第八讲机器人动力学牛顿-欧拉方程

1、山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.6小节机器人的杆件的速度山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.6 机器人的杆件的速度基本思路：基本思路： 已知基座速度和各关节的相对速度，从基座速度开始，一步一步递推出末端执行器的速度。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3、机器人的杆件的速度 机器人杆件的速度包括线速度和角速度，下面介绍如何从i杆件的速度递推计算i+1杆件的线速度和角速度。 如图所示，设已知i杆件的速度为i和vi，i+1杆件绕Zi+1轴旋转的角速度为 。 1i山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3

2、、机器人的杆件的速度 则：在i+1坐标系中表示的i+1杆件杆的角速度为：111111iiiiiiiiiZR 在i+1坐标系中表示的i+1坐标系原点的线速度为：)(1111iiiiiiiiiipvRv在i+1中表示的i+1杆的角速度其中 是在i中表示的指向i+1原点的距离。1iip山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3、机器人的杆件的速度例1、一两杆关节机器人如图所示，计算以关节速度为函数的手尖处的速度。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3、机器人的杆件的速度解：1、建立坐标系，如图： 2、求位姿矩阵：100001000022022112cs

3、lscM100001000011001101csscM100001000010001223lM山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3、机器人的杆件的速度得：212233000)(220)(0022212111121211112333lclsllclslRv21220000011v11100022001000220221111122clsllcsscv1杆在1中表示的速度山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3、机器人的杆件的速度如果在基座坐标系中表示，仅需乘以R03。100012120121223120103csscRRRR0)(121)(12

4、121211212113303303330clclslslvRv则：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3、机器人的杆件的速度例2、试求例1中两杆关节机器人的雅克比矩阵。解：由例1知：212233000)(22212111133lclslvJllclsllclslv32122112121211113333311202)(22v则：及山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3、机器人的杆件的速度 雅克比矩阵的行数等于笛卡尔空间自由度，列数等于机器人的关节数。 同理，我们可以求相对基座坐标系的雅克比矩阵。 0)(121)(12121211212113

5、30330clclslslvRv1212112121)(2212210clclclslslslJ所以：10山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.4.3、机器人的杆件的速度 雅克比矩阵的逆为：121121121221)(2121222110clslclclslclsl lJ 当手尖沿X方向以速度1m/s运动时，由雅克比逆矩阵可得：Tv)0 , 1 (021221,21222211slcslcslc 当2=0时，上式分母为零，两关节速度将趋于无穷大，它对应机器人的奇异位置。01121121121221)(212122211021clslclclslclsllvvJyx山东大学机

6、械工程学院机电工程研究所2010/09/02第第4 4章章 机器人操作动力学机器人操作动力学4.14.1、概述、概述4.24.2、机器人的牛顿、机器人的牛顿- -欧拉动力学方程欧拉动力学方程4.34.3、机器人拉格朗日动力学方程简介、机器人拉格朗日动力学方程简介山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.1、概述、概述为什么要研究机器人的动力学问题？为什么要研究机器人的动力学问题？ 1、为了运动杆件，我们必须加速或减速它们，机器人的运动是作用于关节上的力矩与其他力或力矩作用的结果。 2、力或力矩的作用将影响机器人的动态性能。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024

7、.1、概述、概述机器人动力学研究内容：正问题：已知作用在机器人机构上的力和力矩，求机器人机构各关节的位移、速度、加速度，即：F=ma。反问题：已知机器人机构各关节的位移、速度和加速度，求作用在各关节上的驱动力或驱动力矩，即：am=F 。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.1、概述、概述机器人动力学研究方法：目标：根据机器人机构的结构特点、运动学和动力学原理，提出通用、快捷的建立动力学方程的方法。 数学工具：矢量方法、张量方法、旋量方法及矩阵方法等。 力学原理：动量矩定理、能量守恒定理、牛顿欧拉方程、达朗贝尔原理、虚功原理、拉格朗日方程、哈密尔顿原理、凯恩方程等。山东大学机

