空间解析几何

1、会计学1空间解析几何空间解析几何既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量 ,AB, , , a b ,AB,a只考虑向量的大小和方向不计较起点位置只考虑向量的大小和方向不计较起点位置 长度相等且方向相同长度相等且方向相同 长度相等且方向相反长度相等且方向相反 0或或长度为零，方向任意长度为零，方向任意/方向相同或相反方向相同或相反 长度为长度为1 1 , OAABBCGHOH OAABOB OAB ABADDB （减数指向被减数（减数指向被减数 ）DBABAD （后项减去前项（后项减去前项 ）, 注注: 当当平行时平行时，等式成立。，等式成立。ADB 模模：mm方向：方向：00,0mmm 与

2、相同,若与 相反,若任意若0, 1 m nmn ;mnmnmmm / 0 2,BCBP 证明：可知证明：可知ASAT 1233ABAQ 13ASAPAP 23,ASAP 设2,ACAQ 23BTBQ 23ABBQ 13ABBPACCP 13ABAC 1233ABABBQABBTAT ABADDB 0, /, 不一定不一定/, 注：注：向量向量不共线不共线只有零解，即只有零解，即 1 3 2d重点和难点重点和难点123xyzOPOMMQQP 111213212223xyzxyz 121122123xxyyzz123121212,.xxyyzz 不共面 -,-,- -,+,+III -,-,+ -

3、,+,-xyz+,+,- +,-,-+,-,+ 坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)z 轴轴(竖轴竖轴)o 坐标面坐标面 卦限卦限(八个八个)xoy面面面yozzox面+,+,+ ; , , O i j k , ,OPxiyjzkx y z P(x,y,z)的向径的向径后项减前项后项减前项A A0, 0 uB BB BA A0, 0 u0,020,2若若 u uABABCC= k + l = + 当当 , CCCCC且且| | =| |=1k cos? FSF SF 物理背景：一物体在常力物理背景：一物体在常力 的作用下的作用下，沿直线运动产生的位移为，沿直线运动

4、产生的位移为 时，则力时，则力 所做的功是所做的功是: FS 抽去物理意义，就是两个向量确定一抽去物理意义，就是两个向量确定一 个数的运算个数的运算.cos WFSF S SSF 0, cosWFS F S cos SSF 点不能省略点不能省略注注: 数量积不满足消去律数量积不满足消去律, 即即cos ; , , O i j k 222(1) 1, 0ijkijj kk i OPxiy jzk OP i OPi 1, ,cos ,cos,cos.1OPOPx y z 注 ： 若则 312, ,coscoscoscccOPx y z ，若且, ,.OPx y z 则也是一组方向数注2： 当 33

5、3 84 66cos333 611 4 66cos33arc设设O为一根杠杆为一根杠杆L的支点，力的支点，力 作用于杠杆作用于杠杆上上P点，力点，力 与与 的夹角为的夹角为 ，力，力 对支对支点点O的力矩是向量的力矩是向量 ，则力矩的模为，则力矩的模为sinMFOP LFPQO 向量积的物理意义向量积的物理意义FM的方向垂直于的方向垂直于OP与与F所决所决定的平面定的平面, 指向符合右手系指向符合右手系. MOPF FOP FM力矩力矩 = 力力力臂力臂 力矩力矩 = 力力力臂力臂 sinMFr 大小：Mr F 方向：， 右手系MrF , 方向：， 且构成右手系.sin, 以以为为邻邻边边的的

6、平平行行四四边边形形的的面面积积以以为为邻邻边边的的三三角角形形面面积积的的2倍2倍sin 正弦值等于边长为正弦值等于边长为1菱形的面积菱形的面积. /(2),.0 注：0 注：/(2),.0 注：0 注： ; , , O i j k , ijk jki kij , jik kji ikj .iijjkk = 00200a分析分析: P到到AB的距离可看作的距离可看作底边底边AB上的高上的高.分析：分析：P到到AB的距离可通过的距离可通过AP到到AB的投影求得的投影求得. 5,4,2 ,1,2, 2APAB 12,12,662,2,16 918SAPAB1443AB 6ABSDP 解解1 1：

7、解解2： 15,4,21,2, 233 ABABADAPAPAB224596 DPAPAD解法解法1 1：设设20028 xyzxyzxyz , 1, 2,3()1, 2,3ll 81, 2,31, 2,188,1 lll1,-2,3解法解法2 2：解得解得121111ijk/ V 解：解： = = 证明：证明：解：解：Cramer法则法则数量积数量积向量积向量积混合积混合积性质性质性质性质2 2 cos , ，右手系,0 正定性正定性, ,线性性线性性, ,反对称性反对称性 /V(平行六面体平行六面体)行列式的性质行列式的性质 ,nA B C 000nP Pn P P 0000,P Pxxy

8、y zz ,nA B C ni 0,0,nC 1121311213,0P P P P P PP P P P P P 共面00/P PsP Pt s 000,xxyyzzt l m n 0000,xxlyyzzmn 若则0000,xxlyyzzmn 若则0000,xxlmyyzznt 若则00 xxyy z R12snn0000 x xyymlyyz zmn 1n2n 1, 2,12, 3, 3 9,5,11,1,1 s n r2r1 r3r2 r2 r3 r3r2r1r222xtytz 12,n n 12,n ns1s 1, s s n2 sincoss nsn 1s2s1212cosssss

9、 s1n 1, 2,1 ,s 1,2,1 ,n 21sincos,36 6s nsn 13arcsin. 14,0,4 ,nsn 118,8, 8 ,snn 111, 2,11, 1,12cos2,36 3s sss 232cos.arc 1s1n1s1snss2L1Ld1P2P1/:10,xyz31 1212ssdP P 几何意义几何意义: 以以1212,s sP P 的平行六面体的底面上的高的平行六面体的底面上的高.为相对棱为相对棱既不相交又不平行既不相交又不平行12P P 12124,1, 1 ,2,0, 1 ,3, 3, 1 ,ssP P 121,2, 2 ,sss 1212,10,s

10、 sP P 121212,1.3s sP Pdss 124,1, 1 ,2,0, 1 ,ss 1,2, 2 ,s 110,9,9 ,nss 222,5,4 ,nss 124,1, 1 ,2,0, 1 ,ss 1,2, 2 ,s 110,9,9 ,nss 12,n nn所在平面上的任意向量 都是某平面的法向量. 11112222,nA B CnA B C 1122112211221122,nnnAABBCC 则则过过两平面交线上一点两平面交线上一点 0000,Pxy z以以 为法向量平面方程为法向量平面方程:n 1122011220112200AAxxBByyCCzz 1n2nn 1212, 1

11、,1 ,1, 3,2 ,/nnn2,n 12213240 xyzxyz 1212121223240 xyz 121212122 2330707 7 21324015109110 xyzxyzxyz 236015109110 xyxyz s1s4630 xyz 211212xyz 直线的对称方程可直线的对称方程可转化为一般方程转化为一般方程: 20230 xyyz 112222230 xyz 112212122220404 4630210 xyzxyz 122230 xyyz s1s垂直于垂直于 的平面的平面 1的法向量满足的法向量满足4630 xyz 211212xyz 4630210 xyzxyz s1s1nn过直线过直线l且垂直于且垂直于 的平面的平面 1的法向量为的法向量为:(2,1,2) (1,1, 2) = ( 4,6,1) 又因为又因为 1过直线过直线l上的点上的点(2, 1, 1), 可得可得 1的点法式方程的点法式方程 4(x 2)+6( y 1)+(z+1) = 0/, 不一定不一定A A0,