结构力学(龙驭球)第5章_虚功原理与结构位移计算（章节课程）

1、第五章 虚功原理与结构位移计算 1阳山书屋c第五章 虚功原理与结构位移计算 5-2 结构位移计算的一般公式5-3 荷载作用下位移的计算5-4 荷载作用下位移的计算举例5-5 图乘法5-8 互等定理5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移5-7 变形体的虚功原理5-6 温度作用时位移的计算2阳山书屋c5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移计算结构位移的目的：（1）验算结构的刚度（2）为超静定结构内力分析打基础产生位移的原因:（3）制作沉降和制造误差C1ABCab（2）温度变化和材料收缩（1）荷载作用ABqCC3阳山书屋c5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移C1ABCab结构内产生位移的同时是否会产生应

2、变呢？（1）静定结构由于支座位移或者温度改变在结构内部不产生内力，所以不会产生应变。刚体体系位移-有位移，无应变4阳山书屋c5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移（2）结构在荷载作用下各点产生线位移，同时，梁内由于承受弯矩而产生曲率和应变。ABqCC变形体体系位移-有位移，有应变5阳山书屋c5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移位移计算问题：几何问题-几何方法ABqCCC1ABCab6阳山书屋c结构的位移ABqCCC结构的位移 PC-C点的竖向位移 -截面B的转角-C的水平位移 - C点的竖向位移-截面C的转角 Cy7阳山书屋c5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移计算结构位移的思路：（1）讨论静定

3、结构由于支座移动而引起的位移计算问题。-刚体体系的位移计算（2）讨论静定结构由于局部变形（局部拉伸、剪切、弯曲变形，结构其他部分没有变形仍为刚体）引起的位移。-变形体体系位移计算（3）讨论静定结构由于整体变形（结构中各个杆件的各个微段都产生变形）而引起的位移。-叠加原理：由局部变形位移计算公式推导整体变形位移计算公式8阳山书屋c5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移计算结构位移的思路：（1）化整为零：局部变形引起的位移。（2）积零为整：叠加原理局部变形位移计算公式 整体变形位移计算公式9阳山书屋c5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移位移计算的基本假定和理论基础线弹性变形体系基本假定:位移与荷载成

4、正比条 件:线弹性材料小变形叠加原理适用理论基础:虚功原理 计算方法: 单位荷载法 10阳山书屋c刚体体系的虚功原理处于受力平衡状态的刚体，当发生符合约束条件的无限小刚体体系虚位移时，则外力在位移上所作的虚功总和恒等于零。虚功 力的状态位移状态一个平衡力系虚设一个位移状态确定真实的未知力虚设一个平衡力系确定真实的位移虚位移原理虚力原理11阳山书屋c刚体体系的虚功原理虚力原理虚平衡力系真实位移确定 C点的竖向位移C1ABCabABCPABC1假设的力方向和位移 相反12阳山书屋c支座移动时位移的计算B点发生支座移动，求由此引起的 C点竖向位移 由支座移动引起的真实位移虚设力系 在待求位移点沿位移

5、方向施加单位力1求出单位力作用下发生支座移动处的支座反力23由虚功原理列虚功方程 支座移动时的位移计算公式13阳山书屋c支座移动时位移的计算支座移动时，静定结构的位移计算步骤： 在待求位移点沿位移方向施加单位力1求出单位力作用下发生支座移动处的支座反力23令虚设力系在实际位移上做功，由虚功原理列虚功方程 支座移动时的位移计算公式计算出的位移为正值，表明与假设方向一致。 14阳山书屋c支座移动时的位移计算确定B支座的水平位移和B截面的转角例 ( ) 15阳山书屋c支座移动时的位移计算确定B截面的转角确定B支座的水平位移 ( ) （ ）16阳山书屋c5-2 结构位移计算的一般公式结构位移计算一般属