8、械工程学院机电工程研究所2010/09/024.1、概述、概述几项假设：几项假设： 1、构成机器人的各杆件都是刚体，即不考虑杆件的变形。 2、忽略各种间隙等因数的影响。 3、暂不考虑驱动系统的动力学。15山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.2 机械人的牛顿欧拉方程 机器人动力学的特点： 1、串联机器人由多个杆件经关节轴串联构成，属于多体动力学的研究范畴。 2、各杆件的速度、加速度是关节位置及时间的函数，随机器人杆件构形的不同而改变。 3、机器人动力学的计算复杂，多采用数值递推的方法计算。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.2 机械人的牛顿欧拉方程我们

9、知道： 刚体运动 =质心的平动 + 绕质心的转动其中： 质心平动：用牛顿方程描述。 绕质心的转动：用欧拉方程定义。 它们都涉及到质量及其分布，我们先复习一下转动惯量的计算。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.2 机械人的牛顿欧拉方程 如图所示，设刚体的质量为 ，以质心为原点的随体坐标系 下的惯量矩阵 由六个量组成，表示为：一、一、 惯量矩阵（张量）惯量矩阵（张量）图图3.1mC xyzCI2222()()xiiim yzyz dmI2222()()yiiim zxzx dmI2222()()ziiim xyxy dmIxyyxiiiiim x yx y dmIIyzzyi

10、iiiim y zy z dmIIzxxziiiiim z xz x dmII式中：zzyzxzyzyyxyxzxyxxcIIIIIIIIII山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.2 机械人的牛顿欧拉方程0 xyyzxzIII000000 xCyzIIII 惯量矩阵中的元素 称为惯量矩(Mass moments of inertia)，而具有混合指标的元素称为惯量积(Mass products of inertia)。 对于给定的物体，惯量积的值与建立的坐标系的位置及方向有关；如果我们选择的坐标系合适，可使惯量积的值为零。这样的坐标系轴称为主轴（Principle axes

11、）,相应的惯量称为主惯量。事实上，主惯量是惯量矩阵的三个特征值。zzyyxxIII和、山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.2 机械人的牛顿欧拉方程平行轴定理（Parallel-axis theorem）: 已知相对于某一原点位于物体质心坐标系C的惯量张量，坐标系A平行于坐标系C，则相对于A坐标系的惯量张量为：),(),(),(222222cczzCzzAccyyCyyAccxxCxxAyxmIIzxmIIzymIIccxzCxzAccyzCyzAccxyCxyAzmxIIzmyIIymxII其中： 为质心相对于A坐标系的坐标。),(cccczyxP 20山东大学机械工程学

12、院机电工程研究所2010/09/024.2 机械人的牛顿欧拉方程二、牛顿欧拉方程 我们假设机器人的每个杆件都为刚体，为了运动杆件，我们必须加速或减速它们，运动杆件所需要的力或力矩是所需加速度和杆件质量分布的函数；牛顿方程和用于转动情况的欧拉方程一起，描述了机器人驱动力矩、负载力（力矩）、惯量和加速度之间的关系。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.2 机械人的牛顿欧拉方程 我们先研究质心的平动，如图4.1所示，假设刚体的质量为 ，质心在C点，质心处的位置矢量用 表示，则质心处的加速度为 ；设刚体绕质心转动的角速度用 表示，绕质心的角加速度为 ，根据牛顿方程可得作用在刚体质心

13、C处的力为：mc mFc 图图4.1c山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.2 机械人的牛顿欧拉方程 根据三维空间欧拉方程，作用在刚体上的力矩为： CCM = I + I 图图4.1 以上两式合称为牛顿欧拉方程。式中，M 为作用力对刚体质心的矩， 为绕质心的角速度和角加速度。和山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.2 机械人的牛顿欧拉方程三、加速度计算1、线加速度 如图所示，设坐标系i与i-1杆固联，其原点加速度为ai-1,角速度为i-1;Oi+1随杆件i相对i坐标系旋转，相对转速为 。P为i杆上任意一点。i15山东大学机械工程学院机电工程研究所2010

