侧“M”型问题的结论及广泛应用

1、适合：人教版七年级第五章相交线与平行线侧“M”型问题的结论及其广泛应用武汉市光谷实验中学（430223） 沈占立 曾海燕M侧“M”型问题的基本图形一般有开口向左和向右两种，即“ ”或“ ” . 与它们相关的问题很多，构造此基本图形解决有关问题非常方便，快捷，兹采撷一束，予以说明.一、侧“M”型问题结论问题：如图1，ABCD,P为线段AB、CD之间的一点，则B、C、BPC之间有何关系？分析：此图不是我们所学过的“三线八角”的基本图形，需添加一些线（辅助线），把它化成我们所熟悉知的基本图形.解答：过P作PFAB（如图1）.ABCD, PFCD, BPF=B, CPF=C. BPC=BPF+CPF=

2、B +C.结论：侧“M”型图中同向角度和与其反向角相等.二、侧“M”型结论应用图2-1图2-2熟悉上述侧“M”型基本图形，运用上述结论解答有关问题非常方便.1. 直接运用侧“M”型例1（2014黄冈市）如图2-1，若ADBE，且ACB=90，CBE=30，则CAD=_度解析：由ADBE易找出侧“M” 型基本图形“ ”，即“DACBE”由上述结论，则有C=CAD +CBE，故CAD=C-CBE =90-30=60.无独有偶，请读者触类旁通：(2014四川省绵阳市)如图2-2，lm，等边ABC的顶点A在直线m上，则=_2. 抽象挖掘侧“M”型例2 如图3是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直

3、角梯形（下底挖去一小半圆），刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成1 、2，请你求出1 +2的度数.解析：将这个问题转化为数学问题，可以抽象出如图4所示的几何图形，进一步观察可得到“变形”了的侧“M”型基本图形“BAOCD”，由题意结合上述结论易得1 +2=O=90.3. 巧用侧“M”型证明例3 如图5，ABCD, 1=B, 2=D,试说明BEDE. 解析：仔细观察图5，不难发现从中可以抽象出“ ”型基本图形ABEDC.故由上述结论可得BED=B+D=1+2,又因为BED+1+2=180（平角定义），BED=90,故BEDE.4. 双管齐下侧“M”型例4 如图6，ABCD,E是两直线内部一点，A

4、BE与CDE的平分线交于F点，探究BED与BFD之间的数量关系.解析：由已知条件不难看出图6隐含着两个侧“M”型基本图形ABEDC和ABFDC，故有BED=ABE+CDE及BFD=ABF+CDF.又BF、DF分别平分ABE与CDE，ABE+CDE=2（ABF+CDF），故有BED=2BFD.5. 综合运用侧“M”型例5 在平面直角坐标系中，D(0，-3),M(4，-3),直角三角形ABC的边与x轴分别交于O、G两点，与直线DM分别交于E、F两点.(1)将直角三角形ABC如图7位置摆放，求证：CEF-AOG=90.(2)将直角三角形ABC如图8位置摆放，N为AC上一点，NEF+CEF=180,请

5、写NEF与AOG之间的等量关系，并说明理由. (1)证明：由D、M两点的纵坐标相同可知：DMx轴，从图7易看出侧“M”型基本图形“KOCED”可得COK+CED=C,又COK=AOG，CED=180-CEF，即AOG+180-CEF=90，整理得CEF-AOG=90.(2)解：NEF+AOG=90，理由如下：图8中CEH+CEF=180,又已知NEF+CEF=180，CEH=NEF.又COK=AOG，由侧“M”型基本图形“KOCEH”得CEH+COK=C，即NEF+AOG=90.6. 灵活构造侧“M”型例6 在平面直角坐标系中，A(a,b)，B(2,2)，且如图9，过点A作ACx轴于C,连接BC,求ABC的面积;如图10，延长AB交x轴于D,将AD绕点A顺时针旋转30，它的延长线交y轴负半轴于点E.在第四象限的点F，使得x轴、Y轴分别平分ADF、AEF,试求DFE的值.解析：（1）略.(2)根据已知易求得A(-2，6),B(2，2), 由面积法不难求出D(4，0),G(0，4), OD=OG，DOG等腰直角三角形，ODG=OGD=45,又x轴平分ADF, ADF=2ODG=90.过E作ERAD(构造“M”型基本图形“ADFER”)，REA=A=30, REG=OGD=45, OEA=REG-REA =15=OEF, REF=60.于是由“M”