第13章线性系统

1、第13章线性时不变反馈系统 的复频率域综合n本章是对线性时不变反馈系统复频率域综合问题的较为系统和全面的论述。系统模型采用传递函数矩阵及其矩阵分式描述。反馈形式包括状态反馈和输出反馈，而以具有补偿器的输出反馈为主。综合方法采用基于多项式矩阵理论的复频率域方法。13.1 极点配置问题状态反馈 的复频率域综合n极点配置是线性时不变控制系统中最为基本的一类综合准则。状态反馈极点配置问题的求解，既可以采用时间域的状态空间方法，也可采用复频率域的多项式矩阵方法。 状态反馈特性的复频率域分析（1）状态反馈系统 的传递函数矩阵 结论13.1 线性时不变状态反馈系统，受控系统由qp右MFD 表征，表pp列既约

2、矩阵 为列次表达式： K sDN1s sD sDsSDDLchcs则 的右MFD形式传递函数矩阵 为 其中 K sKG sDsNGKK1s sKDsSDsKsDDLchcKs（2）状态反馈对分子矩阵N(s)的影响 结论 13.2 对线性时不变状态反馈系统 ，反馈矩阵K的引入对分子矩阵 没有直接影响，即受控系统 的右MFD 和状态反馈系统 的右MFD 具有相同分子矩阵 。注1：上述结论说明状态反馈矩阵K的引入在配置系统极点同时，一般不影响系统零点的整体分布注2：但需指出 K仍有可能对 产生间接影响。如在由极点配置不当造成的极点零点对消情形中，对消后的分子矩阵不在保持为 。 sN0 sDN1sK

3、sDNK-1sK sN sNK sN注3: 对受控系统传递函数矩阵的元传递函数而言，K的引入在改变极点同时也将导致其零点的改变，这就是为什么对相同极点配置的不同反馈矩阵K,相应 的各个输出变量在时间域行为上会有明显差别。（3）状态反馈对分母矩阵D(s)的影响 （i）不改变分母矩阵的列次数 （ii）不改变分母矩阵的列次系数阵 （iii）可改变分母矩阵的低次系数阵（4）扩大状态反馈功能的途径 扩大状态反馈功能的一个途径是，在引入状态反馈同时附加引入输入变换，构成如图所示包含输入变换的线性时不变状态反馈系统 ，其中pp输入变换阵H为非奇异，即KHK0detH(5)包含输入变换的状态反馈系统的传递函数

4、矩阵结论13.5 对所示包含输入变换的线性时不变状态反馈系统 ，受控系统由qp右MFD 表征，则的右MFD形式传递函数矩阵 为 其中(6)包含输入变换的状态反馈系统的功能结论13.6 对所示包含输入变换的线性时不变状态反馈系统 ，反馈矩阵K和非奇异输入变换矩阵H的引入，可同时改变分母矩阵D(s)的列次系数阵和低次系数阵。特别是，若取 ，则可使 的分母矩阵 的行列式为首1多项式，即有 HK sDN1sHK sHKG sDNGHKHK1ss sKDHsSDHsKsDHDLchcHK)(s111HKhcDH HK sHKD sKDDsSDLchcHK)(s1极点配置的复频率域综合 即讨论线性时不变受

5、控系统基于状态反馈的极点配置问题的复频率域综合方法（1）问题的提法给定严真线性时不变受控系统，由qp不可简约右MFD 表征，D(s)和N(s)为pp和qp多项式矩阵，D(s)为列既约，且有 即列次数 不失一般性令 给定n个任意期望极点值： 且有 或为实数，或为共轭复数 期望特征多项式 那么，状态反馈极点配置问题就是，确定一个pp非奇异输入变换矩阵H和一个pn状态反馈矩阵K，使包含输入变换的线性时不变状态反馈系统 满足 sDN1s)(ksDcii?21kkpknkiip1*3*2*1,?*n*3*2*1,?*n sii*n1sHK 进一步，若令为严真 的控制器形实现，则上述极点配置问题就等价于确

6、定一个pp非奇异输入变换矩阵H和一个pn状态反馈矩阵K,使成立： 即 闭环系统矩阵特征值= 基此，也称极点配置问题为特征值配置问题(2) 极点配置的基本结论 结论13.7 对所示包含输入变换的线性时不变状态反馈系统 ,受控系统由qp严真不可简约右MFD 表征，表pp列既约矩阵D(s)为列次表达式：再表期望特征多项式为 sDsNGHKHK1s ssDHK*)(det sHKBAsIc*c)-(det?HK*2*1,?*n?HKHK sDN1s sDsSDDLchc) s ( )(21*211)()(skknknnssassas)()().(111ssspkknpp其中， 即列次数。那么，若取输入

7、变换矩阵H和状态反馈矩阵K使有则状态反馈系统 可实现期望极点配置，即有 sDciikhcDH 0101)(.)(s1sasaKpHK)()(det*ssDHK结论13.8 求解反馈矩阵方程 (3) 极点配置的综合算法(4)综合举例 例13.1特征值-特征向量配置的复频率域综合 特征值-特征向量配置是对极点配置问题的自然推广。(1)问题的提法 )(-0101)(.)(s1hc1sDDsasaKLcpHK给定严真线性时不变受控系统，设由qp不可简约右MFD 表征，D(s)和N(s)为pp和qp多项式矩阵，D(s)为列既约。给定期望性能指标，包括一组期望闭环特征值和一组期望特征向量。表期望闭环特征值

