第八讲数学之路

1、数学史演讲数学史演讲主讲人：林寿教授宁德师范高等专科学校数学系E-mail：主页：http:/ 3部、教材部、教材2 2部，修订著作部，修订著作1 1部。部。19921992年获国务院政府特殊津贴，年获国务院政府特殊津贴，19951995年被授予福建省优秀专家，年被授予福建省优秀专家，19971997年获中国青年科技奖、曾宪梓高等师范院校教师奖一等奖，年获中国青年科技奖、曾宪梓高等师范院校教师奖一等奖，20062006年获福建省科学技术奖二等奖，年获福建省科学技术奖二等奖，20092009年获福建省教学名师。年获福建省教学名师。 宁德师专教授、漳州师院特聘教授、四川大学博士生导师，宁德师专教授

2、、漳州师院特聘教授、四川大学博士生导师， 德国德国数学文摘数学文摘和美国和美国数学评论数学评论评论员。评论员。第第8 8讲讲 1919世纪的代数世纪的代数代数学的新生代数学的新生方程与根方程与根数系扩张数系扩张行列式与矩阵行列式与矩阵布尔代数布尔代数 代数数论代数数论突破传统突破传统高斯(联邦德国, 1955)n1799年高斯(德, 1777-1855)代数基本定理代数基本定理)r-(x)r-)(xr-a(xP(x)n21代数方程根式解代数方程根式解n高斯，数学家、物理学家和天文学家高斯，数学家、物理学家和天文学家n17951795年进入哥廷根大学年进入哥廷根大学 , , 17991799年博

3、士年博士n正正1717边形尺规作图法（边形尺规作图法（17961796）n数论、代数、非欧几何、复变函数和数论、代数、非欧几何、复变函数和微分几何等方面做出了开创性的贡献微分几何等方面做出了开创性的贡献 n近代数学奠基者之一近代数学奠基者之一, ,“数学家之王数学家之王”n“宁可少些，但要好些。宁可少些，但要好些。” 吉拉尔(荷, 1595-1632) 高斯和正17边形(民主德国, 1977)代数方程根式解代数方程根式解代数方程根式解代数方程根式解高斯墓代数方程根式解代数方程根式解韦伯(德, 1804-1891)与高斯n 18241824年阿贝尔年阿贝尔( (挪挪, 1802-1829), 1

4、802-1829)定理定理 拉格朗日n 1770 1770年拉格朗日年拉格朗日( (法法, 1736-1813), 1736-1813)关于代数方程解的思考关于代数方程解的思考：预解式预解式, “, “好像是在向人类的智慧挑战好像是在向人类的智慧挑战”代数方程根式解代数方程根式解n 1799 1799年鲁菲尼年鲁菲尼( (意意, 1765-1822), 1765-1822)定理定理鲁菲尼阿贝尔伽罗瓦n 1829182918311831年伽罗瓦年伽罗瓦( (法法, 1811-1832), 1811-1832)理论理论 阿贝尔(挪, 1983)代数方程根式解代数方程根式解n阿贝尔（挪，180218

5、29）贡献：方程论、无穷级数和椭圆函数论 n16岁开始阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作n1821年，进入奥斯陆大学，1824年，证明了一般5次方程根式解的不可能性 n1825. 5到柏林，1826年5次方程论文发表于克雷尔杂志，完成椭圆函数的论文n1826. 7到巴黎，1826. 10椭圆函数的论文提交法国科学院n1827.5回到奥斯陆, 1829. 4逝世n1830. 6获得法国科学院大奖n1841年椭圆函数论论文发表阿贝尔塑像(1908, 维格兰(挪, 1869-1943)雕塑)代数方程根式解代数方程根式解阿贝尔铜像数学奖数学奖阿贝尔奖(2003- ) 1898年挪威数学家李(1842

6、-1899)提议设立阿贝尔奖。 2001年，挪威政府拨款2亿挪威克郎(约合人民币2.73亿元)设立阿贝尔纪念基金，在阿贝尔诞辰200周年之际设立阿贝尔奖, 从2003年起每年颁发一次。 阿贝尔奖颁发给那些在数学领域做出杰出贡献的数学家，奖金额为600万挪威克朗。 阿贝尔(挪, 2002)数学奖数学奖阿贝尔奖(2003- )20032003年塞尔年塞尔( (法法, 1926- ), 1926- )关于代数拓扑、代数几何获奖关于代数拓扑、代数几何获奖数学奖数学奖阿贝尔奖(2003- )20032003年塞尔年塞尔( (法法, 1926- ), 1926- )关于代数拓扑、代数几何获奖关于代数拓扑、

