平面图形是上底长为1，下底长为.答案：D8. 假设一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，那么其直观图的面积是原来三角形面积的 A.倍 C.倍 D.倍分析：，那么直观图的面积是原来三角形面积的倍.答案：A四空间几何体的三视图，外表积与体积1. 柱体，椎体，台体体积公式：V柱体=Sh V

10、锥体= V台体=h (S,S分别为上、下底面积，h为台体的高).2. 球外表积，体积公式：S=4R2, V=例4 棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC图6，求它的外表积.图6活动：回忆几何体的外表积含义和求法.分析：由于四面体SABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的外表积等于其中任何一个面面积的4倍.解：先求SBC的面积，过点S作SDBC，交BC于点D.因为BC=a,SD=,所以SSBC=BCSD=.因此，四面体SABC的外表积S=4.点评：此题主要考查多面体的外表积的求法.变式训练9 .圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.假设圆柱的底面半径为r，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积

11、.解：设圆锥的母线长为l，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为r，即S圆柱侧=S，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线高长为，由题意得圆锥的高为，又圆锥的底面半径为r，根据勾股定理，圆锥的母线长l=，根据圆锥的侧面积公式得S圆锥侧=rl=r10 .圆柱的侧面展开图是边长为6和4的矩形，那么圆柱的全面积为_.分析：圆柱的侧面积S侧=64=242.以边长为6的边为轴时，4为圆柱底面圆周长，所以2r=4，底全=242+8.底全=242+18.答案：242+8或242+1811 .圆台的两个底面半径分别为2、4，截得这个圆台的圆锥的高为6，那么这个圆台的体积是_.分析：设这个圆台的高为h，画出圆台的

12、轴截面，可得，解得h=3，所以这个圆台的体积是(22+24+42)3=28.答案：2812 .图20是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点.现在沿GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉局部的体积是原正方体体积的几分之几?图20分析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以HA与AG、AF都垂直，即HA垂直于立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF为底面，H为顶点的一个三棱锥.解：设正方体的棱长为a，那么正方体的体积为a3. 三棱锥的底面是RtAGF，即FAG为90，G、F又分别为AD、AA1的中点，所以AF=AG=.所以AGF的面积为.又因AH是三棱锥的高，H又是AB的

13、中点，所以AH=.所以锯掉的局部的体积为.又因,所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的.13 .山东临沂高三期末考试，理13一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，那么圆锥的底面面积是_.分析：如图21，设圆锥底面半径为r，母线长为l，由题意得解得r=，所以圆锥的底面积为r2=.图21答案：14 .如图22，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水假设干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图23，这时水面恰好为中截面，那么图22中容器内水面的高度是_. 图22 图23分析：图22中容器内水面的高度为h，水的体积为V，那么V=SABCh.又图23中水组成了一个直四棱柱，其底面积为，高度为2a

14、，那么V=2a，h=.答案：15.全国高考卷，理5如图41所示，在多面体ABCDEF中，ABCD是边长为1的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EFAB，EF=2，那么该多面体的体积为 A. B. C. D. (1) (2)图4分析：如图4(2)所示，过B作BGEF于G，连接CG，那么CGEF，BF=1，BCG中，BG=，BC边上的高为，而SBCG=1=,VFBCG=.同理过A作AHEF于H，那么有VEAHD=，显然BCGADH为三棱柱，VBCGADH=1=，那么由图4(2)可知VADEBCF=VFBCG +VEAHD+VBCGADH=.答案：A点评：16广东将正三棱柱截去三个角如图1所示分

15、别是三边的中点得到几何体如图2，那么该几何体按图2所示方向的侧视图或称左视图为 EFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEABEBBECBED解：在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A点评：此题主要考查三视图中的左视图，要有一定的空间想象能力。17、江苏模拟由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如下列图，那么该几何体中正方体木块的个数是 俯视图左视图主视图解：以俯视图为主，因为主视图左边有两层，表示俯视图中左边最多有两个木块，再看左视图，可得木块数如右图所示，因此这个几何体的正方体木块数的个数为5个。点评：从三视图到确定几何体，应根据主视图和俯视图情况分析，再结合左视图的情况定出几

16、何体，最后便可得出这个立体体组合的小正方体个数。18.广东佛山一模，理4如图6所示，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，那么其体积是 图6A. B. C. D.分析：根据三视图可知该几何体是正四棱锥，且底面积是4，高为正视图等边三角形的高，所以体积为.答案：B19 山东烟台高三期末统考，理8如图11所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为 图11A.1 B. C. D.活动：让学生将三视图复原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征.分析：根据三视图，可知该几何体是三棱

