行列式的展开定理与克拉默法则

1、引例引例,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 2223113233aaaaa 可见，三阶行列式可通过二阶行列式来表示可见，三阶行列式可通过二阶行列式来表示2123123133aaaaa 2122133132aaaaa 定义定义在在 n 阶行列式阶行列式 中将元素中将元素 所在的所在的ijadet()ija第第 i 行行与第与第 j 列划去，剩下列划去，剩下 个元素按原位置

2、个元素按原位置2(1)n 次序构成一个次序构成一个 阶的行列式，阶的行列式，1n 111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1jjniijijiniijijinnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaa称之为元素称之为元素 的的余子式余子式, ,记作记作 ijMija( 1)ijijijAM 令令称称 之为元素之为元素 的的代数余子式代数余子式ijaijA注：注： 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式行列式中每一个元素分别对应着一个余子式和代数余子式和代数余子式无关，只与该元素的在行列式中的位置有关无关，只与该元素的在行列式中的位置有关 元素元素 的余子式

3、和代数余子式与的余子式和代数余子式与 的大小的大小ijaija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 21222413313234414244,aaaMaaaaaa1 313131AM 13.M元素除元素除 外都为外都为 0，则，则ija.ijijDa A 1.1.引理引理若若n 阶行列式阶行列式 D = 的的 中第中第 i 行所有行所

4、有det()ija证：证： 先证的情形，即先证的情形，即11ijaa 11212221200nnnnnaaaaDaaa 由行列式的定义，有由行列式的定义，有1 2121 2()12( 1)nnnj jjjjnjj jjDaaa 222()112( 1)nnnjjjnjjjaaa 222112nnnnaaaaa 1111.a A 1111a M 结论成立结论成立. .一般情形：一般情形：111,111,111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,10000jjjniijijijinijiijijijinnn jnjn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa111,1

5、11,1111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,10000( 1)ijjjjniiijijijiniijijijinnn jnjn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 1111,11,11111,1,11,11,11,1,1,11,11,11,1,1,10000( 1)( 1)ijjjjnijijiijijinijiijijinnjnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 2( 1)ijijija M ( 1)ijijija M ( 1),ijijijijijaMa A 结论成立结论成立. .111,11,1121,11,11,11,1

6、,11,11,11,1,1,1( 1)jjnijiijijinijiijijinnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaa 2.2.定理定理行列式行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与其等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，对应的代数余子式乘积之和，即即1122jjjjnjnjDa Aa Aa A1122iiiiininDa Aa Aa A1nikikka A 1,2,in 1nkjkjka A 1,2,jn 或或行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则证：证： 11121121200 0000niiinnnnnaaaaaaDaaa 1122.iiii

7、inina Aa Aa A11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa ni, 2 , 1 例例1. .计算行列式计算行列式 311 2513420111533D 解：解： 1343211130153ccccD 511 0005 11 51111 1155 0 2151162055 0rr 1 362( 1)55 40. 例例2. .计算计算n n阶行列式阶行列式 00 000 0.0 0 00 00na ba bDa bba 解：解： 1(1)(1)0 000 000 00 0( 1)0 00 00

8、0 000 0nnnna bbaa bDaba bbaa b 1111( 1)( 1).nnnnnna ab bab 例例3. .证明范德蒙行列式证明范德蒙行列式 （熟记）（熟记）P181232222123111111231111()nnnijj i nnnnnnxxxxxxxxDxxxxxx 范德蒙行列式范德蒙行列式 中至少两个相等中至少两个相等120,nnDx xx注：注：范德蒙行列式另一形式：范德蒙行列式另一形式：211112121221333211111nnnnnnnxxxxxxxxxxxx 3.3.推论推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的行列式任一行（列）的元素与另一行（列）

