第六章数字滤波器设计

1、第6章 数字滤波器设计滤波是数字信号处理中的基本单元之一，其目的在于：提取有用信号，抑制不必要的干扰或消除信号的传输误差；把信号分解成不同的频率分量，以便进行分析；进行信号检测及估计；6.1 滤波器概述一、 滤波器的概念所谓滤波器，就是以特定方式改变信号的频率特性，从而实现信号变换的系统。对于一个线性移不变（Linear Shift Invariant，简称LSI）的数字滤波系统，系统的输出y(n)可看成是系统的输入x(n)与其脉冲响应h(n)的卷积，如图所示数字滤波系统脉冲响应h(n)输入x(n)输出y(n)即 若x(n)、y(n) 和h(n)的傅里叶变换分别为X(ej)、Y(ej)和H(e

2、j)，则由时域卷积定理，可知则系统输入x(n)的滤波输出可见，输入序列的频谱X(ej)经数字滤波器系统H(ej)后，就变换为滤波器的输出谱Y(ej)，因此，若选取不同的滤波器H(ej)，使滤波器的输出Y(ej)满足不同的设计要求，这就是数字滤波器的工作原理。| Y(ej)|c| X(ej)|c有效信号干扰信号理想低通滤波| H(ej)|c1例如，假设输入信号x(n)中包含低频有效信号和高频干扰信号，且二者各占不同的频带，则当x(n)经过一个线性系统（如理想低通滤波器）后，即可将干扰信号部分有效地去除，如图所示。注意：实际的滤波器都是线性时不变的因果系统，以保证系统的物理可实现性及稳定性。二、

3、滤波器的分类一般说来，滤波器可以分为经典滤波器和现代滤波器，这里我们重点讨论经典滤波器。1. 从功能上分类低通滤波器（Low Pass，简称LP）：低频信号通过，例如，用于消除旧音乐录音带中的背景杂音（高频）；高通滤波器（High Pass，简称HP）：高频信号通过，例如，用于消除声纳信号中所含的船和海的低频噪声，以便识别目标；带通滤波器（Band Pass，简称BP）：中频频带信号通过，例如，用于数字电话系统中双音多频信号的解码；带阻滤波器（Band Stop，简称BS）：阻碍中频频带信号的通过，例如，用于滤除信号中的某个单音或抑制窄带噪声；2. 从形式上分类（1） 模拟滤波器（Analog

4、 Filter，简称AF） 缺点：模拟滤波器只能用电阻、电感、电容等硬件电路来实现（如RC滤波、LC滤波），因而易受温度、元件参数等因素的影响，其可靠性不高；模拟电路中，信号可取任意值，则电路的抗干扰能力差；当滤波器的阶数增加时，所需的部件增多，加大了部件容差处理的难度，则设计难度较大，不灵活；模拟滤波器从设计方法上又可分为巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器等。（2） 数字滤波器（Digital Filter，简称DF）数字滤波器的输出可通过两种方式来获取：一是差分方程；二是线性卷积，因此相应的具体实现方法也就有两种：前者采用延迟器、乘法器和加法器等硬件实现；后者可在通用机上用软件实现。I. 优点

5、由于数字滤波器可用软件实现，很少依赖硬件，不易发生参数的零点漂移，因而其可靠性较高；数字电路中，信号仅在一组确定的量化电平上取值，则电路的抗干扰性强；在设计高阶数字滤波器时，只需调整滤波系数，即可改变滤波器的性能，则使用灵活、方便；不需考虑元件之间的阻抗匹配；II. 缺点结构复杂、价格高；需要将模拟量转化为数字量，因而其实时性受CPU、A/D的限制；数字滤波器从实现方法上又可分为无限冲激响应（Infinite Impulse Response，简称IIR）数字滤波器、有限冲激响应（Finite Impulse Response，简称FIR）数字滤波器等。三、 滤波器的技术要求造成滤波器不可实现

