2021届九年级《新题速递??数学》（苏科版）-考点03 锐角三角函数压轴题汇总（解析版）

1、考点03 锐角三角函数压轴题汇总一、单选题（共9小题） 1.（2020建湖县二模）在如图所示88的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则AED的正切值是（）A2BCD【解答】解：如图，取格点K，连接AK，BK观察图象可知AKBK，BK2AK，BKCD，AEDABK，tanAEDtanABK，故选：B【知识点】解直角三角形 2.（2020浙江自主招生）如图，在ABC中，ABC90，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AEEF4，FC9，则cosACB的值为（）ABCD【解答】解：如图，延长AD到M，使得DMDF，连接BMBDDC，BDMCD

2、F，DMDF，BDMCDF（SAS），CFBM9，MCFD，CEBM，AFEM，EAEF，EAFEFA，BAMM，ABBM9，AE4，BE5，EBC90，BC12，AC15，cosACB，故选：D【知识点】解直角三角形 3.（2020河北模拟）已知，均为锐角，若tan，tan，则+（）A45B30C60D90【解答】解：如图ABC，过点A作ADBC，设：BD3a，CD2a，AD6a，则tantanABD，同理tan，则AB，AC，过点B作BEAC于点E，SABCADBCACBE，即5a6aBE，解得：BE，sin（+）sinBAC，则+45，故选：A【知识点】勾股定理的逆定理、解直角三角形 4

3、.（2020孟津县期末）数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中4位同学分别测得四组数据：AC，ACB；EF，DE，AD；CD，ACB，ADB；F，ADB，FB其中能根据所测数据求得A，B两树距离的有（）A1组B2组C3组D4组【解答】解：此题比较综合，要多方面考虑，第组中，因为知道ACB和AC的长，所以可利用ACB的正切来求AB的长；第组中可利用ACB和ADB的正切求出AB；第组中设ACx，ADCD+x，AB，AB；因为已知CD，ACB，ADB，可求出x，然

4、后得出AB故选：C【知识点】相似三角形的应用 5.（2020渝中区校级月考）如图，老王在江边垂钓，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为3.9米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离AE为1米，此时沿钓竿看向钓竿顶端C处，仰角CEF为37钓竿两端点的直线距离EC为4米，钓线与江面的夹角CDB52，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（）米（参考数据：sin37，tan37，sin520.79，tan521.28，结果精确到0.1米）A4.6B3.4C2.3D3.6【解答】解：作CGDB交DB延长线于G，直线EF交CG于H，延长EA交DB延长线于M，如图所示：则GHEM，GMEH，斜坡AB的坡

5、度为1：2.4，tanABM，sinABM，AMAB3.91.5（米）BMAM3.6米，GHEMAE+AM1+1.52.5（米），CE4，sinCEFsin37，tanCEFtan37，CHCE42.4，EHCH3.2（米），CGCH+GH2.4+2.54.9（米），GMEH3.2（米）BGBMGM3.63.20.4（米）tanBDCtan521.28（米），DG3.82（米），DBDGBG3.820.43.4（米）即浮漂D与河堤下端B之间的距离约为3.4米；故选：B【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题、解直角三角形的应用-坡度坡角问题 6.（2020吴兴区一模）李白笔下“孤帆一片日边来

6、”描述了在喷薄而出的红日映衬下，远远望见一叶帆船驶来的壮美河山之境聪明的小芬同学利用几何图形，构造出了此意境！如图，半径为5的O在线段AB上方，且圆心O在线段AB的中垂线上，到AB的距离为，AB20，线段PQ在边AB上（APAQ），PQ6，以PQ中点C为顶点向上作RtCDE，其中D90，CD3，sinDCEsinDCQ，设APm，当边DE与O有交点时，m的取值范围是（）ABCD【解答】解：如图1所示，当DE在圆O左侧有交点时，DE与圆O相切，延长ED至AB上于点F，记切点为点G，连接OG并延长至AB上于点H，过点O作OIAB，sinDCEsinDCQ，DCEDCQ，CDE90，ECF为等腰三角

7、形，CD3，CECF5，PQ6，点C为PQ的中点，PC3，PF8，DE与圆O相切，切点为点G，OGDE，即OGCD，sinOHIsinDCE，圆心O在线段AB的中垂线上，AIBI10，OI，HIOItanOHI，OH，GH，在RtFGH中，FHGFCD，FHHG，FIFHHI，APmAFPFAI+FIPF10+（）8；如图2所示，当DE在圆O右侧有交点时，点E在圆O上，延长ED交AB的延长线于点F，过点O作OIAB，过点E作EJAB，EKOI，sinDCEsinDCQ，CD3，DEDF4，CECF5，EF8，CEF的面积EFCDCFEJ，即835EJ，EJKI，CJ，OKOIKI3，在RtOK