9、的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即11220,ijijninja Aa Aa Aij11220,ijijinjna Aa Aa Aij证证行展开，有行展开，有按第按第把行列式把行列式jaDij)det( 11111111,niinjjjnjnjjnnnnaaaaa Aa Aaaaa可得可得换成换成把把), 1(nkaaikjk 11111111,niinijinjniinnnnaaaaa Aa Aaaaa行行第第 j行行第第 i相同相同11220,.ijijninja Aa Aa Aij11220.ijijinjna Aa Aa A 当当 时时, ,

10、ij 同理可证同理可证, , 10nikjkkDija Aij 10nkikjkDija Aij 综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：例例4. .设设 求求 35 211105,1 3132413D 解：解：11121314AAAA111111051 3132413 4. 和和11213141.MMMM11121314AAAA11213141MMMM11213141AAAA15211 10513131413 0. 例例5. .计算计算2n阶行列式阶行列式 22nnababDbaba其中未标明的元素都是其中未标明的元素都是0.解：解：将将D D

11、n n按第一行展开得按第一行展开得 21221210000000000000( 1)00000000000000000000nnnnababaabDabbabababaab 上式第一个行列式按最后一行展开，第上式第一个行列式按最后一行展开，第二个行列式按第一列展开，可得到二个行列式按第一列展开，可得到 2222(1)(),nnDabD以此作递推公式，即得以此作递推公式，即得2222122(2)2()()nnnDabDabD221()nababba22() .nab自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的个数自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的个数很多的线性方程组很多的线性方程组如如n元一次

12、线性方程组元一次线性方程组11112211211222221122,(1).nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxaxb 它的解也有类似二元、三元一次线性方程组的结论它的解也有类似二元、三元一次线性方程组的结论.三、克拉默法则三、克拉默法则（Cramer，瑞士，瑞士，17041752）2 2）n阶行列式的性质与计算？阶行列式的性质与计算？1 1）怎样定义）怎样定义n阶行列式？阶行列式？有解的情况下，如何表示此解？有解的情况下，如何表示此解？3 3）方程组）方程组( () )在什么情况下有解？在什么情况下有解？定理定理 如果线性方程组如果线性方程组（1）的系数行列式

13、的系数行列式 1112121222120,nnnnnnaaaaaaDaaa 则方程组则方程组()有唯一解有唯一解:1212,.nnDDDxxxDDD（2）Cramer法则法则其中其中是把行列式是把行列式中第中第 列列(1,2, )jDjn Dj所得的一个所得的一个 n 级行列式，即级行列式，即的元素用方程组的元素用方程组（1）的常数项代换）的常数项代换 12,nb bb111,111,11212,122,121,1,1jjnjjnjnn jnn jnnaabaaaabaaDaabaa 1122jjnnjb Ab Ab A1.nssjsb A 注解注解1 1：克拉默克拉默( (Cramer) )

14、法则中包含着两个前提和三个结论：法则中包含着两个前提和三个结论：前提：前提：（1 1）线性方程组（）线性方程组（1 1）中方程的个数等于未知量的个数；）中方程的个数等于未知量的个数；（2 2）线性方程组（）线性方程组（1 1）的系数矩阵的行列式不等于零）的系数矩阵的行列式不等于零. .结论：结论：（1）线性方程组（）线性方程组（1）有解；）有解；（2）线性方程组（）线性方程组（1）的解是唯一的；）的解是唯一的；（3）线性方程组（）线性方程组（1）的解由公式（）的解由公式（2）给出）给出.例例 6 用克拉默法则解方程组用克拉默法则解方程组 . 0674, 522, 963, 8524321432

15、4214321xxxxxxxxxxxxxx解：解：6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 方程组的系数行列式方程组的系数行列式12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 60412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx程的个数与未知量的个数不等时程的个数与未知量的个数不等时, , 就不能用克拉就不能用克拉通过上述例子通过上述例子, , 我们看到用克拉默法则求解我们看到用克拉默法则求解线性方程组时线性方程组时, ,要计算要计算 n+1 个个 n 阶行列式阶行列式, ,这个这个计算量是相当大的计算量是相当大的. . 所以所以,