6、的根本原因是通带到阻带之间存在突变，因此，为了保证所设计的滤波器具有物理可实现性，我们应在通带和阻带之间设置一个过渡带，并且对通带和阻带给以较小的容限，使滤波器的频率响应在此过渡带内平滑地从通带下降到阻带。但在技术指标中，通带容限1和阻带容限2的具体表征，则往往是由通带允许的最大衰减p及阻带应达到的最小衰减s分别给出的。若数字滤波器的幅频特性为|H(ej)|，其通带及阻带的截止频率分别为p、s，则其通带及阻带的衰减p、s分别定义为6.2 典型模拟滤波器（AF）的设计 尽管数字滤波器在许多方面都优于模拟滤波器，但是由于模拟滤波器已有很多现成、简单的设计公式以及设计参数表可供参考，因此，在进行某些

7、数字滤波器的设计时，我们可以先设计一个合适的模拟滤波器，然后再变换成满足预定指标的数字滤波器，这样既充分利用了已有资源，也给设计带来了很大的方便。为此，我们首先介绍模拟滤波器的设计。一、 有关概念1. 无失真条件假设信号x(t)在叠加了噪声n(t)后，“不失真”地通过低通模拟滤波器h(t)，如图所示tt0y(t)h(t)x(t)+ n(t)y(t)=Kx(t-t0)tx(t)+ n(t)x(t)其滤波输出y(t)与原信号x(t)相比，其幅值增大K倍，且在时间上延迟t0个单位，即由傅里叶变换的线性卷积定理和时移定理，得则上述公式即为信号无失真滤波系统的频率响应表达式，其幅频和相频特性（如图）为|

8、H(j)|()由上述条件可知，该系统的幅频特性在无限带宽内保持恒定值不变，但是这一点在实际中是无法做到的，所以该系统是不可实现的非因果理想系统。可见，对滤波器的设计，重要的是寻找一个稳定可实现的传递函数来逼近上述的理想特性。2. AF的衰减特性模拟滤波器的衰减特性取决于滤波器幅度的平方（又称模方函数）|H(j)|2，为此，我们定义衰减函数显然，滤波器的通带及阻带的衰减指标p、s与衰减函数、模方函数间的关系如下则对于理想低通滤波器特性的逼近如图所示|H(j)|理想的低通滤波器1p通带的截止频率c实际的截止频率s阻带的截止频率p通带的最大衰减s阻带的最小衰减|H(j)| (dB)实际的低通滤波器1

9、p c sps通带 过渡带 阻带幅度平方下降一半即3dB由此可见，在设计模拟滤波器时，我们可以根据滤波器的衰减特性来确定其模方函数。3. 由模方函数求AF的传递函数由于模拟滤波器的模方函数其中所以可见，滤波器的模方函数与其传递函数之间存在密切关系，因此，我们可以由模方函数求解出相应的传递函数。例题：6.2.1二、 巴特沃斯（B型）低通滤波器前面曾经说过，根据给定的技术指标来设计模拟滤波器时，其设计重点是要寻找一个恰当的近似函数来逼近理想特性，通常采用的典型逼近有巴特沃斯（Butterworth）逼近、切比雪夫（Chebyshev）逼近等。我们首先介绍巴特沃斯低通滤波器的设计。1. 分析（1）

10、模方函数巴特沃斯滤波器是以巴特沃斯近似函数作为滤波器的传输函数，该函数以最高阶泰勒级数的形式来逼近理想矩形特性，即 （6.2.1）式中，为与通带衰减有关的系数，c为截止频率，N为巴特沃斯滤波器的阶数。通常取半功率点为截止频率，即|H(jc)|2=1/2，则相应的衰减将|H(jc)|2=1/2代入（6.2.1）式中，得则巴特沃斯滤波器的模方函数 （6.2.2）可见，巴特沃斯滤波器的特性与阶次N有关，如图所示（参见P153图6.2.2），随着阶次N的增加，滤波器的通带越平坦，越接近理想的矩形特性。（2） 基本性质对于不同的阶次N，巴特沃斯滤波器的模方特性总满足由（6.2.2）式可知，巴特沃斯滤波器

