能量量子化声子固体物理

1、第三节第三节 能量量子化、声子能量量子化、声子3.3.1 3.3.1 能量量子化能量量子化本节主要内容本节主要内容: :3.3.2 3.3.2 声子声子晶格晶格振动振动格波格波简谐简谐近似近似独立的振独立的振动模式动模式由由B-K边界条件边界条件q分分立值立值声子声子晶格振动能晶格振动能量量子化量量子化3.3.1 能量量子化33 qxn11 q22 q一维单原子链的情况一维单原子链的情况 naqti)t ,q(nAx einaq)t(q)t ,q(nAxe 由玻恩由玻恩-卡门卡门周期性边界条件：周期性边界条件：q可以取可以取N个值个值。3.3 能量量子化 声子 qinaqtqnAtxe)()(

2、根据经典力学，系统的总能量为势能根据经典力学，系统的总能量为势能U和动能和动能T之和。之和。212.)(221 nnnnnxxxmUTH ,2122 qqqQ 21)(2 nnnxxU 则：则：2.21 nnxmT2.21 qqQ qinaqqn,tQNmtx)e(1)(令令拉格朗日函数：拉格朗日函数：UTL qqqqQQ222.21 推导略推导略 qinaqqn,tQNmtx)e(1)( qinaq*q*n,tQNmtx)e(1)(Xn(t)是实数，是实数，)()(*tQtQqq (1)证明：证明：) t (Q) t (Q*qq )()(*txtxnn qinaqqn,tQNmtx)e(1)

3、( qinaqqn,tQNmtx)e(1)(2)证明：证明： qn ,naqnninq ,q)qqinaNN )(e1e1若若,qq sNaq2 sNaq 2hlNa)ss(Naqq 22l ,s , s 均为整数。均为整数。 niahiNahNnniahNninahqqinaNNNNe1e11)(e1e1e11010)(0e1e1122 lNaialNaiNaN,qq 1e1)( nqqinaN2.21 qqQ2.21 nnxmT qinaqq.n.,tQNmtx)e(1)( nqqinaqq.qinaq.,tQtQNT)e()e(21 qnqqinaqq.q.,NtQtQ)(e1)()(2

4、1 qqqqqqtQtQ,)()(21,. qqqtQtQ)()(21. qqqtQtQ)()(21.*.)()(*tQtQqq 21)(2 nnnxxU qinaqqaqniqnqqinaqqaniqtQtQtQtQNm)e()e()e()e(2)1()1( ninaqaqniqinaqaniqqqqN)t(Q)t(Qmeeee12)1()1( nqqinaiaqqqinaqiaqqina)qq(a)n(iqqqqN)t(Q)t(Qm)()()(1eeeeee12 nqqinaiaqqqinaqiaqqinaqqaniqqqqNtQtQm)()()()()1(eeeeee1)()(2 q,q

5、iaqqiaqqqqtQtQm ee11)()(2 qqqaqtQtQmcos22)()(2 2sin4)()(212*aqmtQtQqqq ,2122 qqqQ qiaqiaqqqtQtQmee11)()(2 qqqqQQ222.21 广义动量：广义动量：.qqqLPQqQ. 哈密顿函数：哈密顿函数： qqqLPHQ.又：又：qqQHP .qQ.qqQ2 02. qqqQQ kmoxXmaf .xmkx 0. xmkx02. xx 谐振子的振动方程谐振子的振动方程据量子力学，频率为据量子力学，频率为 i的谐振子的振动能：的谐振子的振动能：iiinE )21()( 由由N个原子组成的一维单原子