14、/09/024.2 机械人的牛顿欧拉方程 Pi点的相对速度和加速度为： Pi点的绝对加速度为：)(1 -iiiiiipiPPaa)(21 -1 -1 -1 -1 -iiiieiiieiipiPaPvaaerk)(.iiiiiieiiiePPdtdaPv)()()1 -1 -1 -1 -iiiiiiiiipiPPaa （代入并化简得：即：上述参数都是在基础坐标系中表示的。26山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.2 机械人的牛顿欧拉方程 i+1坐标系原点的加速度为：)(1 -iiiiiiciccaa设i杆件质心为ci,则其加速度为：2、角加速度 i杆的角加速度为：)(1 -1

15、iiiiiioiaaaaiiii 1- i1-山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.2 机械人的牛顿欧拉方程四、作用力和力矩 计算出每个杆件质心的加速度后，我们可以应用牛顿-欧拉方程来计算作用在每个杆件质心的惯性力和惯性力矩。 根据牛顿-欧拉方程，有：iciiiciiciiiIINvmF28山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.2 机械人的牛顿欧拉方程图 2 构件受力图 如图2所示，将第i个构件Li作为隔离体进行分析，作用在其上的力和力矩有：1,.1iiiimm 作用在i杆件上的外力和外力矩，i-1杆件作用在i杆件上的力和力矩，以及i+1杆件作用在i杆件

16、上的力和力矩。29山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3.1 机械臂的牛顿欧拉方程其中： Fi+1,i构件Li+1作用在构件Li上的力。Mi+1,i构件Li+1作用在构件Li上的力矩。Fi-1,i构件Li-1作用在构件Li上的力。Mi-1,i构件Li-1作用在构件Li上的力矩。Fi 作用在第i个构件Li上的外力简化到 质心C处的合力，即外力的主矢。Mi 作用在第i个构件Li上的外力矩简化到质心C处的合力矩，即外力的主矩。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3.1 机械臂的牛顿欧拉方程 上述力和力矩包括了运动副中的约束反力、驱动力、摩擦力等引起的作用力

17、和作用力矩。 作用在第i个构件上的所有力化简到质心的总的合力为：iiiiiifffF1, 1它们都在基础坐标系中表示。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3.1 机械臂的牛顿欧拉方程相对于质心的总的合力矩Mi为： 最后，为了便于递推计算，重新安排力和力矩计算公式为： iiiiiiiiiiiimhfmlfmM1,1, 1, 1iiiiiiFfff1, 1iiiiiiiiiiiiiiMmlflFmhlfm1,1, 1）（iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiimlFlfmhlfmmhfmlFffmM1,1, 11,1,1, 1）（）（山东大学机械工程学院机电工程

18、研究所2010/09/023.3.1 机械臂的牛顿欧拉方程 i杆件需要的关节力矩为相邻杆件作用于它的力矩的Z分量，即：iiiizm, 1牛顿-欧拉方程的递推算法： 由两部分组成：首先，从1号杆到n号杆，向前递推计算各杆的速度和加速度。然后，再从n号杆到1号杆，向后递推计算作用力和力矩，以及关节驱动力矩。 算法过程总结如下：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3.1 机械臂的牛顿欧拉方程向前递推：i: 06iiii 1 - i1 -iii1 -)(1 -1 -1 -1 -iiiiiiciCCvviciiiciiiiiIIvmFMc向后递推：i: 61iiiiiiFfff1,

19、1iiiiiiiiiiiiiiMlFmlfmhlfm1,1, 1）（iiiizm, 1惯性力惯性力矩条件：基础杆件和各关节的角速度和角加速度已知山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/023.3.1 机械臂的牛顿欧拉方程 引力对杆件作用的影响可以通过设置 来实现，这里，G为引力常数。 上面给出了关节型机器人的动力学计算方法，对于移动关节可以推导相应的方程。 对一些相对简单的问题，用上述方法，也可能得到闭式解析结果。 上述递推算法是一种通用算法，可以用于任意自由度数的关节型机器人。Gv 1山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿欧拉方程实例图 3 平面两自由度机器人机

20、构例1 如图3所示的平面两自由度机器人机构。连杆L1质心为C1，质量为m1，驱动力矩为m m1=0 0 m11T，角速度为1=0 0 1T,加速度为1=0 0 1T; 连杆L2质心为C2，质量为m2，驱动力矩为m m2=0 0 m22T，角速度为2=0 0 2T,加速度为2=0 0 2T，山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿欧拉方程实例 选取关节O和关节A处的转角1和2为系统的广义坐标，可以写出连杆L1的牛顿欧拉方程为:0,11,211 1mfffc 0,10,111,21,2111CmflmfhI连杆L2的牛顿欧拉方程为:1,2222mffc 1,21,2222Cmfl