11、的幅频特性是随着的增大而单调下降的。当0时，|H(j)|1；时，|H(j)|0，也就是说，在0的附近以及很大时其幅频特性曲线均趋于平坦，因此，巴特沃斯滤波器具有最平坦特性；当频率远离c时，频率每增加一倍，衰减增加6N dB，即衰减达到6N dB/倍频程验证：当c时，则巴特沃斯滤波器的模方函数就近似为则其衰减函数当=c时，()=0当=2c时，()=20N lg26N dB2. 设计过程（1） 按给定指标确定巴特沃斯滤波器的阶数N和截止频率c假设给定指标：=p时，滤波器通带的最大衰减为p =s时，滤波器通带的最小衰减为s由衰减函数的定义和巴特沃斯滤波器模方函数的定义可得将给定的指标参数分别代入上式

12、，得由于，求两等式的比值并取对数，可得滤波器的阶数注意：N为正整数且截止频率（2） 由巴特沃斯滤波器的模方函数|H(j)|2求解其传递函数H(s)确定滤波器阶数N确定模方函数|H(j)|2由物理可实现条件代入模方函数定义式中选定滤波器的零、极点确定传递函数H(s)我们在前面已经介绍过如何由模方函数求滤波器的传递函数，其具体过程如图所示：可见，在此过程中，关键是如何确定巴特沃斯滤波器的极点分布。下面我们就此进行讨论。 将j= s代入模方函数的定义式中，并求其极点，可得由上式可知，巴特沃斯滤波器模方函数的极点分布特点：在S平面上共有2N个极点；各极点都均匀（等角距/N）地分布在以c为半径的圆周上，

13、且对称于虚轴，但虚轴上无极点；若N为奇数时，实轴上有两个极点，否则，实轴上无极点，如图所示；N =4jImRe/4N =3jImRe/3这些特点表明，滤波器模方函数|H(j)|2的2N个极点是对称分布在S平面的左、右两半平面的，各有N个。由于模方函数|H(j)|2=H(s)H(-s)| s= j，为了使所设计的巴特沃斯滤波器H(s)是个稳定的系统，故将模方函数|H(j)|2在左半S平面的极点分配给H(s)，而将右半S平面的极点分配给H(-s)，故有 （6.2.3）式中，系数k0可由模方函数|H(j)|2参见公式（6.2.1）来确定。由于 |H(j)|2 =0=1，即 |H(j)| =0 =1于

14、是则由求其极点sk的公式，可得系数将上式代入（6.2.3）式，可得N阶巴特沃斯滤波器的传递函数例题：6.2.2, 6.2.3, 6.2.4三、 切比雪夫（C型）低通滤波器（略）由于巴特沃斯滤波器的幅度响应在通带内波动较大，因此，为了改善通带特性，我们又提出了采用切比雪夫（Chebyshev）逼近法来设计模拟滤波器，这种滤波器就称为切比雪夫滤波器。切比雪夫滤波器的幅度响应在通带内衰减小，具有等波纹特性，如图所示，但其过渡带特性较差，故此又提出了考尔（椭圆）滤波器。 关于切比雪夫低通滤波器的具体分析和设计过程请参阅教材P154157，这里我们不作详细介绍。6.3 无限冲激响应（IIR）数字滤波器设

15、计一、 数字滤波器概述1. 数学模型一般来说，数字滤波器可以看成是一个因果离散系统，其传递函数讨论：（1） 若bi全为零，则有 则具有上述h(n)形式的滤波器就称为FIR数字滤波器，其滤波输出的差分方程（2） 若bi中至少有一项不为零，并且分母中至少有一个根不为分子所抵消 假设则有 则具有上述h(n)形式的滤波器就称为IIR数字滤波器，其滤波输出的差分方程2. 设计过程无论是FIR滤波器还是在IIR滤波器，其设计过程都包括：按照实际需要确定滤波器的性能要求，比如确定所设计的滤波器类型（低通/高通/带通/带阻）、衰减、波动等；用一个因果稳定的系统传函H(z)去逼近这些性能要求；用一种适当的运算去