17、锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PAAB，PAAC，ABAC.那么该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为V=.图12答案：D点评：此题主要考查几何体的三视图和体积.给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得.此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视.20.山东泰安高三期末统考，理8假设一个正三棱柱的三视图如图13所示，那么这个正三棱柱的外表积为 图13A. B. C. D.分析：该正三棱柱的直观图如图14所示，且底面等边三角形的高为，正三棱柱的高为2，那么底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的外表

18、积为342+24=24+.图14答案：C21.某个几何体的三视图如图24，根据图中标出的尺寸：cm,可得这个几何体的体积是 图24A. cm3 B 3 C.2 000 cm3 D.4 000 cm3分析：该几何体是四棱锥，并且长为20 cm的一条侧棱垂直于底面，所以四棱锥的高为20 cm,底面是边长为20 cm的正方形如俯视图，所以底面积是2020=400 cm2，所以该几何体的体积是40020=cm3.答案：B例5. 广东高考，12假设棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，那么该球的外表积为_.分析：画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以球的半径R=，那么该球的外表积为S=4R2

19、=27.答案：27点评：此题主要考查简单的组合体和球的外表积.球的外表积和体积都是半径R的函数.对于和球有关的问题，通常可以在轴截面中建立关系.画出轴截面是正确解题的关键.变式训练22.全国高考卷，理7各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，那么这个球的外表积是 A.16 B.20 C.24 分析：由V=Sh，得S=4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以，球的半径为R=，所以球的外表积为S=4R2=24.答案：C23.天津高考，理12一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，那么此球的外表积为_.分析

20、：长方体的对角线为，那么球的半径为,那么球的外表积为4()2=14.答案：1424.北京西城抽样，文11假设与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9，那么球的外表积是_.分析：画出球的轴截面，那么球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形，又由题意得截面圆的半径是3，那么球的半径为=5，所以球的外表积是452=100.答案：10025.海南高考，文11三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，AC=,那么球的体积与三棱锥体积之比是 分析：由题意得SO=r为三棱锥的高，ABC是等腰直角三角形，所以其面积是2rr=r2,所以三棱锥体积是，又

21、球的体积为，那么球的体积与三棱锥体积之比是4.答案：D点评：.五 平面1.对平面的理解: 无限延展性, 不可度量性2. 公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一. 除公理2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.其作用是：其一它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直

22、线；其二它可以判定点在直线上，点是两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，那么这点在交线上图1例6、如图1，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，那么AEF与GH互相平行BEF与GH异面CEF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上DEF与GH的交点M一定在直线AC上解：依题意，可得EHBD，FGBD，故EHFG，由公理2可知，E、F、G、H共面，因为EHBD，故EHFG，所以，EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M，因为点M在EF上，故点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交

23、点，而AC是这两个平面的交线，由公理3可知，点M一定在平面ACB与平面ACD的交线AC上。选D。点评：此题主要考查公理2和公理3的应用，证明共线问题。利用四个公理来证明共点、共线的问题是立体几何中的一个难点。26.在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C与面DBC1交于O点，AC、BD交于M，如图23.图23求证：C1、O、M三点共线.证明：C1、O、M平面BDC1,又C1、O、M平面A1ACC1,由公理3，C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上,C1、O、M三点共线.六.空间中直线与直线之间的位置关系空间的两条直线的三种位置关系：在定义中，两条异面直线所成角的范围是0，90求

24、异面直线夹角方法: 一般是平移异面直线中的一条与另一条相交构成三角形，再用三角函数的方法求解公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示为：ab,bcac.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.27在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断以下各对线段所在直线的位置关系：图101AB与CC1；2A1B1与DC；3A1C与D1B；4DC与BD1；5D1E与CF.解：1C平面ABCD，AB平面ABCD，又CAB，C1平面ABCD,AB与CC1异面.2A1B1AB，ABDC，A1B1DC.3A1D1B1C1，B1C1BC，A1

25、D1BC，那么A1、B、C、D1在同一平面内.A1C与D1B相交.4B平面ABCD，DC平面ABCD，又BDC，D1平面ABCD,DC与BD1异面.5如图10，CF与DA的延长线交于G，连接D1G，AFDC，F为AB中点，A为DG的中点.又AEDD1，GD1过AA1的中点E.直线D1E与CF相交.点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行或重合.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行如图中的EB与A1C，有时看上去像相交如图中的DC与D1B.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.例7 如图11，点A是

26、BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=AD，求异面直线AD和BC所成的角.图11解：设G是AC中点，连接EG、FG.因E、F分别是AB、CD中点，故EGBC且EG=，FGAD，且FG=.由异面直线所成角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC所成角，即EGF为所求.由BC=AD知EG=GF=，又EF=AD,由勾股定理可得EGF=90.点评：此题的平移点是AC中点G，按定义过G分别作出了两条异面直线的平行线，然后在EFG中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系.28.全国二10正四棱锥的侧棱长