6、于变形体体系的位移计算。变形体体系的位移计算步骤：先计算局部变形时的位移计算公式，再导出整体变形时的位移计算公式。1、局部变形时静定结构的位移计算举例 当某个微段有局部变形时静定结构的位移计算问题可归结为当该处相邻截面有相对位移时刚体体系的位移计算问题。对于微段可用虚力原理计算。由于制造误差或者其他原因引起局部拉伸、剪切、弯曲变形，结构其他部分没有变形仍为刚体。17阳山书屋c5-2 结构位移计算的一般公式局部弯曲变形，结构其他部分没有变形仍为刚体。例1、图示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角，求A点竖向位移。BCaaA BCA位移状态BAC1虚设力系18阳山书屋c5-2 结构位移计算的一般公式

7、局部剪切变形，结构其他部分没有变形仍为刚体。例2、图示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对剪切位移 ，求A点竖向位移。 BCABCA位移状态BAC1虚设力系 19阳山书屋c5-2 结构位移计算的一般公式2、局部变形时位移计算公式 位移状态BCAdCdddBAC1虚设力系悬臂梁除微段ds有局部变形外，结构其他部分没有变形。微段ds局部变形包括：局部伸长应变平均切应变0轴线曲率20阳山书屋c5-2 结构位移计算的一般公式 位移状态BCAdCddd（1）根据微段ds的三类变形，求出微段两端截面的三种相对位移：相对轴向位移：相对剪切位移：相对转角位移： 相对位移 是描述微段总变形的三个基本参数。21阳山书屋

8、c5-2 结构位移计算的一般公式 位移状态BCAdCddd（2）将微段变形集中化，即ds 0 ，但三种相对位移仍存在。B截面发生集中变形，其他部分是刚体，不变形。问题转化为刚体体系的位移问题。（3）应用刚体体系的虚功原理，根据截面B的相对位移 求A点位移。叠加法：22阳山书屋c5-2 结构位移计算的一般公式 （3）应用刚体体系的虚功原理，根据截面B的相对位移 求A点位移。叠加法：23阳山书屋c5-2 结构位移计算的一般公式 或者：即变形体系的虚功原理分别为虚设单位荷载在截面B引起的弯矩，轴力和剪力。24阳山书屋c5-2 结构位移计算的一般公式 3、结构位移计算的一般公式：整体变形时的位移公式整

9、个结构的位移是结构各个微段变形的总和。叠加原理：若整个结构有若干个杆件组成：25阳山书屋c5-2 结构位移计算的一般公式 3、结构位移计算的一般公式：整体变形时的位移公式如果结构除各个微段有变形外，支座处还有给定位移：适用条件：小变形位移公式实际为几何方程，给出了已知变形与拟求位移之间的几何关系。外虚功内虚功26阳山书屋c5-2 结构位移计算的一般公式 公式的普遍性：（1）变形类型：弯曲变形、拉伸变形、剪切变形；（2）变形因素：荷载、支座移动；（3）结构类型：梁、桁架、刚架、拱等；（4）材料性质：弹性材料、非弹性材料。27阳山书屋c5-2 结构位移计算的一般公式 弯曲变形：拉伸变形：剪切变形：

10、支座移动：28阳山书屋c5-2 结构位移计算的一般公式 4、结构位移计算的一般步骤： 已知结构各个微段的应变 、 、0和支座位移ck ，求结构某点沿某方向的位移：（1）在某点沿拟求位移方向虚设相应单位荷载；（2）在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构内力 和支座反力FRK；（3）由下列位移公式求出位移。29阳山书屋c5-2 结构位移计算的一般公式 表示力与变形之间的乘积，当力与变形方向一致时乘积为正。 和k使纤维同侧受拉时 乘积为正。30阳山书屋c虚功力和位移无因果关系广义力广义位移ABCPMABCFp1Fp2121122AB对应31阳山书屋c广义位移和广义力广义位移:某点线位移，某点角位移

11、，某两个截面的相对线位移和角位移 =A+ B- A、B点左右两侧截面间的相对转角MBMAABqABC- 一对单位力偶广义力：与广义位移相对应的荷载32阳山书屋c广义位移和广义力广义力和广义位移PPABABABPPMM- 一对水平力力 - A、B间的水平相对位移AB- 一对力偶 - C点左右两侧截面间的相对转角33阳山书屋c广义位移和广义力虚设力与拟求位移之间应满足共轭关系，从做功角度讲：F-共轭力-共轭位移表5-1 广义位移和广义荷载示例34阳山书屋c5-3 荷载作用下的位移计算荷载-内力-应力-应变BAaP35阳山书屋c5-3 荷载作用下的位移计算1、荷载引起的位移计算公式BAaP36阳山书