21、I式中:重力驱动力矩Tgm0011fTgm0022fTm1110100 mmTm2220200 mm山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿欧拉方程实例由以上几式消去杆件间作用力，可解得:2222222()Cmm gmIcl1111 11222122212()()Cmm gmm gmm gmIcclchm考虑质心位置：11111sincos0llc11212211212sinsin()coscos()0LlLlc求导得：1 1111 11cossin0ll c2111112111111(sincos)(cossin)0ll c山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/

22、02牛顿欧拉方程实例11121212211121212cos()cos()sin()sin()0LlLlc22111212121 1121212222111212121 1121212sin() sin()cos()cos()cos() cos()sin()sin()0LlLlLlLl c另外：0cos)(sin)(1111111lLlLh0cossin11111lll0)cos()sin(2122122lll山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿欧拉方程实例有：0)cos()sin(0000000000021221222221222111llgccmIIImyxzyx m

23、即： )g)sin()cos()(2122122221211yxzcclmIm 对m22可同样写出矩阵方程。代入加速度分量，得： )gsin()sin(sin)cos()(cos)cos()cos(cos)sin()(-sin-)(21212121112122121211212121211121221212112221211 lLlLlLlLlmImz山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿欧拉方程实例化简可得： 222111221 221 1212 212222 221 22221 22221 212222121211(2cos)(cos)sin2sinsin()()sin

24、zzzmm Llm lm Lm lm lm Llm Llm Llm glmmgl III 222222 221 22122 22221 2122212(cos)()sinsin()zzmm lm L lm lm L lm gl II 上式即为各杆件关节的驱动力计算公式，它是一个以角加速度为变量、变系数的非线性动力学方程。山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿欧拉方程实例以上两式进一步写成：式中： 21111 1122122211212122221 122221122mDDDDDmDDDD 222111221 221 1212 22coszzDm L lm lm Lm lII

25、21222 221 22coszDm lm LlI12221 22sinDm Ll 11221 222sinDm Ll 122121211sin()()sinDm glmmgl 22122 221 22coszDm lm LlI22222 2zDm lI21121 22sinDm Ll22212sin()Dm gl 系数是位置的函数山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿欧拉方程实例 例2：如图所示为两杆平面机器人，为了简单起见，我们假设每个杆件的质量集中于杆件的尾部，其大小为m1和m2。222111,XlPXlPcc解：每个杆件的质量中心矢量为： 由于点质量假设，每个杆件相

26、对质心的惯性张量为零，即：0, 021ccII山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿欧拉方程实例末端执行器上无作用力，所以：0, 033nf0, 000,-1Ygvo基座静止，因此：考虑到引力，我们使用：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿欧拉方程实例应用递推公式有：向前：1杆件：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿欧拉方程实例2杆件：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿欧拉方程实例山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02牛顿欧拉方程实例向后递推：2杆件：1杆件：山东大学机械工程学院机电工程研究

27、所2010/09/02牛顿欧拉方程实例取力矩的Z分量，得到关节力矩：山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02称 为惯量阵， 是离心力、科氏力等相关部分， 为重力部分。特点：多变量、时变、非线性、强耦合。机器人机构动力学方程 通常，机器人的动力学方程常写为抽象的形式：QGVM)(),()( 其中： 为广义坐标向量， 为广义力向量。 )(M)(G),(VQ山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/024.3 机器人拉格朗日动力学方程简介机器人拉格朗日动力学方程简介 拉格朗日方程是基于能量项对系统变量及时间的微分而建立的。对于简单系统拉格朗日方程法相较于牛顿欧拉方程法更显复杂，然而随着系统复杂程度的增加，拉格朗日方程法建立系统运动微分方程变得相对简单。 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02拉格朗日函数为系统的动能 和位能 之差 即：4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介系统拉格朗日方程为： iiidLLQdtqq1, 2,.in式中： niQLkEpEkpLEE 系统的广义坐标数作用在第i