工程力学-第9章圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计

1、目录目录9.1 9.1 纯剪切纯剪切9.2 9.2 圆轴扭转时的切应力分析圆轴扭转时的切应力分析9.3 9.3 圆轴扭转时的圆轴扭转时的强度与刚度设计强度与刚度设计9.1 9.1 纯剪切纯剪切一、薄壁圆筒扭转时的切应力一、薄壁圆筒扭转时的切应力 将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆周线划分；周线划分；两端施以大小相等方向相反两端施以大小相等方向相反一对力偶矩一对力偶矩。 圆周线大小形状不变，各圆周线间距圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变；离不变；纵向平行线仍然保持为直线且纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个角度。相互平行，只是倾斜了一个角度。观察到

2、：观察到：结果说明横截面上没有正应力结果说明横截面上没有正应力9.1 9.1 纯剪切纯剪切 采用截面法将圆筒截开，横截面采用截面法将圆筒截开，横截面上分布有与截面平行的切应力。由于上分布有与截面平行的切应力。由于壁很薄，可以假设切应力沿壁厚均匀壁很薄，可以假设切应力沿壁厚均匀分布。分布。2eMrr 由平衡方程由平衡方程 ，得，得0zM 22eMr二、切应力互等定理二、切应力互等定理9.1 9.1 纯剪切纯剪切 在相互垂直在相互垂直的两个平面上，的两个平面上，切应力必然成对切应力必然成对存在，且数值相存在，且数值相等；两者都垂直等；两者都垂直于两个平面的交于两个平面的交线，方向则共同线，方向则共

3、同指向或共同背离指向或共同背离这一交线。这一交线。纯剪切纯剪切 各个截面上只有切应各个截面上只有切应力没有正应力的情况称为力没有正应力的情况称为纯剪切纯剪切切应力互等定理：切应力互等定理：9.1 9.1 纯剪切纯剪切三、切应变三、切应变 剪切胡克定律剪切胡克定律 在切应力的作用下，在切应力的作用下，单元体的直角将发生微小单元体的直角将发生微小的改变，这个改变量的改变，这个改变量 称称为切应变。为切应变。 当切应力不超过材料当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应的剪切比例极限时，切应变变 与切应力与切应力成正比，成正比，这个关系称为这个关系称为剪切胡克定剪切胡克定律律。 GG 剪切弹性模量剪切

4、弹性模量(GN/m2) 各向同性材料，各向同性材料，三个弹性常数之间的三个弹性常数之间的关系：关系：2(1)EG9.2 9.2 圆轴扭转时的切应力分析圆轴扭转时的切应力分析1.1.变形几何关系变形几何关系观察变形：观察变形： 圆周线长度形状不变，各圆周线间圆周线长度形状不变，各圆周线间距离不变，只是绕轴线转了一个微小角距离不变，只是绕轴线转了一个微小角度；度；纵向平行线仍然保持为直线且相互纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个平行，只是倾斜了一个微小微小角度。角度。圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转的平面假设： 圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形

5、后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变。且相邻两截面间的距离不变。M Me ex xppqqM Me ex xppqqM Me eM Me e9.2 9.2 圆轴扭转时的圆轴扭转时的切切应力应力分析分析_扭转角（扭转角（radrad）_ddxdx微段两截面的微段两截面的相对扭转角相对扭转角边缘上边缘上a a点的错动距离：点的错动距离：aaRddxdRdx边缘上边缘上a a点的切应变：点的切应变： 发生在垂直于半径的平面内。发生在垂直于半径的平面内。MeppqqMexdOdcabRdxabppqq9.2 9.2 圆

6、轴扭转时的切应力分析圆轴扭转时的切应力分析dxd dR距圆心为距圆心为的圆周的圆周上上e e点的错动距离：点的错动距离：ccddx 距圆心为距圆心为处的处的切应变：切应变：ddx也发生在垂直于也发生在垂直于半径的平面内。半径的平面内。ddx扭转角扭转角 沿沿x x轴的变化率。轴的变化率。dOdcabRdxabppqqee9.2 9.2 圆轴扭转时的切应力分析圆轴扭转时的切应力分析2.2.物理关系物理关系根据剪切胡克定律根据剪切胡克定律GdGGdx距圆心为距圆心为 处的处的切应力：切应力：垂直于半径垂直于半径横截面上任意点的切应力横截面上任意点的切应力 与该点到圆心的距离与该点到圆心的距离 成正