16、实现这个系统传函H(z)；我们首先介绍IIR滤波器的设计。二、 设计IIR滤波器的基本条件（1） 可实现性前面我们曾经说过，为了保证所设计的滤波器是个物理可实现系统，就必须使该系统满足因果性和稳定性两个条件。因果性n0时，h(n)=0稳定性（2） 实现从模拟到数字的转换 在IIR滤波器的实际设计过程中，通常先根据技术指标的要求，设计一个模拟滤波器，然后再将其数字化，这实际上就是要把S平面映射到Z平面，使模拟系统函数H(s)变换成所需的数字滤波器的系统传函H(z)。 这种由复变量s到复变量z之间的映射（变换）关系，必须满足两个基本要求：为了使所设计的数字滤波器保持模拟滤波器的频率特性，应将S平面

17、的虚轴j映射到Z平面的单位圆ej上，即s=j, -z=ej, -为了使所设计的数字滤波器保持模拟滤波器的稳定性，应将S左半平面映射到Z平面的单位圆内，即Res0|z|1总之，利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器时，必须解决两个问题：一是，模拟滤波器的设计，其设计方法包括：巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、考尔（椭圆）滤波器等；二是，从模拟滤波器映射成数字滤波器，主要方法有：冲激响应不变法、双线性变换法、阶跃响应不变法等。三、 用冲激响应不变法设计IIR低通滤波器1. 设计思路所谓冲激响应不变法，就是使数字滤波器的单位冲激响应序列h(n)模仿模拟滤波器的单位冲激响应h(t)。我们首先对模拟滤波器（A

18、F）的单位冲激响应h(t)进行周期为T的等间隔采样，使数字滤波器（DF）的单位冲激响应序列h(n)恰好等于h(t)的采样值，即h(n) = h(t)| t =nT然后再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数H(z)。2. 设计过程确定AF的传函H(s)给定指标求解AF的单位冲激响应h(t)取拉氏反变换获得DF的单位冲激响应序列h(n)采样获得DF的传函H(z)Z变换令t=nT例题：6.3.13. 特点冲激响应不变法中，由S平面到Z平面的变换式定义为令，代入上式，得故有由上式可见，冲激响应不变法中，从模拟（S平面）到数字（Z平面）的映射关系为注意：在此映射过程中，当S平面上由-/T到/T和

19、分别向上和向下扩展时，每一个宽度为2/T的条状区域都重复地映射到整个Z平面，如图所示（参见P158图6.3.1）。利用上述的映射关系，我们不难得出结论：数字滤波器的频率响应H(ej)实际上就是模拟滤波器频率响应H(j)的周期延拓，即根据采样定理，只有当模拟滤波器的带宽被限制在折叠频率（s/2=/T）以内时，才能使数字滤波器的频率响应重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即通过上述讨论可知，冲激响应不变法的特点：由于这种方法是依据h(n) = h(t)| t =nT来设计的，因此，所设计的数字滤波器保持了模拟滤波器的时域瞬态特性，其时域逼近良好；由于数字频率和模拟频率之间满足线性关系，即=

20、T，因而数字滤波器的频率特性不会发生非线性失真；由于映射的重复性，使数字滤波器在频域上产生混叠失真缺点；注意：由于频响的混叠效应，所以冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器，即 对于高通和带阻滤波器滤波器不宜直接采用这种设计方法，必须加保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频率成分； 对于低通和带通滤波器滤波器，需充分限带，若阻带衰减越大，则混叠失真越小；四、 用双线性变换法设计IIR低通滤波器前面介绍的冲激响应不变法是使数字滤波器在时域上模仿模拟滤波器，但是由于从S平面到Z平面是多值的映射关系，从而产生频响的混叠失真。为了克服这个缺点，我们采用双线性变换法来进行设计。1. 设计思路 所谓双线性变

21、换法，就是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法。在利用双线性变换法设计IIR低通滤波器时，为了克服多值映射的缺点，防止频域混叠，我们先采用频带压缩的方法来限制带宽，即将整个S平面压缩到某个中介的S1平面的一个条状区域（-/T /T）内，再通过前面讨论过的标准变换关系，将此条状区域变换到整个Z平面上，从而使S平面与Z平面一一对应，如图所示。频带压缩标准变换2. 变换定义式（只讲结论）（1） 推导过程可略，参见程佩青数字信号处理教程P246247I. 频带压缩先将S平面整个j轴压缩变换为S1平面j1轴上的-/T /T一段，即：将=变换到1=/T，=0变换到1=0，则相应的