7、代数几何获奖 伽罗瓦(法,1811-1832)(法, 1984)代数方程根式解代数方程根式解n伽罗瓦贡献：群论，宣告方程根式解这一经历了300年问题的彻底解决，及尺规作图中“三等分任意角”问题和“倍立方”问题不可能n在中学读书时，已经熟悉欧拉、高斯、雅可比（德，18041851）的著作n1829年10月进入巴黎师范学校 n18291831年提交法国科学院的数学奖论文，分别交柯西、傅里叶、泊松n1830年12月被校方开除，两次入狱n出狱一个月后，死于为“爱情与荣誉”的决斗 n1846年论文发表伽罗瓦的遗书我请求我的爱国同胞们，我的朋友们，不要指责我不是为我的国家而死。我是作为一个不名誉的风骚女人

8、和她的两个受骗者的牺牲品而死的。我将在可耻的诽谤中结束我的生命。噢！为什么要为这么微不足道的，这么可鄙的事去死呢？我恳求苍天为我作证，只有武力和强迫才使我在我曾想方设法避开的挑衅中倒下。我亲爱的朋友，我已经得到分析学方面的一些新发现。在我一生中，我常常敢于预言当时我还不十分有把握的一些命题。但是我在这里写下的这一切已经清清楚楚地在我的脑海里一年多了，我不愿意使人怀疑我宣布了自己未完全证明的定理。请公开请求雅可比或高斯就这些定理的重要性（不是就定理的正确与否）发表他们的看法。然后，我希望有人会发现将这些整理清楚会是很有益处的一件事。热烈地拥抱你。代数方程根式解代数方程根式解 有限置换群 1849

9、-1854年凯莱(英, 1821-1895)引入抽象群 伽罗瓦域 1893年韦伯(德, 1842-1913)抽象域抽象化尝试n 1737 1737年欧拉年欧拉( (瑞瑞, 1701-1783), 1701-1783)证明了证明了e e和和e e2 2是无理数是无理数n 17611761年兰伯特年兰伯特( (法法, 1728-1777), 1728-1777)证明了证明了 是无理数是无理数n 18441844年刘维尔年刘维尔( (法法, 1809-1882), 1809-1882)第一次显示了超越数的存在第一次显示了超越数的存在n 18731873年埃尔米特年埃尔米特( (法法, 1822-19

10、01), 1822-1901)证明了证明了e e是超越数是超越数n 18821882年林德曼年林德曼( (德德, 1852-1939), 1852-1939)证明了证明了 是超越数，是超越数，“化圆为化圆为方方”问题的不可能问题的不可能n 欧拉常数是否是无理数欧拉常数是否是无理数? ?数系扩张数系扩张实数n 1811 1811，18311831年高斯年高斯( (德德, 1777-1855), 1777-1855)讨论讨论了复数几何表示了复数几何表示n 1797 1797年韦塞尔年韦塞尔( (挪挪, 1745-1818), 1745-1818)、18061806年阿年阿甘德甘德( (瑞瑞, 17

11、68-1822), 1768-1822)讨论了复数几何表示讨论了复数几何表示数系扩张数系扩张n 17471747年达朗贝尔年达朗贝尔( (法法, 1717-1783), 1717-1783)断言复数表示为断言复数表示为a+iba+ibn 17771777年欧拉年欧拉( (瑞瑞, 1701-1783), 1701-1783)支持用支持用i i表示虚数单位表示虚数单位 复数1837年哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)表示复数为有序实数对1843年哈密顿定义了四元数数系扩张数系扩张 1844年格拉斯曼(德, 1809-1877)引进了n个分量的超复数dkcjbia-1kji222j-ikki i

12、,-kjjk k,-jiij 1847年凯莱(英, 1821-1895)定义了八元数 麦克斯韦(英, 1831-1879)创造了向量分析n哈密顿（爱尔兰，哈密顿（爱尔兰，1805180518651865 ），光学、），光学、力学和代数力学和代数 ，英国声誉仅次于牛顿的数学，英国声誉仅次于牛顿的数学家，物理学家家，物理学家 n自幼聪明，具有非凡的语言能力，自幼聪明，具有非凡的语言能力，“神童神童”n18201820年已阅读牛顿年已阅读牛顿自然哲学的数学原自然哲学的数学原理理，拉普拉斯的，拉普拉斯的天体力学天体力学，18231823年年进入都柏林大学三一学院，进入都柏林大学三一学院，1827182

13、7年任教授年任教授n18341834年发表论文年发表论文“一种动力学的普遍方法一种动力学的普遍方法”n18431843年年1010月月1616日定义了四元数日定义了四元数“思想思想电路接通之火花电路接通之火花”n1837183718451845年任爱尔兰皇家科学院院长年任爱尔兰皇家科学院院长n18661866年遗著年遗著四元数原理四元数原理出版出版哈密顿(爱尔兰, 1943) 哈密顿的四元数(爱尔兰, 1983)数系扩张数系扩张数系扩张数系扩张皇家运河的皇家运河的Broome桥桥纪念匾(1958) 1683年关孝和(日, 1642-1708，“算圣”)完成解伏题之法提出行列式理论和代数方程变换