8、E中，EKJI4，CI，APmACCPAI+CICP10+3，综上所述即可知m的取值范围是m，故选：A【知识点】直线与圆的位置关系、解直角三角形的应用、线段垂直平分线的性质 7.（2020平阳县一模）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣英国佩里加（HPerigal，18011898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）若AD，tanAON，则正方形MNUV的周长为（）AB18C16D【解答】解：延长QN交AE于H由题意AOADDE，AE2，在RtAOH中，ta

9、nAOH，AH，OH，DHAHAD，NHDHAO，DN1，HN，ONOHHN5，OMDN1，MN514，正方形MNUV的周长为16，故选：C【知识点】解直角三角形的应用、勾股定理的证明 8.（2020沙坪坝区校级月考）江津四面山是国家5A级风景区，里面有一个景点被誉为亚洲第一岩土地神岩，土地神岩壁画高度从石岩F处开始一直竖直到山顶E处，为了测量土地神岩上壁画的高度，小明从山脚A处，沿坡度i0.75的斜坡上行65米到达C处，在C处测得山顶E处仰角为26.5，再往正前方水平走15米到达D处，在D处测得壁画底端F处的俯角为42，壁画底端F处距离山脚B处的距离是12米，A、B、C、D、E、F在同一平面

10、内，A、B在同一水平线上，EBAB，根据小明的测量数据，则壁画的高度EF为（）米（精确到0.1米，参考数据：sin26.50.45，cos26.50.9，tan26.50.5，sin420.67，cos420.74，tan420.9）A49.5B68.7C69.7D70.2【解答】解：如图，作CNAB于N，延长CD交BE于M在RtACN中，AC65m，CN：AN0.75，CN39m，AN52m，四边形CNBM是矩形，CNBM39m，BF12m，FM27m，在RtDMF中，tan42，DM30m，在RtCEM中，CMCD+DM45m，EMCMtan26.522.5m，EFEM+FM22.5+27

11、49.5m，故选：A【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题、解直角三角形的应用-坡度坡角问题 9.（2020沙坪坝区校级一模）天是放风筝的好时节，小明为了让风筝顺利起飞，特地将风筝放在坡度为1：2.4的山坡上，并站在视线刚好与风筝起飞点A齐平的B处，起风后小明开始往下跑26米至坡底C处，并继续沿平地向前跑16米到达D处后站在原地开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平处测得风筝的仰角是37，此时风筝恰好升高到起飞时的正上方E处已知小明视线距地面高度为1.5米，图中风筝E、A、B、C、D五点在同一平面，则风筝上升的垂直距离AE约为（）米（参考数据：sin370.60，cos370.80，

12、tan370.75）A34.2B32.7C31.2D22.7【解答】解：设小明在B处视线的点为N，延长NB交CD于点S，过点G作GM平行于地面交AE于点M，坡度为1：2.4，BC26，则BC10，SC24，BS10，ANSC，即：，解得：AN3.6RS，ARNSBS+NB10+1.511.5，则AM10，RDRS+SC+CD3.6+24+1643.6MG，EMMGtan3732.7，AEEMAM32.71022.7，故选：D【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题、解直角三角形的应用-坡度坡角问题 二、填空题（共9小题） 10.（2020江岸区校级月考）如图，点D在钝角ABC的边BC上连接A

13、D，B45，CADCDA，CA：CB5：7，则CAD的余弦值为【解答】解：如图作AHBC于H，设ACCD5k，BC7k，B45，AHB90，AHBH，设AHBHx，在RtACH中，AH2+HC2AC2，x2+（7kx）2（5k）2，解得x3k或4k（舍弃与钝角三角形矛盾），当x3k时，BHAH3k，DHk，ADk，cosCADcosADH故答案为【知识点】解直角三角形 11.（2020武汉模拟）在RtABC中，ACB90，点D是AC边上一点，连BD，过C点作BD的垂线与过A点作AC的垂线交于点E当tanABD，cosE，则的值是【解答】解：设直线AB交CE于点H，BD交CE于点N，设E，则co

