第四章_相似原理和量纲分析

1、第四章第四章相似原理和量纲分析相似原理和量纲分析4.14.1 流动的力学相似流动的力学相似4.24.2 动力相似准则动力相似准则4.34.3 流动相似条件流动相似条件4.44.4 近似的模型试验近似的模型试验4.5 4.5 量纲分析法量纲分析法4.1 4.1 流动的力学相似流动的力学相似三类表征流动过程的物理量：三类表征流动过程的物理量：流场的几何形状 流体的运动状态 流体的动力性质 模型与原型的全部对应线性长度的比例相等L一、几何相似一、几何相似 L长度比例尺长度比例尺面积比例尺面积比例尺体积比例尺体积比例尺llkl222lAkllAAk333lVkllVVk线性长度对应成比例，则对应角度必

2、然相等。 l l 4.1 4.1 流动的力学相似流动的力学相似 模型与原型的流场在满足几何相似的基础上，所有对应点和对应时刻的流速方向相同而流速大小的比例相等。二、运动相似二、运动相似 vvkvvltkkvlvlttk/lvtvakkkktvtvaak2/速度比例尺速度比例尺加速度比例尺加速度比例尺时间比例尺时间比例尺4.1 4.1 流动的力学相似流动的力学相似 模型与原型的流场在满足几何相似的基础上，所有对应点和对应时刻的流速方向相同而流速大小的比例相等。二、运动相似（续）二、运动相似（续） vltlVVqkkkktltlqqkV2333/体积流量比例尺体积流量比例尺运动粘度比例尺运动粘度比

3、例尺角速度比例尺角速度比例尺vltlkkkktltlk222/lvkklvlvk/4.1 4.1 流动的力学相似流动的力学相似 模型与原型的流场所有对应点和对应时刻，作用在流体上的所有力彼此方向相同，而它们大小的比例相等。三、动力相似三、动力相似 FgFPFaPFgFFamFiFgFPFaPFgFFiFma .giPFPgiFFFFkFFFF力的比例尺力的比例尺PFFgFiF总压力总压力切向力切向力重力重力惯性力惯性力4.1 4.1 流动的力学相似流动的力学相似四、几何相似、运动相似和动力相似三者间的关系四、几何相似、运动相似和动力相似三者间的关系 动力相似是决定运动相似的主导因素。 几何相似

4、、运动相似和动力相似是模型流场和原型几何相似、运动相似和动力相似是模型流场和原型流场相似的重要特征。流场相似的重要特征。 几何相似是流动力学相似的前提条件。 运动相似是几何相似和动力相似的表现。4.1 4.1 流动的力学相似流动的力学相似五、基本比例尺、其它动力学比例尺五、基本比例尺、其它动力学比例尺 lk长度比例尺长度比例尺速度比例尺速度比例尺密度比例尺密度比例尺vk22/vlFVaFiikkkkkkaVFVaFk常选取、l、v的比例尺为为基本比例尺 4.1 4.1 流动的力学相似流动的力学相似五、基本比例尺、其它动力学比例尺（续）五、基本比例尺、其它动力学比例尺（续） 用基本比例尺表示的其

5、它动力学比例尺22FlvFkk k kF力的比例尺力的比例尺力矩（功、能）比例尺力矩（功、能）比例尺压强（应力）比例尺压强（应力）比例尺23vllFMkkkkkFllFMMk 功率比例尺功率比例尺动力粘度比例尺动力粘度比例尺2/vAFPPpkkkkAFAFppk32vlvFPkkkkkFvvFPPk/()lvxxF dyFdykk k kA dvAdv4.2 4.2 动力相似准则动力相似准则一、牛顿相似准则一、牛顿相似准则dtVdvt dvdVFF/2222vlFvlF 122vlFkkkkNevlF22牛顿数牛顿数 模型与原型的流场动力相模型与原型的流场动力相似，它们的牛顿数必定相等。似，它

6、们的牛顿数必定相等。Fm aFma FgFPFaPFgFFamFiFgFPFaPFgFFiFm a 4.2 4.2 动力相似准则动力相似准则二、各单项力相似准则二、各单项力相似准则 模型与原型的流场动力相似，则作用在流场上的各种性质的力（如重力、黏性力、压力、弹性力、表面张力等）都要服从牛顿相似准则，即各单项力作用下的相似准则）。重力相似准则重力相似准则黏性力相似准则黏性力相似准则表面张力相似准则表面张力相似准则弹性力相似准则弹性力相似准则压力相似准则压力相似准则()mamamgmg ()xxmamadvdvAAdydy ()mamapApA ()mamaKAKA ()mamall 4.2 4

