函数的极限01855PPT学习教案

1、会计学1函数的极限函数的极限018552【数列极限数列极限】axnn 时，时，)(nfxn 整标函数整标函数【函数的极限函数的极限】)(xfy 有有 0 xxx两大类情形两大类情形的一般概念。的一般概念。以引出函数极限以引出函数极限的特殊性撇开，这样可的特殊性撇开，这样可若将若将 n第1页/共30页3单击任意点开始观单击任意点开始观察察.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx1. .【引例引例】单击任意点开始观单击任意点开始观察察单击任意点开始观单击任意点开始观察察单击任意点开始观单击任意点开始观察察单击任意点开始观单击任意点开始观察察单击任意点开始观单击任意点开始观察察单

2、击任意点开始观单击任意点开始观察察 观察完毕观察完毕)(xf第2页/共30页4【问问题题 1】函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中, , 对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A. . ; )()(任意小任意小表示表示AxfAxf .的过程的过程表示表示 xXx. 0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察: :【问题问题2】 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”. .是在是在 x 的过的过程中实现的程中实现的即即x时时, f(x)0.2.【直观定义直观定义】在在

3、x时，函数值时，函数值f (x)无限接近于一无限接近于一个确定的常数个确定的常数A ,称称A为为f (x)当当x时的极限时的极限.第3页/共30页53. .【精确定义精确定义】如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数( (不论它多么小不论它多么小) )，总存，总存在着正数在着正数X ，使得当，使得当|x| X 时，恒有时，恒有|f (x) -A| 00, , 总存在总存在 00, , 使得当使得当0| |x- -x0 | | ,恒有恒有| |f (x) - -A| 成立，则称成立，则称x x0时函数时函数f (x)以常数以常数 A为极限为极限，记为记为).()()(lim00 xxAxfA

4、xfxx 或或【注意注意】;)(0是是否否有有定定义义无无关关在在点点即即函函数数极极限限与与xxf . ) )( ( . 有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数b00 . xxa 意味着意味着0 xx . 也越小也越小越小，越小，通常通常 （但不是函数关系，（但不是函数关系，因因不唯一）不唯一）第9页/共30页114. .【几何意义几何意义】)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo. , ,越小越好越小越好后后找到一个找到一个显然显然 极限存在极限存在函数局部有界函数局部有界(P36定理定理2)这表明这表明: |xx|00)x,x()x,x(x0000 |A)x(f| A)x(fA的带形

5、区域内的带形区域内宽为宽为为中心线，为中心线，以以落于落于时时当当 2)(),(U0oAyxfyxx 第10页/共30页12【例例2】).( ,lim0为常数为常数证明证明CCCxx 【证证】Axf )(CC , 成立成立 , 0 任任给给0 .lim0CCxx , 0 任任取取, 00时时当当 xx【例例3】.lim00 xxxx 证明证明【证证】,)(0 xxAxf , 0 任任给给, 取取, 0 0时时当当 xx0)(xxAxf , 成成立立 .lim00 xxxx 第11页/共30页135. .【单侧极限单侧极限】【例如例如】. 1)(lim :0, 10,1)(02 xfxxxxxf

6、x证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx, 0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近 00 ; 0 xxxx或或记作记作, 0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近 00 ; 0 xxxx或或记作记作yox1xy 112 xy 右极限右极限左极限左极限第12页/共30页14【左极限左极限】.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当【右极限右极限】.)(, , 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当000 000 xxxxxxxxx .)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记

7、作【注意注意】第13页/共30页15.)0()0()(lim000AxfxfAxfxx .lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等, ,.)(lim0不存在不存在xfx【例例6】【证证】1)1(lim0 xxxxxxx 00limlim11lim0 x课后习题第课后习题第11题（自证）题（自证）【极限存在定理极限存在定理】第14页/共30页161. .【唯一性唯一性】【定定理理 1 1】 若若)(lim0 xfxx存存在在, ,则则极极限限唯唯一一. . 【注注】以下仅以以下仅以 形式为代表给出函数极形式为代表给出函数

8、极 限的一些定理，其它形式类推之。限的一些定理，其它形式类推之。)(lim0 xfxx【证明证明】（略）（自证）（略）（自证）第15页/共30页17【定理定理2】 )(lim 0，如果如果Axfxx 00 和和则则 M 0 0，时时使得当使得当 xx . )( Mxf 有有【证证】Axfxx )(lim 0因为因为0 1 必必，则取则取时，时，当当 0 0 xx有有AAxfxfAxf )()(1)(1 A1 AM记记则定理则定理2得证得证2. .【局部有界性局部有界性】第16页/共30页18).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim00 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或