22、变换关系为 （6.3.1）由欧拉公式，将上式改写为令j=s，j1=s1，则有II. 标准变换再由标准变换关系，将S1平面映射到Z平面，得III. 引入变换常数c通常，为了使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率相对应，可引入待定常数c，使（6.3.1）式变为 （6.3.2）则同样可得S平面到Z平面的映射关系式 （6.3.3）IV. 确定变换常数c关于常数c的选择，我们采用使模拟滤波器的低频特性近似等于数字滤波器的低频特性的方法来实现，即：在低频处，有当1较小时，有由上述两式和（6.3.2）式，可得故有c=2/T。（2） 结论将c=2/T代入（6.3.3）式，可知双线性变换是一种S平面与Z平

23、面之间的单值映射，其变换式定义为例题：6.3.2, 6.3.33. 特点（1） 由于采用了频带压缩，从而使数字滤波器的频率特性不存在混叠失真，因此设计时，对模拟滤波器无限带要求且可直接用于设计各类（高通/低通/带通/带阻）数字滤波器；（2） 同样，也正是由于采用了频带压缩，从而使数字频率和模拟频率之间不再满足线性关系，因而数字滤波器的频率特性发生非线性失真缺点；注意：对于由频率非线性造成的幅频失真，我们可以通过预畸变补偿法来有效地加以修正，但是这种频率非线性关系还会产生相频失真，若要求所设计的数字滤波器具有严格的线性相位特性，则不宜采用双线性变换法。证：令s= j，z=ej，并代入双线性变换式

24、，得可见，数字频率和模拟频率之间满足非线性关系。4. 设计过程在用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器时，由于数字频率和模拟频率之间存在非线性，因而对于所要设计的数字滤波器的通带、阻带的截止频率p、s，我们应先通过预畸变补偿变换式（T为采样周期）将其变换为相应的模拟滤波器的通带、阻带截止频率p、s，然后再按这两个预畸变后的模拟域频率指标p、s来设计模拟滤波器H(s)。其具体的设计过程为：（1） 由给定的模拟域频率指标确定数字域频率指标假设给定的模拟滤波器通带、阻带截止频率分别为p、s，则利用关系式=T，将其转换成对应的数字滤波器通带、阻带截止频率p、s。（2） 预畸变补偿利用预畸变补偿变换式将

25、数字滤波器通带、阻带截止频率p、s变换为补偿后的模拟滤波器通带、阻带截止频率p、s。（3） 由补偿后的模拟域频率指标设计模拟滤波器H(s)（4） 使用双线性变换法，求数字滤波器H(z)通过双线性变换公式，将模拟滤波器H(s)变换为数字滤波器H(z)，即五、 用频率变换法设计其它IIR数字滤波器前面我们已经讨论了IIR数字低通滤波器的设计方法，那么对于IIR数字高通/带通/带阻滤波器的设计，则我们可以利用频率变换法，并由低通滤波器来实现，其具体方法有两种：一是，先设计一个模拟低通滤波器，然后通过频率变换将此滤波器转换成所需的模拟高通/带通/带阻滤波器，最后再用冲激响应不变法或双线性变换法转换成相

26、应的数字高通/带通/带阻滤波器，如图所示；模拟低通滤波器H(s)模拟-模拟频率变换模拟高通/带通/带阻滤波器H(s1)冲激响应不变法双线性变换法数字高通/带通/带阻滤波器H(z)缺点：由于冲激响应不变法会产生频域的混叠失真，则不宜用来变换高通和带阻滤波器，因此这种变换方法在使用时具有一定的局限性。二是，先设计一个模拟低通滤波器，然后采用冲激响应不变法或双线性变换法将其转换成数字低通滤波器，最后再通过频率变换把这个数字低通滤波器转换成所需的数字高通/带通/带阻滤波器，如图所示；模拟低通滤波器H(s)数字-数字频率变换冲激响应不变法双线性变换法数字高通/带通/带阻滤波器H(z)数字低通滤波器H(z