7、.2 动力相似准则动力相似准则二、各单项力相似准则（续）二、各单项力相似准则（续）1.重力相似准则在重力作用下相似的流动，其重力场相似。glggFkkkVggVFFk31)(2/1glvkkk代入代入Frglvlgv 2/12/1)()( FrFr弗劳德数，表征惯弗劳德数，表征惯性力与重力的比值。性力与重力的比值。122vlFkkkk两个流场重力相似，它们的弗劳德数必定相等，反之亦然。弗劳德数反映重力对流体的作用，与重力有关的现象由Fr决定，例如波浪运动，兴波阻力等。FrFr 4.2 4.2 动力相似准则动力相似准则二、各单项力相似准则（续）二、各单项力相似准则（续）2.黏性力相似准则在黏性力

8、作用下相似的流动，其黏性力场相似。代入代入122vlFkkkklvxxFkkkAdydvAydvdFFk)/()/(1vlvlk k kk kkkRev lvlv lvl Re雷诺数，表征惯性雷诺数，表征惯性力与粘滞力的比值。力与粘滞力的比值。两个流场黏性力相似，它们的雷诺数必定相等，反之亦然。雷诺数反映黏性力对流体的作用，与黏性力有关的现象由Re决定，比如流动的流态：湍流，层流。ReRe l为定型尺寸4.2 4.2 动力相似准则动力相似准则二、各单项力相似准则（续）二、各单项力相似准则（续）3.压力相似准则在压力作用下相似的流动，其压力场相似。代入代入122vlFkkkk2lpppFkkpA

9、ApFFk12vpkkkEuvpvp22 Eu欧拉数，表征压力与欧拉数，表征压力与惯性力的比值。惯性力的比值。两个流场压力相似，它们的欧拉数必定相等，反之亦然。欧拉数反映压力对流体的作用，与压力有关的现象由Eu决定，比如空泡现象、空泡阻力等。EuEu 4.2 4.2 动力相似准则动力相似准则二、各单项力相似准则（续）二、各单项力相似准则（续）4.弹性力相似准则对于可压缩流的模型试验，由压缩引起的弹性力场相似。代入代入122vlFkkkk2/lKeeFkkVKAdVVVdAKdpAApdFFk12KvkkkCaKvKv22 Ca柯西数，表征惯柯西数，表征惯性力与弹性力的比值。性力与弹性力的比值。

10、CaCa 4.2 4.2 动力相似准则动力相似准则二、各单项力相似准则（续）二、各单项力相似准则（续）4.弹性力相似准则弹性力相似准则（气体）222, vvvCaMaKcc Ma马赫数，表征惯性力马赫数，表征惯性力与弹性力的比值。与弹性力的比值。对于气体满足2/cK（c c为声速），为声速），两个流场弹性力相似，它们的马赫数必定相等，反之亦然。马赫数反映弹性力对流体的作用，与弹性力有关的现象由Ma决定，比如气体高速流动的特征等。MaMa 4.2 4.2 动力相似准则动力相似准则二、各单项力相似准则（续）二、各单项力相似准则（续）5.表面张力相似准则在表面张力作用下相似的流动，其表面张力分布相似

11、。代入代入122vlFkkkklFkkllFFk 12kkkkvlWelvlv22 We韦伯数，表征惯性韦伯数，表征惯性力与表面张力的比值。力与表面张力的比值。两个流场表面张力相似，它们的韦伯数必定相等，反之亦然。韦伯数反映表面张力对流体的作用，与表面张力有关的现象由We决定，比如液体射流的分裂与雾化等。WeWe 4.3 4.3 流动相似条件流动相似条件一、流动相似条件一、流动相似条件保证流动相似的必要和充分条件。1.相似的流动都属于同一类的流动，应为相同的微分方程所描述。2.单值条件相似几何条件3.由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等。边界条件（进口、出口的速度分布等）物性条件（密度、

12、黏度等）初始条件（初瞬时速度分布等）4.3 4.3 流动相似条件流动相似条件二、相似条件解决的问题二、相似条件解决的问题2.试验中应测定准则数中包含的需要测定的一切物理量,并把它们整理成相似准则数。3.按相似准则数去整理试验结果,总结得出的准则方程式,可推广应用到原型及其相似流动中。1.根据单值条件相似和定性准则数相等的原则去设计模型,选择模型中的流动介质。相似条件解决的问题定性物理量定性物理量: :单值条件中已知的各物理量定性准则数定性准则数: :定性物理量组成的相似准则数4.4 4.4 近似的模型试验近似的模型试验 在设计模型和组织模型试验时，在与流动过程有关的定性准则中只考虑那些对流动过