27、与底面边长都相等，是的中点，那么所成的角的余弦值为 ABCD解：连接AC、BD交于O，连接OE，因OESD.所以AEO为异面直线SD与AE所成的角。设侧棱长与底面边长都等于2，那么在AEO中，OE1,AO，AE=，于是，应选C。点评：求异面直线所成的角，一般是平移异面直线中的一条与另一条相交构成三角形，再用三角函数的方法或正、余弦定理求解。七、直线、平面平行的判定及其性质1. 直线与平面平行的定义：如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.直线与平面的三种位置关系.：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.2. 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直

28、线与此平面平行.符号语言为：.3. 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 这个定理用符号语言可表示为：例8 设P、Q是边长为a的正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心,如图8,1证明PQ平面AA1B1B；2求线段PQ的长.图8(1)证法一：取AA1,A1B1的中点M,N,连接MN,NQ,MP,MPAD,MP=,NQA1D1,NQ=,MPND且MP=ND.四边形PQNM为平行四边形.PQMN.MN面AA1B1B,PQ面AA1B1B,PQ面AA1B1B.证法二：连接AD1,AB1,在AB1D1中,显然P,Q

29、分别是AD1,D1B1的中点,PQAB1,且PQ=.PQ面AA1B1B,AB1面AA1B1B,PQ面AA1B1B.(2)解:方法一:PQ=MN=.方法二：PQ=.例9.如图8,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面过EH分别交BC、CD于F、G.求证：EHFG.图8证明：连接EH.E、H分别是AB、AD的中点,EHBD.又BD面BCD，EH面BCD,EH面BCD.又EH、面BCD=FG,EHFG.点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，那么直线与交线平行.29.如图12，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB

30、=b，CDAB.图121求证：EFGH是矩形；2设DE=m,EB=n,求矩形EFGH的面积.(1)证明：CD平面EFGH，而平面EFGH平面BCD=EF,CDEF.同理HGCD,EFHG.同理HEGF，四边形EFGH为平行四边形.由CDEF，HEAB，HEF为CD和AB所成的角.又CDAB，HEEF.四边形EFGH为矩形.2解：由1可知在BCD中EFCD，DE=m，EB=n,.又CD=a,EF=.由HEAB,.又AB=b,HE=.又四边形EFGH为矩形,S矩形EFGH=HEEF=.点评：线面平行问题是平行问题的重点，有着广泛应用.30假设a、b，那么ab 假设a，b，那么ab 假设ab，b，那

31、么a 假设ab，b，那么a B.1 C.2 答案：A31A.如果直线l与平面内无数条直线成异面直线，那么lB.如果直线l与平面内无数条直线平行，那么lC.如果直线l与平面内无数条直线成异面直线，那么lD.如果一条直线与一个平面平行，那么该直线平行于这个平面内的所有直线E.如果一条直线上有无数个点不在平面内，那么这条直线与这个平面平行答案：C八、平面与平面平行的判定、性质1.平面的两种位置关系：如果两个平面没有公共点，那么两平面平行假设=,那么.如果两个平面有一条公共直线，那么两平面相交假设=AB,那么与相交.图12.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这

32、两个平面平行.假设a，b，ab=A,且a,b，那么.利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：()有两条直线平行于另一个平面;()这两条直线必须相交.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.ab. 应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面.例10 正方体ABCDA1B1C1D1，如图9,求证：平面AB1D1平面BDC1.图9活动：证明：ABCDA1B1C1D1为正方体，D1C1A1B1,D1C1=A1B1.又ABA1B1,AB=A1B1,D1C1AB,D1C1=AB.四边形ABC1D1为平行四边形.AD1BC1.又AD1平面AB1D

33、1，BC1平面AB1D1，BC1平面AB1D1.同理，BD平面AB1D1.又BDBC1=B，平面AB1D1平面BDC1.32.：a、b是异面直线，a平面,b平面，a，b.求证：.证明：如图13,在b上任取点P，显然Pa.于是a和点P确定平面，且与有公共点P.图13设=a，a，aa.a.这样内相交直线a和b都平行于，九.直线、平面垂直的判定及其性质1.直线与平面垂直的定义: 一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，这条直线和这个平面互相垂直.2. 直线和平面垂直的判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言表示为：l. 3. 直线和平面所成的角:

34、平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 直线与平面所成角的范围是090求直线和平面所成的角的方法：“一找二证三求，三步都必须要清楚地写出来。4. 直线和平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线平行例11 如图9,在正方体ABCDA1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.图9活动：解：连接BC1交B1C于点O，连接A1O.设正方体的棱长为a，因为A1B1B1C1,A1B1B1B,所以A1B1平面BCC1B1.所以A1B1BC1.又因为BC1B1C，所以BC1平面A1B1CD.所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，BA

