D_多元函数的极限连续性

1、目录 上页 下页 返回 结束 第五章 第二节第二节一、多元函数的概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限与二、多元函数的极限与连续性连续性三、多元连续函数的性质三、多元连续函数的性质多元函数的基本概念多元函数的基本概念 目录 上页 下页 返回 结束 一、多元函数的概念一、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积圆柱体的体积 定量理想气体的压强定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式,2hrV ,(为常数）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTVcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappShr目录 上页 下页

2、返回 结束 定义定义1. 设非空点集设非空点集,nDRDPPfu, )(或点集点集 D 称为函数的称为函数的定义域定义域 ; 数集数集DP,Pfuu)(称为函数的称为函数的值域值域 . .特别地特别地 , 当当 n = 2 时时, 有二元函数有二元函数2),(),(RDyxyxfz当当 n = 3 时时, 有三元函数有三元函数3),(),(RDzyxzyxfu映射映射RDf :称为定义称为定义在在 D 上的上的 n 元函数元函数 , 记作记作),(21nxxxfu目录 上页 下页 返回 结束 xzy例如例如, 二元函数二元函数221yxz定义域为定义域为1),(22 yxyx圆域圆域说明说明:

3、 二元函数二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面图形为中心在原点的上半球面., )sin(,yxz 又如的图形一般为空间曲面的图形一般为空间曲面 .12),(Ryx三元函数三元函数 )arcsin(222zyxu定义域为定义域为1),(222zyxzyx图形为图形为4R空间中的超曲面空间中的超曲面.单位闭球单位闭球xyzOO目录 上页 下页 返回 结束 等值线等值线 ： 另一种表示函数另一种表示函数z z= =f f( (x x, ,y y) )的方法是利用的方法是利用xOyxOy面上的曲线族。面上的曲线族。当点当点(x,y)在其中每一在其中每一条曲线

4、条曲线f(x,y)都取相同的值都取相同的值所谓的等值线所谓的等值线f f( (x x, ,y y）= =C C， 其中其中C C为常数。它表示为常数。它表示0( , )f x yC0C上变化时上变化时. 函数函数目录 上页 下页 返回 结束 容 易 看 出 ， 等 值 线容 易 看 出 ， 等 值 线f(x,y)=C实际上就是曲实际上就是曲面面z=f(x,y)与平面与平面z=C 的交线在的交线在xOy平面上的平面上的投影。因此投影。因此,将等值线将等值线f(x,y)=C族中各曲线升族中各曲线升到相应得高度到相应得高度z=C处就处就不 难 想 象 出 曲 面不 难 想 象 出 曲 面z=f(x,

5、y)的图像的图像目录 上页 下页 返回 结束 例例 画出函数画出函数22yxz的的等值线，等值线， 并由此等值线并由此等值线解解: : 显然等值线为显然等值线为可知，可知， 此曲面仅位于此曲面仅位于xOy平面的上方，平面的上方， 与与xOy平面平面讨论此曲面的形状。讨论此曲面的形状。容易看出，当容易看出，当C0时，等值线时，等值线是以原点为中心的同心圆是以原点为中心的同心圆 ，C越越Cyx22小半径越小小半径越小; C=0时为原点时为原点O(0,0); C0, 使得12x x时， 恒有12| ( )( )|f xf x注：注：有界闭区域都是连通的紧集，故上述定理对有界闭区域都是连通的紧集，故上

6、述定理对有界闭区域上的连续函数都成立。(一致连续性定理) 目录 上页 下页 返回 结束 .11lim00yxyxyx解解: : 原式) 11(1) 1(lim200yxxyyxyx21例例5. .求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例例6. 求函数的连续域.解解:02 yx2yx 111lim00yxyx2Oyx21111yxyx目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 多元函数概念n 元函数),(21nxxxf常用二元函数 (图形一般为空间曲面)三元函数DP)(Pfu nR目录 上页 下页 返回 结束 APfPP)(lim0,0,0时，当PP 00有APf)(2. 多元函数的