12、屋c5-3 荷载作用下的位移计算 -由单位荷载P=1引起的内力 -结构承受的真实荷载引起的内力（1）写出各杆件在真实荷载作用下的Mp、FQp 和F Np 方程； （2）写出各杆件在虚设单位下的M、FQ 和FN 方程； （3）用上述公式计算位移； （4）轴力以拉为正，剪力使微段顺时针转动者为正， 和MP使杆件同侧受拉为正； 37阳山书屋c5-3 荷载作用下的位移计算（1）梁和刚架：（2）桁架： （3）桁架混合结构： （4）拱，当压力线与拱轴接近时： 38阳山书屋c5-3 荷载作用下的位移计算例xMP 图FQP 图xl/2l/2ABCP=1确定跨中C截面的竖向线位移，并比较由弯曲变形和剪切变形引起

13、的效应。ABqCl/2l/2真实力系虚设力系剪切变形引起的位移远小于弯曲变形引起的39阳山书屋c5-3 荷载作用下的位移计算 - 虚设单位荷载P=1 引起的内力 - 真实荷载引起的内力梁和刚架桁架桁梁组合结构拱40阳山书屋c例 1：已知图示梁的E 、G,求A点的竖向位移。解：构造虚设单位力状态.l 对于细长杆,剪切变形对位移的贡献与弯曲变形相比可略去不计.位移方向是如何确定的?5-4 荷载作用下的位移计算举例41阳山书屋cPP1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.52P2P例2 计算屋架顶点的竖向位移。0.25l0.2

14、5l0.25l0.25lADCEFGB5-4 荷载作用下的位移计算举例42阳山书屋c1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.5ADDCDE材料杆件lA钢筋砼钢CEAEEGABCDEFG43阳山书屋cPP=1例3：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移。解：1）虚拟单位荷载虚拟荷载3）位移公式为ds=Rddds钢筋混凝土结构G0.4E矩形截面,k=1.2,I/A=h2/1212001DDMND4001DMQD2=DMNARI2412=DDMQRhGAREIk 可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略

15、不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略.2）实际荷载h101R如44阳山书屋cPl/2l/2EIABx1x2例4：求图示等截面梁B端转角。解：1）虚拟单位荷载m=1积分常可用图形相乘来代替2）MP 须分段写45阳山书屋c确定C点的水平位移 和转角例5LACBLEIEIq解：（1）求 写出杆件的 方程 BC杆： ACBFP=1BA杆： 5-4 荷载作用下的位移计算举例46阳山书屋c确定C点的水平位移 和转角例5LACBLEIEIq （2）求 写出杆件的 方程 BC杆： BA杆： ACBM=15-4 荷载作用下的位移计算举例47阳山书屋c5-5 图乘法理论基础:虚功原理单位荷载法梁和刚架:两种

16、内力函数:积分:麻烦48阳山书屋c5-5 图乘法补充条件:直杆常数一个弯矩图为直线图形图乘法49阳山书屋c5-5 图乘法yxOAx0ABy0 xABCMP的形心50阳山书屋c5-5 图乘法一个弯矩图的图形面积面积A形心处的另一直线弯矩图上的纵标注意: y0必须取自直线弯矩图 符号规定: 两弯矩图位于杆件的同侧，Ay0 为正；反之，为负 适用条件: 直杆; EI=C; 一个弯矩图为直线!切莫丢掉此项51阳山书屋c5-5 图乘法常用图形的面积和形心三角形Cabhl(l+a)/3(l+b)/3l2l/3l/3Ch52阳山书屋c5-5 图乘法常用图形的面积和形心Cl/2l/2hChl5l/83l/8二