35、1O为直线A1B与平面A1B1CD所成的角.在RtA1BO中,A1B=,BO=,所以BO=,BA1O=30.因此,直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30.例12 山东高考,文20如图11(1)，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，ABDC.(1)(1)求证：D1CAC1；2设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E平面A1BD，并说明理由.1证明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，连接C1D，如图11(2).(2)DC=DD1，四边形DCC1D1是正方形.DC1D1C.又ADDC，ADDD1，DCDD1=D,AD平面DCC1D1，D1C平面DC

36、C1D1.ADD1C.AD、DC1平面ADC1，且ADDC1=D,D1C平面ADC1.又AC1平面ADC1，D1CAC1.(2)解：连接AD1、AE，如图11(3).(3)图11设AD1A1D=M,BDAE=N,连接MN，平面AD1E平面A1BD=MN，要使D1E平面A1BD，需使MND1E，又M是AD1的中点，N是AE的中点.又易知ABNEDN，AB=DE,即E是DC的中点.综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E平面A1BD.33. 在正方体ABCDA1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心.求证：A1O平面GBD.图12证明：BDA1O.又A1O2=A1A2+AO2=a2

37、+()2=,OG2=OC2+CG2=()2+()2=,A1G2=A1C12+C1G2=(a)2+()2=,A1O2+OG2=A1G2.A1OOG.又BDOG=O,A1O平面GBD.34. 如图16，在侧棱垂直于底面三棱柱ABCA1B1C1中,AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,点D是AB的中点.图161求证：ACBC1;2求证：AC1平面CDB1；1证明：在ABC中,AC=3,AB=5,BC=4,ABC为直角三角形.ACCB.又CC1面ABC,AC面ABC,ACCC1.AC面BCC1B1.又BC1面BCC1B1,ACBC1.2证明：连接B1C交BC1于E，那么E为BC1的中点，连接DE,

38、那么在ABC1中,DEAC1.又DE面CDB1,那么AC1面B1CD.十.平面与平面垂直的判定1.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.2. 二面角的平面角的概念: 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 二面角0180二面角求法：“一找二证三求，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。3.两个平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么

39、这两个平面互相垂直. 两个平面垂直的判定定理符号表述为：. . 应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂直转化为证线线垂直.4. 两个平面垂直的性质定理: 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.AB. 例13. 如图7,O在平面内，AB是O的直径，PA，C为圆周上不同于A、B的任意一点.图7求证：平面PAC平面PBC.证明：设O所在平面为,由条件，PA,BC,PABC.C为圆周上不同于A、B的任意一点,AB是O的直径,BCAC.又PA与AC是PAC所在平面内的两条相交直线，BC平面PAC.BC平面PBC,平面PAC平面PBC

40、.35. 如图8，把等腰RtABC沿斜边AB旋转至ABD的位置，使CD=AC，图81求证：平面ABD平面ABC；2求二面角CBDA的余弦值.1证明：(证法一):由题设,知AD=CD=BD,作DO平面ABC，O为垂足，那么OA=OB=OC.O是ABC的外心，即AB的中点.OAB，即O平面ABD.OD平面ABD.平面ABD平面ABC.(证法二):取AB中点O，连接OD、OC,那么有ODAB，OCAB，即COD是二面角CABD的平面角.设AC=a，那么OC=OD=,又CD=AD=AC,CD=a.COD是直角三角形，即COD=90.二面角是直二面角，即平面ABD平面ABC.2解:取BD的中点E，连接C

41、E、OE、OC,BCD为正三角形，CEBD.又BOD为等腰直角三角形,OEBD.OEC为二面角CBDA的平面角.同1可证OC平面ABD.OCOE.COE为直角三角形.设BC=a，那么CE=，OE=，cosOEC=.点评：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线.36. 如图12，PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.1求证：MN平面PAD；2求证：MNCD；3假设二面角PDCA=45，求证：MN平面PDC. 图12 图13证明：如图13所示,1取PD的中点Q，连接AQ、NQ,那么QNDC,AMDC,QNAM.四边形AMNQ是平行四边形.MNAQ.又MN平面PAD,AQ平面PAD,MN平面PAD.2PA平面ABCD，PACD.又CDAD,PAAD=A,CD平面PAD.又AQ平面PAD,CDAQ.又AQMN,MNCD.3由2知，CD平面PAD,CDAD,CDPD.PDA是二面角PDCA的平面角.PDA=45.又PA平面ABCD,PAAD.AQPD.又MNA