9、或且且若若 3. .【局部保号性局部保号性】【证证】 0 的情形的情形仅证仅证 A 0)(lim 0，因为因为 Axfxx0 02 必必，则取则取A时，时，当当 0 0 xx有有022)( 2)( AAAxfAAxf【证完证完】容易推得下面更强的结论容易推得下面更强的结论：【定理定理3 】第17页/共30页19【定理定理3* *】 )0( )(lim 0，如果如果 AAxfxx 那么存在那么存在 )( 00，的某去心邻域的某去心邻域xUx )( 0，时时当当xUx . 2)( Axf 就有就有【补证补证】 )0( )(lim 0，因为因为 AAxfxx 02 ，对对 A 时时当当， 0 0 0

10、 xx有有2)(2 2)(AAxfAAAAxf 即即（1） , 0 时时当当 A由由（1）式得式得232)(2 2 AAAxfAAA AA 注意到注意到 第18页/共30页20).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim00 AAxfxfxUxAxfxx或或则则或或时时当当且且若若 【推论推论】【证明证明】 利用定理利用定理3反证之（反证之（略略）. .2)( Axf 从而从而 0 ，时时当当 A由由（1）式得式得22)(2 23 AAAxfAAA 2)( Axf 亦有亦有【证完证完】AA 注意到注意到第19页/共30页214. .【子列收敛性子列收敛性】( (函数极限与数列极限的关系

11、函数极限与数列极限的关系) ) .)(),(,),(),(,)( ).)( ),( 21000时的子列时的子列当当为函数为函数即即函数值数列函数值数列则称相应地则称相应地但但有数列有数列中中或或可以是可以是设在过程设在过程axxfxfxfxfxfaxnaxxxxaaxnnnn 【定义定义】.)(lim , )()(,)(lim00AxfxxxfxfAxfnnnxx 则有则有时的一个子列时的一个子列当当是是数列数列若若【定理定理4】第20页/共30页22【分析分析】Axfnn )(lim 欲证欲证时时当当寻找寻找即证即证 , 0 , 0 NnN Axfn)(【证证】.)( , 0 , 0, 00

12、 Axfxx恒有恒有时时使当使当Axfxx )(lim0,lim00 xxxxnnn 且且又又第21页/共30页23.0, 0, 00 xxNnNn恒有恒有时时使当使当对上述对上述,)( Axfn从而有从而有.)(limAxfnn 【例如例如】xxysin 1sinlim0 xxx, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn【证完证完】综合上述画线部分即综合上述画线部分即得得第22页/共30页24函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系（海因定理）（海因定理）函数极限存在的函数极限存在的充要条件充要条件是它的任何子列的是它的任何子列的极限都

13、存在极限都存在, ,且相等且相等. .【说明说明】常用海因定理来判断函数在某变化过程常用海因定理来判断函数在某变化过程中的中的极限不存在极限不存在【推广推广】方法一：方法一： 找两子列，求得对应的两函数值子列找两子列，求得对应的两函数值子列极限值不相等极限值不相等. .或找一个子列，对应的函数值子列的或找一个子列，对应的函数值子列的极限值不存在极限值不存在. .方法二：方法二：第23页/共30页25xy1sin 【例例7】（补）（补）.1sinlim0不存在不存在证明证明xx【证证】 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,221 nxn又取又取, 0lim nnx; 0 nx

14、且且 nxnnnsinlim1sinlim 而而, 0 第24页/共30页26, 1 )22sin(lim1sinlim nxnnn而而二者不相等二者不相等, ,.1sinlim0不存在不存在故故xx【补充练习补充练习】【解解】验证验证)11(lim0 xxx不存在不存在01 nxn取取和和)( 0211 nnxn0)(nxf但但21)( nxf由海因定理由海因定理故原极限不存在故原极限不存在2sinlim n令令 xxxf11)(第25页/共30页27【数列、函数极限的统一定义数列、函数极限的统一定义】;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻( (见下表见下表) )第26页/共30页28过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf Axf)(第27页/共30页29【思考题思考题】试问函数试问函数 0,5