7、比。成正比。9.2 9.2 圆轴扭转时的切应力分析圆轴扭转时的切应力分析3.3.静力关系静力关系ATdA2AATdAdGdAdxdAIAp2横截面对形心的极惯性矩横截面对形心的极惯性矩pIdGdxpdTGIdxpTI9.2 9.2 圆轴扭转时的切应力分析圆轴扭转时的切应力分析公式适用于：公式适用于：1 1）圆杆）圆杆2 2）maxp令令抗扭截面系数抗扭截面系数ptIWRmaxtTW 在圆截面边缘上，在圆截面边缘上，有最大切应力有最大切应力 横截面上某点的切应力的方向与扭横截面上某点的切应力的方向与扭矩方向相同，并垂直于半径。切应力的矩方向相同，并垂直于半径。切应力的大小与其和圆心的距离成正比。

8、大小与其和圆心的距离成正比。实心轴实心轴9.2 9.2 圆轴扭转时的切应力分析圆轴扭转时的切应力分析与与 的计算的计算pItW/tpWIR3116DpITmaxtWT空心轴空心轴令令则则9.2 9.2 圆轴扭转时的切应力分析圆轴扭转时的切应力分析/(/2)tpWID9.2 9.2 圆轴扭转时的切应力分析圆轴扭转时的切应力分析实心轴与空心轴实心轴与空心轴 与与 对比对比pItW/tpWIR3116D/(/2)tpWID9.2 9.2 圆轴扭转时的切应力分析圆轴扭转时的切应力分析扭转强度条件：扭转强度条件： tmaxmaxWTmaxmaxmax()tTWmaxmaxtTW1. 1. 等截面圆轴：等

9、截面圆轴：2. 2. 阶梯形圆轴：阶梯形圆轴：9.2 9.2 圆轴扭转时的切应力分析圆轴扭转时的切应力分析强度条件的应用强度条件的应用 maxmaxtTW（1）校核强度）校核强度 tmaxmaxWT（2）设计截面）设计截面 maxtTW （3）确定载荷）确定载荷 tmaxWT9.2 9.2 圆轴扭转时的切应力分析圆轴扭转时的切应力分析例例3.23.2 由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径D D=89=89mmmm、壁厚壁厚 =2.5=2.5mmmm，材料为材料为2020号钢，使用号钢，使用时的时的最大扭矩最大扭矩T=T=19301930N Nm m, , =70=7

10、0MPaMPa. .校核此轴校核此轴的强度。的强度。34340.9450.2(1)0.28.9 (10.945 )29tdDWD 6max6193066.7 10 Pa29 1066.7MPa 70MPatTW9.2 9.2 圆轴扭转时的切应力分析圆轴扭转时的切应力分析例例3.33.3 如把上例中的传动轴改为实心轴，要求如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。并比较实心轴和空心轴的重量。并比较实心轴和空心轴的重量。解：解：当实心轴和空心轴的最大应力同当实心轴和空心轴的最大应力同 为为 时，两轴的许可扭矩分别为时，两轴的许

11、可扭矩分别为311 16tTWD34342(1) (90) (1 0.944 ) 1616TD若两轴强度相等，则若两轴强度相等，则T T1 1=T=T2 2 ，于是有于是有 3341(90) (1 0.944 )D 153.10.0531Dmmm9.2 9.2 圆轴扭转时的切应力分析圆轴扭转时的切应力分析224211(0.0531)22.2 1044DAm223 23 2422()(90 10 )(85 10 ) 6.87 1044ADdm 在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比。积之比。42416.87 10

12、0.3122.2 10AA可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的3131% % 。实心轴和空心轴横截面面积为实心轴和空心轴横截面面积为已知：已知：P P7.5kW, 7.5kW, n n=100r/min,=100r/min,最大切应力最大切应力不不得超过得超过40MPa,40MPa,空心圆轴的内外直径之比空心圆轴的内外直径之比 = = 0.50.5。二轴长度相同。二轴长度相同。求求: : 实心轴的直径实心轴的直径d d1 1和空心轴的外直径和空心轴的外直径D D2 2；确；确定二轴的重量之比。定二轴的重量之比。解：解： 首先由轴所传递

13、的功率计算作用在轴上的扭矩首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴实心轴31616 716 20 045m=45mm40 10.dP181,P181,例题例题9-19-17 595499549716 2N m100.xPMTnmax13111640MPaPTTWd9.2 9.2 圆轴扭转时的切应力分析圆轴扭转时的切应力分析空心轴空心轴d20.5D2=23 mm324616 716 20 046m=46mm 1-40 10.Dmax234221640MPa1PTTWD9.2 9.2 圆轴扭转时的切应力分析圆轴扭转时的切应力分析确定实心轴与空心轴的重量之比确定实心轴与空心轴的重量之比长度相同