8、组为且为实数或共轭复数，并满足两两相异限制。其中 即列次数。表期望特征向量组为 且满足限制条件：(i) 为属于的值域空间的n1常向量，即可表为 。其中， 为任意p1非零向量，为D(s)的低次阵(ii) 为线性无关(iii) 当 为实数，相应 为实向量；当 和 为共轭复数，相应 和 为共轭复向量。 基此，特征值-特征向量配置问题就是，确定一个pp非奇异输入变换矩阵H和一个pn状态反馈矩阵K,使包含输入 sDN1s*n*2*1,., p1,iciiisDknknfff,.,21if ipf*iiip ?sn1,2,.,i ,fi*iif*i*1iif1fi变换的线性时不变状态反馈系统 的状态空间描

9、述具有期望特征值组 和期望特征向量组(2) 特征值-特征向量配置的基本结论结论13.9 对所示包含输入变换的线性时不变状态反馈系统 ,受控系统由qp严真不可简约右MFD 表征，表pp列既约矩阵D(s)为列次表达式：那么若取输入变换矩阵H和状态反馈矩阵K为 则状态反馈系统 可实现特征值-特征向量期望配置，即 的传递函数矩阵的控制器形实现 具有期望特征值组 和期望特征向量组 HKn1,2,.,i ,*in1,2,.,i ,fiHK sDN1sHK sDsSDDLchc) s (hcDH KDffggDKnn1hc1, 111hc.,.,-?HKHK sDsNGHKHK1s sKDDsSDLchcH

10、K1scccCHBHKBA,cn1,2,.,i ,*in1,2,.,i ,fi(3) 特征值-特征向量配置的综合算法(4)综合举例13.2 极点配置问题的观测器- 控制器型补偿器的综合 极点配置的状态反馈具有结构简单和易于综合的特点。状态反馈的问题在于状态不可量测导致的物理不可实现性。基本解决途径是引入状态观测器，利用重构状态取代真实状态构成状态反馈，以兼顾期望极点配置和物理可实现性的要求。观测器-控制器型补偿反馈实质上就是具有观测器状态反馈的复频率域形式。HK问题的提法 给定线性时不变受控系统，由qp严真传递函数矩阵G(s)表征，并表为不可简约严真右MFD ,D(s)和N(s) 为pp和qp

11、多项式矩阵，D(s)为列既约。 给定任意期望闭环极点组： ， 即列次数 它们可为实数或共轭复数。由期望闭环极点组还可导出期望闭环特征多项式为 基于观测器-控制器型补偿反馈的极点配置问题就是，构造补偿器以实现如下两方面的综合要求。(i)闭环控制系统 满足期望极点配置。综合一个补偿器，使 的极点为期望极点 ，即等价地满足 sDN1sn1,2,.,i ,*i sDkkcjjpjj,n1 *0*11*11*.)(sasasassnnnniiCFCFn1,2,.,i ,*i (ii)观测器-控制器型补偿器满足物理可实现性。一是反馈方式满足物理可实现性，即构成反馈的系统变量使可量测的，如输出y和输入u。二

12、是补偿器满足物理可实现性，即其传递函数矩阵为真。观测器-控制器型反馈极点配置的原理性综合 简而言之，问题的实质是，以为综合指标，导出闭环控制系统 的组成结构和原理性补偿器的传递函数矩阵。其中 为由期望闭环极点组导出的期望闭环特征多项式， 和 为闭环分母矩阵及其列次系数矩阵。 (1)期望闭环分母矩阵 结论13.10 对给定期望闭环极点组 ，表对应期望闭环特征多项式为 sDsNGHKHK1s)()(det)(det*1ssDDCFfht)()(det)(det*1ssDDCFfhtCF)(*sCFDhcDf)(*sDCFn1,2,.,i ,*i 其中 即列次数则以 为特征值的一个期望闭环分母矩阵

13、为 且有 即列次数， 的列次系数阵 (2)状态反馈矩阵).()(21*1211)(.)()()(pkknpkknknnssssssss sDkkncjjpjj,1n1,2,.,i ,*i)(*sDCFp21s1-01-0s1-)(.)()()(21*kkpkCFsssssD)(*sDkkCFcjjjpjkn1*j)(*sDCFn*fhcID结论13.11 给定线性时不变受控系统的qp不可简约严真右MFD ，pp分母矩阵D(s)为列既约。现取pp状态反馈矩阵M(s)为 其中 为期望闭环分母矩阵，则可使对应状态反馈系统 实现对任意期望闭环极点组 的配置。(3)状态反馈系统 的物理不可实现性 结论13.12 线性时不变反馈系统 ，尽管满足期望极点配置，但由于部分状态 为不可量测和M(s)为多项式矩阵，因而是物理上不能实现的。观测器-控制器型反馈极点配置的可实现性综合(1)控制功能等价于 的结构物理可实现输出输入反馈系统 (2)以形式MFD表征补偿器(3)以真正MFD表征补偿器 sDN1s )()(s*sDsDMCF s*CFDKn1,2,.,i ,*iKK)(sKCF(4)构造阵MFD表征的补偿器(5)物理可实现输出输入反馈系统的传递函数 结论3.17 对兼顾期望极点配置和物理可实现性得到的线性时不变输出输入反馈系统 ，即以真 与真 表征的输出输入反馈系统，其以MFD表示的