14、sEcos，则sin，tan4，tanABD，则tanBHN2，AEAC，BCAC，AEBC，EECB，NDC+NCD90，NCB+NCD90，NCBNDC，在AHE中，设AEa，则AGAEsinasin，GEacos，则GHAGasin，则EHGE+GHacos+asin，在RtAEC中，EC，则HCECEH（acos+asin）；在BHC中，tanBHN2，tan4，HC（acos+asin），同理可得：BC，在RtBCD中，CDa（），ADACCD4a，则，故答案为【知识点】解直角三角形 12.（2020香坊区校级月考）如图，在ABC中，AHBC于点H，在AH上取一点K，连接CK，使得H

15、KC+HAC90，在CK上取一点N，使得CNAC，连接BN，交AH于点M，若tanABC2，BN15，则CH的长为【解答】解：如图，过点N作NJBC于J设HJxAHBC，AHBAHC90，tanABH2，可以假设BHk，2k，HKC+HAC90，HKC+KCH90，HACKCH，NJBC，AHCCJN90，AHCCJN，2，CJk，CHx+k，JN（x+k），tanNBJ，设NJy，BJ2y，BN15，5y2152，y3，NJ3，CH2NJ6【知识点】解直角三角形、直角三角形斜边上的中线 13.（2020德阳）如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行在B点测得

16、小岛A在北偏东60方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30方向上如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行海里就开始有触礁的危险【解答】解：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以10.5海里的圆内或圆上即可，如图，过A作ACBD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，CAD30，CAB60，BAD603030，ABD906030，ABDBAD，BDAD12海里，CAD30，ACD90，CDAD6海里，由勾股定理得：AC6（海里），如图，设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点D时有触礁的危险，在直角ADC中，由勾股定理得：（6x）2+（6）210.52解得

17、x4.5渔船还需航行4.5海里就开始有触礁的危险故答案是：4.5【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题 14.（2020朝阳区校级二模）小致为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡行走20m，达到坡顶D处已知斜坡的坡角为15，小致的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45，则楼房AB的高度为m（计算结果精确到1m，参考数据：sin15，cos15，tan15）【解答】解：作DHAB于H，DBC15，BD20m，BCBDcosDBC2019.2（m），CDBDsinDBC205（m），由题意得，四边形ECBF和四边形CDHB是矩形，EFBC19.2m，BHCD5m，AEF45

18、，AFEF19.2m，ABAF+FH+HB19.2+1.6+525.826（m），答：楼房AB的高度约为26m故答案是：26【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题、解直角三角形的应用-仰角俯角问题 15.（2020深圳）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，ABCDAC90，tanACB，则【解答】解：如图，过点D作DMBC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，DMBC，ABCANM，OBCODM，tanACB，又ABCDAC90，BAC+NAD90，BAC+BCA90，NADBCA，ABCDAN，设ABa，DNb，则BC2a，NA2b，MN4b，由得，DMa，4b+ba

19、，即，ba，故答案为：【知识点】解直角三角形、角平分线的性质 16.（2020船营区校级月考）如图，在边长为1的正方形网格中，端点在格点上的两条线段相交形成1，则tan1【解答】解：如图，设小正方形ABCD的边长为a，连接AC，BD交于点O，设EC交BD于JBDa，CDEB，JDBDa，ODOBOCOAa，OJODJDaaa，ACBD，COJ90，tan12，故答案为2【知识点】解直角三角形 17.（2020浙江自主招生）已知，ABC中，ACa，AB与BC所在直线成45角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为（即cosC），则AC边上的高线长是【解答】解：当B是锐角时，如图1中，作AHBC于

20、H，BDAC于D在RtACH中，cosCCHa，AHa，ABH45，AHB90，AHBHa，BCa，SABCBDACBCAH，BDa当BC是钝角时，如图2中，作AHBC于H，BDAC交AC的延长线于D同法可得：CHa，AHa，BCCHBHa，BDa，综上所述，AC边上的高为a或a故答案为a或a【知识点】解直角三角形 18.（2020浙江自主招生）在一次美术课堂的剪纸活动中，小刚把一张菱形ABCD的纸片沿着各边的中点，剪取四边形EFGH，纸片EFGH分别沿MN、PQ折叠使得点E落在E，点G落在G处，且直线NE与直线PG重合，满足PNEF，若阴影部分的周长之和等于16，SAEH+SFCG16，求s