14、理论1750年克拉默(瑞, 1704-1752)法则1841年凯莱(英, 1821-1895)行列式记号1852年西尔维斯特(英, 1814-1897)惯性定理1858年凯莱证明了凯莱-哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)定理1870年若尔当(法, 1838-1921)建立了若尔当标准形1879年弗罗贝尼乌斯(德, 1849-1917)引入矩阵的秩行列式与矩阵行列式与矩阵凯莱西尔维斯特弗罗贝尼乌斯若尔当行列式与矩阵行列式与矩阵克拉默关孝和布尔代数布尔代数 来源于对数学和逻辑基础的探讨, 莱布尼茨(德, 1646-1716)提出思维演算和逻辑的数学化思想 德摩根(英, 1806-1871)18

15、47年形式逻辑首创关系逻辑研究德摩根布布 尔尔 施罗施罗德德 施罗德(德, 1841-1902)逻辑代数讲义(1890-1905)把布尔的逻辑代数推向顶峰 布尔(英, 1815-1864)用代数方法建立了逻辑代数, 1847年和1854年布尔出版逻辑的数学分析和思维规律研究 全称肯定命题 所有 X 是 Y x(1-y)=0 全称否定命题 所有 X 不是 Y xy=0 特称肯定命题 有些 X 是 Y xy0 特称否定命题 有些 X 不是 Y x(1-y)0 布尔代数布尔代数布尔布尔( (英英, 1815-1864), 1815-1864)，数学、逻辑学家，数学、逻辑学家，5050篇学术论文和两部

16、教篇学术论文和两部教科书，科书，1919世纪数理逻辑的最杰出代表世纪数理逻辑的最杰出代表“自学成才自学成才”著称于世，掌握了拉丁语、希腊语、意大利语、法著称于世，掌握了拉丁语、希腊语、意大利语、法语和德语，自学了牛顿语和德语，自学了牛顿自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理，拉格朗日，拉格朗日解解析函数论析函数论和拉普拉斯和拉普拉斯天体力学天体力学18391839年申请进剑桥大学，年申请进剑桥大学，18441844年发表年发表“关于分析中的一般方法关于分析中的一般方法”，获得皇家学会的皇家奖章获得皇家学会的皇家奖章18491849年爱尔兰科克皇后学院数学教授，年爱尔兰科克皇后学院数学教授，185

17、71857年英国皇家学会会员年英国皇家学会会员 n费马费马n律师律师 n解析几何解析几何n微积分微积分 n概率论概率论 n数论数论l 费马小定理费马小定理: 1640年年10月月18日日l 费马大定理费马大定理“业余数学家之王业余数学家之王”费马费马（法，（法，1601160116651665）l 平方数问题平方数问题l 费马数费马数: 1640年给梅森年给梅森(法法, 1588-1648)的信的信1717世纪的数论世纪的数论 a-a|p ,pa ,pp则互素与是素数如果无非零整数解的自然数对大于n 2 zy xnnn22222435 ,125 ,14n I 如表示为两个平方数之和能以一种方式

18、的素数和它的平方都只形如：个平方数之和超过每个正整数可表示成不：4 IIl1732年欧拉(瑞, 1701-1783)证明F5不是素数l1736年欧拉证明了费马小定理l1742年哥德巴赫(德, 1690-1764)猜想l1753年欧拉宣布证明了n=3时的费马大定理(1770发表)l1754年欧拉证明了费马平方数I问题l1770年拉格朗日(法, 1736-1813)证明了费马平方数II问题l1770年华林(英, 1734-1798)问题1818世纪的数论世纪的数论无解有解) (mod 1,-) (mod 1, )(22paxpaxpa21-q21-p(-1)pq)(qp(l 1783年欧拉明确表述

19、二次互反律: 代数数论. ,19 ,9 ,4 等等个四次方数之和或者是个立方数之和或者是个平方数之和每个自然数或者是高斯高斯算术研究算术研究（18011801）同余理论，复整数理论和型的理论同余理论，复整数理论和型的理论“数学，科学的女皇；数论，数学的女皇。数学，科学的女皇；数论，数学的女皇。” 1800180018201820：天文学；：天文学；1820182018301830：测地学、：测地学、曲面理论、保角映射；曲面理论、保角映射；1830183018401840：数学物理；：数学物理；1841184118551855：拓扑学、几何学：拓扑学、几何学开创德国数学成为世界数学的中心之路开创德国数学成为世界数学的中心之路代数数论代数数论 德国马克上的高斯(1989)高斯和哥廷根(尼加拉瓜，1994)谷神星-地球-月亮(1801)代数数论代数数论l1801年高斯(德, 1777-1855)出版算术研究：二次互反律l 1871-1879年戴德金(德, 1831-1916)创立代数数)5-)(15-(1326 因式分解2)/5-(1,2)/5-(1,2,621212其中希尔伯特希尔伯特 戴德戴德金金库默尔库默尔l 1844-1847年库默尔(德, 181