6、链的振动等价于个原子组成的一维单原子链的振动等价于N个谐振子个谐振子的振动的振动，谐振子的振动频率就是晶格振动频率谐振子的振动频率就是晶格振动频率。iNiinE 121晶格振动能量：晶格振动能量：三维晶格振动的总能量为：三维晶格振动的总能量为：inNiinE 3121其中其中N为晶体中的原胞个数为晶体中的原胞个数,n为每个原胞中的原子个数为每个原胞中的原子个数。jump何为谐振？何为谐振子？何为谐振？何为谐振子？在运动学就是在运动学就是简谐振动简谐振动，该振动是物体在一个位，该振动是物体在一个位置附近往复偏离该振动中心位置（即平衡位置）置附近往复偏离该振动中心位置（即平衡位置）进行运动，在这个

7、振动形式下，进行运动，在这个振动形式下，物体受力的大小物体受力的大小总是和他偏离平衡位置的距离成正比总是和他偏离平衡位置的距离成正比，并且受力，并且受力方向总是指向平衡位置。方向总是指向平衡位置。何为谐振子？把振动物体看作不考虑体积的微粒何为谐振子？把振动物体看作不考虑体积的微粒或者质点的时候，这个振动物体就叫谐振子。或者质点的时候，这个振动物体就叫谐振子。back格波格波(晶格振动晶格振动)的能量量子的能量量子-声子。声子。晶格振动的能量是量子化的，能量单位为晶格振动的能量是量子化的，能量单位为 。 3.3.2 声子声子声子不是真实的粒子不是真实的粒子，称为，称为“准粒子准粒子”，它反映的是

8、晶格原子，它反映的是晶格原子集体运动状态的激发集体运动状态的激发单元。声子只存在于晶体中，脱离晶体后单元。声子只存在于晶体中，脱离晶体后就没有意义了。就没有意义了。1.声子是晶格振动的声子是晶格振动的能量量子能量量子，其，其能量为能量为 ，”准动量准动量”为为 。 q 2.一个格波一个格波(一种振动模式一种振动模式)，称为一种声子，称为一种声子(一个一个 ，q就是就是一种声子一种声子)，当这种振动模式处于，当这种振动模式处于 本征态时，本征态时，称为称为有有ni个声子个声子，ni为这种声子的声子数为这种声子的声子数。iin 21mmKR(q R)(q K) R1lliititppeluA eA

9、 ep 3.声子具有声子具有等价性：等价性：用用q+Km代替代替q，格波的解无任何变化。，格波的解无任何变化。即即说明波矢为说明波矢为q的声子与波矢为的声子与波矢为q+Km的声子是等价的。的声子是等价的。 4.由于晶体中可以激发任意个相同的声子，所以声子是玻由于晶体中可以激发任意个相同的声子，所以声子是玻色型的准粒子，遵循玻色统计。色型的准粒子，遵循玻色统计。1e1B Tkiin 当温度为当温度为T时，频率为时，频率为i的谐振子的平均声子数为的谐振子的平均声子数为当当T=0K时，时，n()=0说明说明T0K, 才有声子。才有声子。当温度很高时，当温度很高时，1Bk TBek T Bk T代入上

10、式，得n( )=可见平均声子数与温度成正比，与频率成反比可见平均声子数与温度成正比，与频率成反比温度一定时，频率高的声子数较少，频率低的声子数较多温度一定时，频率高的声子数较少，频率低的声子数较多 5.当电子当电子(或光子或光子)与晶格振动相互作用时，交换能量以与晶格振动相互作用时，交换能量以 为单位，若电子从晶格获得为单位，若电子从晶格获得 能量，称为能量，称为吸收吸收一个声子，若一个声子，若电子给晶格电子给晶格 能量，称为能量，称为发射发射一个声子。一个声子。 在在简谐近似下简谐近似下，声子是理想的玻色气体，声子间无相互，声子是理想的玻色气体，声子间无相互作用。而作用。而非简谐作用非简谐作用可以引入声子间的可以引入声子间的相互碰撞相互碰撞，正是这种，正是这种非简谐作用保证了声子气体能够达到非简谐作用保证了声子气体能够达到热平衡状态热平衡状态。