21、inDHG的值是【解答】解：由题意可以设ANPCx，ENHNPFPGy则有，解得，在RtANH中，AN2，HN4，AH2，HGAC，DHGHAN，sinDHGsinHAN，故答案为【知识点】解直角三角形的应用、翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、平行线之间的距离 三、解答题（共9小题） 19.（2020香坊区校级月考）如图，已知楼AB30m，从楼顶A处测得旗杆C的俯角为60，从离地5m的窗户E测得旗杆顶C的仰角为45，求旗杆CD的（结果精确到0.1m，1.73，1.41）【解答】解：过点C作CGAE，垂足为点G，由题意得CEF45CEG，ACG60，设CGx米，在RtACG中，AGCGtanAC

22、Gxm，在RtECG中，EGCGcotCEGxm，AG+EGAE，x+x305，解得：x，CFEGm，CD+5+514.1（m）答：该旗杆CD的高约为14.1米【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 20.（2020盱眙县校级模拟）我市里运河有一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由（参考数据：1.414，1.732）【解答】解：该文化墙PM不需要拆除，理由：设新坡

23、面坡角为，新坡面的坡度为1：，tan，30作CDAB于点D，则CD6米，新坡面的坡度为1：，tanCAD，解得，AD6，坡面BC的坡度为1：1，CD6米，BD6米，ABADBD（66）米，又PB8米，PAPBAB8（66）1461461.7323.6米3米，该文化墙PM不需要拆除【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 21.（2020眉山）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60，求小山BC的高度【解答】解：设BC为x米，则AC（20+x）米，由条件知：D

24、BCAEC60，DE80米在直角DBC中，tan60，则DCx米CE（x80）米在直角ACE中，tan60解得x10+40答：小山BC的高度为（10+40）米【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 22.（2020连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在水轮赋中写道：“水能利物，轮乃曲成”如图，半径为3m的筒车O按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间（1）经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？（3）若

25、接水槽MN所在直线是O的切线，且与直线AB交于点M，MO8m求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上（参考数据：cos43sin47，sin16cos74，sin22cos68）【解答】解：（1）如图1中，连接OA由题意，筒车每秒旋转360605，在RtACO中，cosAOCAOC43，27.4（秒）答：经过27.4秒时间，盛水筒P首次到达最高点（2）如图2中，盛水筒P浮出水面3.4秒后，此时AOP3.4517，POCAOC+AOP43+1760，过点P作PDOC于D，在RtPOD中，ODOPcos6031.5（m），2.21.50.7（m），答：浮出水面3.4秒后，盛水筒P距

26、离水面0.7m（3）如图3中，点P在O上，且MN与O相切，当点P在MN上时，此时点P是切点，连接OP，则OPMN，在RtOPM中，cosPOM，POM68，在RtCOM中，cosCOM，COM74，POH180POMCOM180687438，需要的时间为7.6（秒），答：盛水筒P从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线MN上【知识点】切线的性质、解直角三角形的应用 23.（2020丹东一模）如图，要测量一垂直于水平面的建筑物AB的高度，小明从建筑物底端B出发，沿水平方向向右走30米到达点C，又经过一段坡角为30，长为20米的斜坡CD，然后再沿水平方向向右走了50米到达点E（A，B，C，D，E均

27、在同一平面内）在E处测得建筑物顶端A的仰角为24，求建筑物AB的高度（结果保留根号，参考数据：sin24，cos24，tan24）【解答】解：作BMED交ED的延长线于M，CNDM于N在RtCDN中，CDN30，CD20米，CNCDsin3010米，DNCDcos3010米，四边形BMNC是矩形，BMCN10米，BCMN30米，EMMN+DN+DE（80+10）米，在RtAEM中，tan24，AB答：建筑物AB的高度是米【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题、解直角三角形的应用-仰角俯角问题 24.（2020张家港市期末）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得

28、楼房顶部A的仰角为30，沿坡面向下走到坡脚C处，然后在地面上沿CB向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60已知坡面CD10米，山坡的坡度i1：（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）（1）求点D离地面高度（即点D到直线BC的距离）；（2）求楼房AB高度（结果保留根式）【解答】解：（1）过D作DFBC，垂足为F，i1：，DF：FC1：，CD10，DF5，即点D离地面的高度为5米（2）由（1）得，CF5，过点D作DGAB，垂足为G，设ABx，则AGx5，在RtABE中，BEx，在RtADG中，DG（x5），由DGFC+CE+BE得，（x5）5+10+，解得，x15+5，答：AB的高度为（15+5）米【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题、解直角三角形的应用-仰角俯角问题 25.（2020黄岩区模拟）如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30且D离地面的高度DE5m坡底EA30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高（结果用含有根号的式子表示）【解答】解：过点D作DHBC于点H，如图所示：则四边形DHCE是