13、程起主导作用的定性准则，而忽略那些对过程影响较小的定性准则，以达到模型流动与原型流动的近似相似。例如例如: :不可压缩黏性流体管内流动不可压缩黏性流体管内流动对流动起主导作用的力是黏性力,故主要保持模型与原型Re相等。对流动起主导作用的力是重力,故主要保持模型与原型Fr相等。特例：特例：“自模化自模化”现象现象有自由面的流动（明渠流动）有自由面的流动（明渠流动）4.4 4.4 近似的模型试验近似的模型试验例：某大坝的泄洪道宽为20m，设计泄洪能力为125m3/s。现准备用1:15的模型来研究此泄洪道的流通特性。试确定模型的宽和流量。对应于泄洪道泄洪24h，模型应工作多长时间？解：按照几何相似，

14、模型的宽应为1201.33 m15lbb k 除了宽以外，其他的几何尺寸也应具有同样的比例尺。这种有自由面的流动主要是重力起作用，故模型和原型Fr相等则可认为动力相似，即/vglvgl由于g=g，则/ (1)lvvllk4.4 4.4 近似的模型试验近似的模型试验VqvA由于流量 ，则25/2115VVqv AllqvAll 所以5/2311250.143 m /s15Vqtlkk时间比例系数、长度比例系数和速度比例系数之间有关系式vltkkvlvlttk/ (1)lvvllk所以1/50246.2 httk t 可见模型的实验时间比对应原型的工作时间短得多。只要长度的比例系数 ，模型的实验时

15、间就可比对应原型的工作时间短。这一点很有用，这说明发生在原型的漫长过程，可以在模型实验中短时间内完成。 1lk 4.5 4.5 量纲分析法量纲分析法一、物理方程量纲一致性原则一、物理方程量纲一致性原则1.量纲物理量单位的种类，用符号dimx或x表示。基本量纲：基本量纲：长度（L）、时间（T）、质量（M）、温度（）具有独立性、唯一性彼此独立、不能互相导出的量纲称为基本量纲。任何物理方程中各项的量纲必定相同，这就是量纲的一致性原理。只有同种量才能相加减，长度和重量相加减没有意义。4.5 4.5 量纲分析法量纲分析法一、物理方程量纲一致性原则一、物理方程量纲一致性原则( (续）续）1.量纲（续）导出

16、量纲：导出量纲：速度dimv = LT-1 加速度dima = LT-2 密度dim = ML-3 力dimF = MLT-2 压强dimp = ML-1T-2 表面张力dim = MT-2 体积模量dimK = ML-1T-2 动力粘度dim = ML-1T-1 运动粘度dim = L2T-1 比热容dimcp= dimcv = L2T-2-1 气体常数dimR = L2T-2-1。4.5 4.5 量纲分析法量纲分析法一、物理方程量纲一致性原则一、物理方程量纲一致性原则( (续）续）2.物理方程量纲一致性原则 正确描述自然现象的物理方程，其各项的量纲必然相同。 用量纲表示的物理方程必定是齐次

17、性的。 满足量纲齐次性的物理方程，可用任一项去除其余各项，使其变满足量纲齐次性的物理方程，可用任一项去除其余各项，使其变为无量纲方程，即准则方程式。为无量纲方程，即准则方程式。例如例如: :伯努利方程伯努利方程Hgpzgv22122gHpHzgHv无量纲方程无量纲方程4.5 4.5 量纲分析法量纲分析法二、瑞利法二、瑞利法 假设一种物理量（被定量）y受另一些物理量（主定量）x1、 x2、. 、xn的影响并由其决定，则可用主定量的幂次之积的函数来表示被定y。基本思想：假定各物理量之间是指数形式的乘积组合。1212k.naaanyx xx式中，k为无量纲系数，由试验确定。 a1、 a2、. 、an

18、为待定指数，根据量纲一致性原则求出。 已知管流的特征流速已知管流的特征流速vc与流体的密度与流体的密度、动力粘度、动力粘度和管径和管径d有关，试有关，试用瑞利量纲分析法建立用瑞利量纲分析法建立vc的公式结构。的公式结构。解式中k为无量纲常数。各物理量的量纲为：1311dim, dimdim, dimcvLTMLML TdL代入指数方程，则得相应的量纲方程假定kcvdLTMLMLLT)()(11314.5 4.5 量纲分析法量纲分析法根据量纲齐次性原理，有1:31:0:TLM解上述三元一次方程组得：1, 1, 1故得：dkvc其中常数k需由实验确定。w瑞利法一般用于影响流动的参数个数不超过瑞利法一般用于影响流动的