27、1) 在频率变换法中，由低通滤波器转换成低通、高通、带通或带阻滤波器的变换式及其数学推导可参阅教材P166167表6.3.1所示，我们在这里不多作说明。6.4 有限冲激响应（FIR）数字滤波器设计 我们知道，前面介绍的无限冲激响应（IIR）数字滤波器的优点是可以利用模拟滤波器设计的结果来进行设计，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，因而设计起来方便简单。但是它也有明显的缺点，就是相位的非线性；若设计中要求线性相位，例如图像处理以及数据传输都要求信道具有线性相位特性，这样就需要进行相位校正。但此时，我们完全可以不必对IIR滤波器进行相位校正，而采用有限冲激响应（FIR）滤波器就能实现严格的线性相位

28、。一、 基本性质我们首先研究FIR数字滤波器的传递函数H(z)与相应的单位脉冲响应h(n)之间的关系令，则FIR数字滤波器的频率响应 （6.4.1）1. 线性相位条件由于数字滤波器的相频特性与其延时有密切关系，则我们可以定义：若p()或g()为不随而变化的常量，则这种滤波就称为恒延时滤波。下面我们就从恒延时滤波的要求出发，来推导线性相位FIR滤波器所满足的条件。（1） 恒相延时与恒群延时同时成立要使p()和g()均不随变化，即p()=g()=（常数），则滤波器的相频特性()为一条过原点的直线，即于是有故上式两边交叉相乘，可得由此可证，当满足即脉冲响应h(n)关于中心点偶对称时，FIR滤波器的相

29、频特性()= -，是的线性函数，且其相延时和群延时均为恒定值=(N-1)/2。（2） 只要求恒群延时成立若要使g()不随变化，即g()=（常数），则相频特性()为一条不过原点的直线，即同理可证，当满足即脉冲响应h(n)关于中心点奇对称时，FIR滤波器的相频特性()=/2 -，是的线性函数，且其群延时为恒定值=(N-1)/2。 综上所述，当FIR滤波器的脉冲响应h(n)关于中心点偶对称或奇对称时，该滤波器的相频特性是线性的，且其群延时为恒定值=(N-1)/2。2. 幅频特性根据FIR滤波器脉冲响应h(n)的奇、偶对称特性，以及N取值的奇、偶情况，利用前面介绍的FIR数字滤波器的频率响应表达式公式

30、6.4.1我们可以分四种不同情况来讨论FIR滤波器幅频特性的特点，这里我们不作具体分析参阅程佩青数字信号处理教程P338341。3. FIR数字滤波器的特点具有严格的线性相位以及任意的幅度特性；由于FIR滤波器的单位冲激响应是有限长的，其系统函数是一个所有极点均位于原点的多项式，则滤波器必然是稳定的；只要经过一定的延时，任何非因果有限长序列都能变成因果的有限长序列，因此，FIR滤波器总能用因果系统来实现；由于FIR滤波器的单位冲激响应是有限长的，因而可以用FFT算法来实现过滤信号，从而可大大提高其运算效率；二、 窗函数设计法（傅里叶级数法）FIR数字滤波器的设计方法包括窗函数法、频率取样法和等

31、波纹逼近法等，这里我们着重以矩形窗为例来介绍采用窗函数设计法进行FIR数字低通滤波器的设计。注意：IIR滤波器设计中的各种变换法（冲激响应不变法、双线性变换法等）不能适用于FIR滤波器设计，这是因为IIR滤波器设计中的各变换法是利用有理分式的系统函数，而FIR滤波器的系统函数只是z -1的多项式。1. 设计思想假设给定理想低通滤波器的频率响应为Hd(ej)，要求所设计的FIR滤波器频率响应可以逼近Hd(ej)。由序列的傅里叶反变换，可得理想脉冲响应序列由于Hd(ej)是矩形频率特性，则hd(n)必然是无限长的非因果序列，而我们要设计的FIR滤波器的脉冲响应序列h(n)为有限长的因果序列，所以要