17、次抛物线顶点顶点l3l/4l/4hC顶点标准抛物线: 图形顶点的斜率必须平行于杆轴线53阳山书屋c5-5 图乘法图形的分解和叠加A1y1Mk 图I1I2A2y2A3y3Mi 图 A1y1A2y2Mk 图Mi 图 分解多段线图形的分解变刚度杆的分解54阳山书屋c5-5 图乘法图形的分解和叠加Mk 图 Mi 图+ 叠加abcdA2A1y1y2abcdA1A2y1y2ABCDabcdA1A2ly1y2分解55阳山书屋c图形的分解和叠加AABMAMBBMAMBqMAABMBMBMA5-5 图乘法MP 图y1y0分解叠加A1A2A056阳山书屋c5-5 图乘法例计算下图所示简支梁的跨中挠度 真实系统MP

18、 图虚设系统C点竖向位移ABq57阳山书屋c虚设系统5-5 图乘法例真实系统MP 图B点挠度确定悬臂梁自由端挠度 ， (and， (and+-！不是标准抛物线 58阳山书屋c5-5 图乘法例5-7， ABCl/2l/2Pl/6计算 C点竖向位移 PABPlMP 图真实系统P=1AB虚设系统B点挠度A59阳山书屋cP=1MPql2/2 ll/2A B2EIEIl/2确定 B点竖向位移q？ql2/8l/2？ql2/32y05-5 图乘法例60阳山书屋c虚设力系5-5 图乘法例真实系统C截面的转角， (and， (计算 C截面的转角MP 图+-+61阳山书屋c5-5 图乘法例计算 C 、D两点间的水

19、平相对位移 真实系统MP 图虚设系统水平相对位移+-+62阳山书屋c5-5 图乘法例C点竖向位移确定C点的竖向位移ABCD4m3m3m6kN6kN真实系统MP 图 和FNP 图 ABCD6kN8kN-10kN12kNm4kN组合结构及其荷载虚设系统ABCD梁式杆63阳山书屋c5-6 温度改变时的位移计算假定:温度沿截面高度h线形分布发生变形后，截面应变分布仍满足平截面假定. 虚设力系由温度变化引起的真实位移64阳山书屋c5-6 温度改变时的位移计算静定结构材料自由伸长或压缩温度改变变形不引起内力65阳山书屋c5-6 温度改变时的位移计算例确定C点的竖向位移。真实系统虚设系统 温度变化引起的弯曲

20、变形方向与虚设力系引起的相反若既有温度变化和（或）支座移动，又同时作用有荷载？66阳山书屋c5-8 变形体的虚功原理 刚体体系的虚功原理中，刚体的应变=？刚体体系 内力做功=？ 变形体体系的虚功原理中，变形体存在应变吗？外力做功，内力做功吗？67阳山书屋c5-8 变形体的虚功原理 设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所做的外力虚功We恒等于各个微段的应力合力（即内力）在变形上所做的内力虚功Wi. 内力所做的虚功外力所做的虚功注意:变形可以是任意因素引起的小变形虚功原理对任何结构都适用，无论其是否是弹性体68阳山书屋c5-8 变形

21、体的虚功原理a任意原因引起的变形处于平衡状态的梁aBABA69阳山书屋cBAa真实的位移状态虚力状态BA单位力作用下5-8 变形体的虚功原理a如何虚设单位力？70阳山书屋c5-8 变形体的虚功原理内虚功外虚功应用条件:力系满足平衡条件位移满足变形协调条件71阳山书屋c5-8 变形体的虚功原理MAFQAFQBqxMBABpFNBFNAMFQM+dMFQ+dFQqdxqdxFN+dFNFNpdx平衡条件:72阳山书屋c5-8 变形体的虚功原理变形协调条件:AAABABBBdx+d+ d +d73阳山书屋c5-8 变形体的虚功原理MAFQAFQBqxMBABpFNBFNA平衡力系AAABABBB变形状态上述平衡力系在变形状态上做功74阳山书屋c5-8 变形体的虚功原理微段两侧截面的应力合力在变形上作的内虚功为MFQM+dMFQ+dFQqdxqdxFN+dFNFNpdxdx+d+ d +d75阳山书屋c5-8 变形体的虚功原理76阳山书屋c5-8 变形体的虚功原理变形体虚功原理的证明：77阳山书屋c5-8 变形体的虚功原理变形体虚功原理的证明：78阳山书屋c5-8 变形体的虚功原理推广：杆件结构中（计入集中荷载所作虚功）：79阳山书屋c5-8 变形体的虚功原理将