14、的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：28. 15 . 01110461045122332222121DdAA 实心轴实心轴d d1 1=45 mm=45 mm空心轴空心轴D D2 246 mm46 mmd d2 223 mm23 mmP P1 1=14kW, =14kW, P P2 2= = P P3 3= = P P1 1/2=7 kW/2=7 kWn n1 1= =n n2 2= 120r/min= 120r/min360r/minr/min12361203113zznn解：解：1 1、计算各轴的功率与转速、计算各轴的功率与转速2

15、 2、计算各轴的扭矩、计算各轴的扭矩p181p181例题例题9-29-239.2 9.2 圆轴扭转时的切应力分析圆轴扭转时的切应力分析求求: :各各轴轴横截面上的最大切应力；横截面上的最大切应力； 并校核各轴强度。并校核各轴强度。已知：已知：输入功率输入功率P P1 114kW,14kW,P P2 2= = P P3 3= =P P1 1/2/2，n n1 1= =n n2 2=120r/min,=120r/min, z z1 1=36,z=36,z3 3=12;=12;d d1 1=70mm, =70mm, d d 2 2=50mm, =50mm, d d3 3=35mm.=35mm. =3

16、0=30MPaMPa。. .T T1 1=M=M1 1=1114 N m=1114 N mT T2 2=M=M2 2=557 N m=557 N mT T3 3=M=M3 3=185.7 N m=185.7 N m9549xPMTn 1max3-9116 1114EPa16.54MPa7010tTW 2max3-9216 557HPa22.69MPa 5010tTW 3max3-9316 185.7CPa21.98MPa 3510tTW3 3、计算各轴的横截面上的、计算各轴的横截面上的 最大切应力；最大切应力；校核各轴校核各轴 强度强度39.2 9.2 圆轴扭转时的切应力分析圆轴扭转时的切应力

17、分析相对扭转角相对扭转角抗扭刚度抗扭刚度9.3 9.3 圆轴扭转时的圆轴扭转时的强度与刚度设计强度与刚度设计niPiiiGIlT1单位长度扭转角单位长度扭转角扭转刚度条件扭转刚度条件max许用单位扭转角许用单位扭转角pdTdxGIrad/mrad/m180pTGI/ /m m9.3 9.3 圆轴扭转时的圆轴扭转时的强度与刚度设计强度与刚度设计扭转强度条件扭转强度条件扭转刚度条件扭转刚度条件已知已知T T 、D D 和和 ，校核强度校核强度已知已知T T 和和 ，设计截面设计截面已知已知D D 和和 ，确定许可载荷确定许可载荷已知已知T T 、D D 和和 / / ，校核刚度校核刚度已知已知T

18、T 和和 / / ，设计截面设计截面已知已知D D 和和 / / ，确定许可载荷确定许可载荷max tTW3116tWDmaxpTGI413 2pID9.3 9.3 圆轴扭转时的圆轴扭转时的强度与刚度设计强度与刚度设计例题例题3.63.6maxTWt 某传动轴所承受的扭矩某传动轴所承受的扭矩T=200NmT=200Nm，轴的直径轴的直径d=40mmd=40mm，材料的材料的 =40MPa=40MPa，剪切弹性模量剪切弹性模量G=80GPaG=80GPa，许可单位长度转角许可单位长度转角 / /=1 =1 / /m m。试校核轴的强度和刚试校核轴的强度和刚度。度。9.3 9.3 圆轴扭转时的圆轴

19、扭转时的强度与刚度设计强度与刚度设计 传动轴的转速为传动轴的转速为n=500r/min，主动轮，主动轮A A 输入功率输入功率P1=400kW，从动轮，从动轮C C，B B 分别输出功率分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知。已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。 (1)(1)试确定试确定AC AC 段的直径段的直径d d1 1 和和BC BC 段的直径段的直径d d2 2； (2)(2)若若AC AC 和和BC BC 两段选同一直径，试确定直径两段选同一直径，试确定直径d d； (3)(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理主动轮和从动轮应如何安排才比较合理? ?1eMA

20、BC2eM3eM1d2d1119549ePTMnmN764050040095492312404580N m400eTMT解：解：1.1.外力偶矩外力偶矩 例题例题3.73.79.3 9.3 圆轴扭转时的圆轴扭转时的强度与刚度设计强度与刚度设计 2.2.扭矩图扭矩图 mm2 .82m102 .821070764016 1633631Td按刚度条件按刚度条件mm4 .86m104 .8611080180764032180323429421GTd3.3.直径直径d d1 1的选取的选取 按强度条件按强度条件mN7640mN4580 mm4 .861d1eMABC2eM3eM1d2d 31max16dT1803241maxdGT9.3 9.3 圆轴扭转时的圆轴扭转时的强度与刚度设计强度与刚度设计 按刚度条件按刚度条件4.4.直径直径d d2 2的选取的选取 按强度条件按强度条件1eMABC2eM3eM1d2dmN7640m