32、用FIR滤波器的脉冲响应序列h(n)来逼近理想脉冲响应序列hd(n)，就必须解决以下两个问题：（1） 序列的项数问题加窗截取要用有限长序列h(n)来逼近无限长序列hd(n)，最有效的方法是截断hd(n)，也就是说，采用一个有限长的窗口函数序列w(n)来截取hd(n)，即若采用最简单的办法加矩形窗，且考虑到前面讨论的FIR滤波器的线性相位条件，可知滤波器的脉冲响应序列h(n)关于中心点(N-1)/2对称，则有复习：FIR滤波器的线性相位条件：当FIR滤波器的脉冲响应h(n)关于中心点偶对称或奇对称时，该滤波器的相频特性是线性的，且其群延时为恒定值=(N-1)/2。（2） 序列的因果性问题延时又由

33、于线性相位条件要求滤波器的延时恒定为=(N-1)/2。综上所述，可得FIR滤波器的脉冲响应序列2. 窗函数的选择由上述分析可知，采用窗函数w(n)可以使理想低通滤波器的脉冲响应序列hd(n)截短并延时，从而得到FIR滤波器的脉冲响应序列h(n)，即由于理想低通滤波器的频率响应则由时域卷积定理可知，加窗处理后FIR滤波器的频率响应故FIR滤波器的幅频特性这表明：加窗后，FIR滤波器的幅频特性H()就是理想低通滤波器的幅频特性Hd()与窗函数幅频特性W()的周期卷积，其结果如图所示（参见教材P171图6.4.4）。Hd(ej)H(ej)由图可见，加窗处理对理想低通滤波器的频率响应造成两方面的影响：

34、（1） 过渡带由窗函数的主瓣引起的使理想频率特性在不连续点处边沿加宽，形成了一个过渡带，其宽度就等于窗口频谱的主瓣宽度，而主瓣宽度与窗宽N成反比，因此，过渡带宽度与所选的窗函数有关，且对于一定的窗函数，增大窗宽N就可使过渡带变陡；注意：这里所说的过渡带是指正负两个肩峰之间的宽度，与滤波器的真正过渡带不同。（2） 肩峰和波动由窗函数的旁瓣造成的使滤波器在通带和阻带内出现了肩峰，并在肩峰的两侧形成了起伏振荡，即所谓的吉布斯现象，其振荡幅度和振荡波的个数则分别取决于窗口频谱中旁瓣的相对幅度及其个数。对于不同的窗函数频谱，其旁瓣情况不同，因此，肩峰和波动与所选的窗函数有关，且增大窗宽N只能使通、阻带内

35、振荡加剧，但并不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，也就不能改变肩峰和波动的相对大小从而使振荡幅度减小。由此可见，通过加窗法来设计FIR滤波器的关键是窗函数的形状及其宽度N的选择。一般，我们希望所选择的窗函数能满足两项要求：主瓣宽度尽可能地窄，以便获得较陡的过渡带；旁瓣相对于主瓣的幅度越小越好，使能量尽量集中于主瓣，这样可使肩峰和波动减小；然而，上述两项要求总是相互制约、不可兼得的，这是由于一般来说，如果所选的窗口频谱中旁瓣幅度较小，其主瓣就必定较宽，以保证能量守恒。因此，我们常常要根据实际需求进行折衷的选择。3. 常用的窗函数（可略，详见教材P171173）现在我们介绍几种常用窗函数w(n)，如图所

36、示（参见教材P172图6.4.5），其宽度为N（奇数或偶数），且关于中心点(N-1)/2偶对称，则窗函数w(n)的频谱其中，幅频函数W()是的实函数，相频函数() 是的线性函数，即（为延时）因此，我们下面就只需考察各个窗函数w(n)及其幅频函数W()的表达式。（1） 矩形窗（2） 三角形窗，又称巴特利特（Bartlett）窗（3） 汉宁（Hanning）窗，又称升余弦窗（4） 哈明（Hamming）窗，又称改进的升余弦窗（5） 布莱克曼（Blackman）窗，又称二阶升余弦窗（6） 凯塞（Kaiser）窗参阅程佩青数字信号处理教程P352353 上述常用窗函数及加窗后FIR滤波器的特性如表6.

37、4.1（参见教材P173表6.4.1）所示。表6.4.1 常用窗函数及加窗后FIR滤波器的特性窗函数旁瓣峰值（dB）主瓣宽度过渡带宽阻带最小衰减（dB）矩形窗-134/N1.8/N-21三角形窗-258/N4.2/N-25汉宁窗-318/N6.2/N-44哈明窗-418/N6.6/N-53布莱克曼窗-5712/N11/N-74凯塞窗（=7.865）-5710/N-80由表可见，上述窗函数的旁瓣衰减依次增大，而主瓣宽度也相应加宽。结论：过渡带的宽度随窗宽N的增加而减小，而阻带最小衰减则仅由窗的形状决定，不受N的影响。4. 设计步骤给定所要求的理想频率响应函数Hd(ej)；确定相应的理想脉冲响应序

38、列由阻带最小衰减及过渡带宽的要求，利用表6.4.1（参见教材P173表6.4.1），确定窗函数w(n)的形状及其宽度N；求得所设计的FIR滤波器的单位脉冲响应计算FIR滤波器的频率响应检验是否满足设计要求，如不满足，则需重新设计。例题：6.4.1, 6.4.2习题：P180 6.7, 6.11, 6.12, 6.156.5 例题与解答例6.2.1 已知模拟滤波器的模方函数求模拟滤波器的传递函数。分析：利用模拟滤波器的模方函数|H(j)|2与其传递函数H(s)之间的关系式求解，即解：将s=j，即2 = -s2代入|H(j)|2，得可见，系统有四个极点s1, 2=3，s3, 4=4和两对零点z1,

39、 2=j2。为了得到一个稳定的滤波系统，则将左半平面的极点分配给H(s)；并取虚轴上的一对共轭零点作为H(s)的零点，以保证H(s)收敛，故模拟滤波器的传递函数为例6.2.2 试设计一个巴特沃思（BW）低通模拟滤波器，使滤波器的幅度响应在通带截止频率105rad/s处的衰减不大于3 dB，在阻带截止频率4105 rad/s处的衰减不小于35 dB。分析：按照6.2中所述的巴特沃思低通滤波器的设计过程来实现。先确定滤波器的阶数N由于公式1则滤波器的阶数公式2注意：N为正整数且截止频率公式3求解位于左半S平面上的极点公式4确定N阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数公式5解：先确定滤波器的阶数N由题意可知

40、，c =p=105rad/s时，通带最大衰减p=3 dBs=4105rad/s时，阻带最小衰减s=35 dB则代入公式1，求得参数和将参数、p和s代入公式2，则滤波器的阶数将参数N、和p代入公式3，可得截止频率求解位于左半S平面上的极点将参数c和N代入公式4，得极点即确定巴特沃斯低通滤波器的传递函数H(s)将参数N、c和sk代入公式5，得巴特沃斯低通滤波器的传递函数H(s)例6.2.3 试导出二阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设c =3 rad/s。分析：本题利用模方函数求出其左半S平面极点，而求得系统函数。N阶巴特沃斯低通滤波器的模方函数定义为在上式中代入j= s，可得而H(s)H(-s)在

41、左半S平面的极点即为H(s)的极点，因此其中，k0由来确定。注意：可以证明，系数k0=cN。解：对于二阶（N=2）巴特沃斯低通滤波器，其模方函数为令j= s，则有各极点满足则k=1, 2时，所得的sk位于左半S平面，即为H(s)的极点由以上两个极点构成的系统函数为代入条件，可得k0 =9 注：k0 =c2，故二阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数例6.2.4 试导出三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设c =2 rad/s。分析：与例6.2.3同理，利用模方函数求出其左半S平面极点，而求得系统函数。解：对于三阶（N=3）巴特沃斯低通滤波器，其模方函数为令j= s，则有各极点满足不难得知，当k=1, 2, 3时，相应的极点sk均位于左半S平面则滤波器的系统函数H(s)的极点因此，三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数为例6.3.1 设模拟滤波器的系统函数为试利用冲激响应不变法，设计IIR数字低通滤波器。确定AF的传函H(s)给定指标求解AF的单位冲激响应h(t)取拉氏反变换获得DF的单位冲激响应序列h(n)采样获得DF的传函H(z)Z变换令t=nT分析：利用冲激响应不变法，设计IIR数字低通滤波器的过程如图所示解：将H(s)展开成部分分式，得对H(s)取拉氏反变换，得对h(t)作周期为T的等间隔采样，得对h(n)取Z变换，得IIR