九年级数学（上册）知识点归纳

1、. .PAGE13 / NUMPAGES1322.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： 只含有一个未知数；未知数的最高次数是2；是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax+ bx + c = 0(a 0).其中，ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 22.2

2、降次解一元二次方程 22.2.1配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x=a(a0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=,x2=. （2） 直接开平方法适用于解形如x=p或(mx+a)=p(m0)形式的方程，如果p0，就可以利用直接开平方法。 （3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：移项；使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；两边直接

3、开平方，使原方程变为两个一元二次方程；解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1） 把常数项移到等号的右边； 方程两边都除以二次项系数； 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 22.2.2公式法 知识点一 公式法解一元二次方程 （1） 一般地，对于一元二次方程ax+bx+c=0(a0)，如果b-4ac0，那么方程的两个根为x=

4、，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0(a0)的过程。 （3） 公式法解一元二次方程的具体步骤： 方程化为一般形式：ax+bx+c=0(a0)，一般a化为正值 确定公式中a,b,c的值，注意符号； 求出b-4ac的值； 若b-4ac0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b-4ac0，则方程无实数根。 知识点二 一元二次方程根的判别式 式子b-4ac叫做方程ax+bx+c=0(a0)根的

5、判别式，通常用希腊字母表示它，即=b-4ac. 0，方程ax+bx+c=0(a0)有两个不相等的实数根 一元二次方程 =0，方程ax+bx+c=0(a0)有两个相等的实数根 根的判别式 0，方程ax+bx+c=0(a0)无实数根 22.23 因式分解法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 （1） 把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。 （2） 因式分解法的详细步骤： 移项，将所有的项都移到左边，右边化为0； 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； 令每一个因式分别

6、为零，得到一元一次方程； 解一元一次方程即可得到原方程的解。 知识点二 用合适的方法解一元一次方程 方法名称 理论依据 适用围 直接开平方法 平方根的意义 形如x=p或（mx+n）=p(p0) 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 当ab=0，则a=0或b=0 一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。 22.2.4一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程x+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程ax+bx+c=0(a0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=-b/a，,x1x

7、2=c/a 22.3 实际问题与一元二次方程 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以与它们之间的等量关系。 （2） 设：是指设元，也就是设出未知数。 （3） 列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。 （4） 解：就是解方程，求出未知数的值。 （5） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 （6） 答：写出答案。 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1） 数字问题 三个连续整数：若设

8、中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c. （2） 增长率问题 设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1）=b。 （3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有：总利润=总销售价-总成本；总利润=单位利润总销售量；利润=成本利润率 （4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。 二

9、次函数 1.定义：一般地，如果y=ax+bx+c（a,b,c是常数,），那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数y=ax的性质 (1)抛物线y=ax的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数y=ax的图像与的符号关系. 当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点 3.二次函数y=ax+bx+c 的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线. 4.二次函数y=ax+bx+c用配方法可化成：y=a(x-h)+k的形式，其中h=-b/2a,k=4ac-b/4a. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： y=ax；y=ax+k；y=a(x-h)；y=a(x-h)+k；y=

10、ax+bx+c. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a决定抛物线的开口方向： 当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状一样. 平行于y轴(或重合)的直线记作x=h.特别地，y轴记作直线x=0. 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a一样，那么抛物线的开口方向、开口大小完全一样，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法：，顶点是，对称轴是直线. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是. (3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的

11、连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9.抛物线中，a,b,c的作用 (1)a决定开口方向与开口大小，这与中的a完全一样. (2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故： b=0时，对称轴为y轴； (即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧； (即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧. (3)c的大小决定抛物线与y轴交点的位置. 当x=0时，y=c，抛物线与y轴有且只有一个交点(0，c)： c=0，抛物线经过原点; c0,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍

12、成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 x=0(y轴) （0,0） 当a0时 x=0(y轴) (0,k) 开口向上 x=h(h,0) 当a0时 x=h(h,k) 开口向下 11.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式：.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. (2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：. 12.直线与抛物线的交点 (1)y轴与抛物线得交点为(0,c) (2)与y轴平行的直线x=h与抛物线有且只有一个交

13、点(h,). (3)抛物线与x轴的交点 二次函数的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 两个交点抛物线与x轴相交； 一个交点(顶点在x轴上)抛物线与x轴相切； 没有交点抛物线与x轴相离. (4)平行于x轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是的两个实数根. (5)一次函数的图像l与二次函数的图像G的交点，由方程组 的解的数目来确定： 方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; 程组只有一组解时l与G只有一

14、个交点；程组无解时l与G没有交点. (6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与x轴两交点为，由于、是方程的两个根，故13二次函数与一元二次方程的关系： (1)一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况 (2)二次函数的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量x的值，即一元二次方程的根 (3)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程没有实数根 14.二次函数的应

15、用： (1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值； (2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系； 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值 15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓 第二十三章 旋转 23.1 图形的旋转 知识点一 旋转的定义 在平面，把一个平面图形绕着平面某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中

16、心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 知识点二 旋转的性质 旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： （1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 知识点三 利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为： 连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心

17、； 转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； 接：即连接到所连接的各点。 23.2 中心对称 知识点一 中心对称的定义中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 注意以下几点： 中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180两个图形能够完全重合。 知识点二 作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形

18、的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。 知识点三 中心对称的性质 有以下几点： （1） 关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分； （2） 关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形； （3） 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。 知识点四 中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 知识点五 关于原点对称的点的坐标 在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。 第二十

19、四章 圆 24.1 圆 24.1.1 圆 知识点一 圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 知识点二 圆的相关概念 （1） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一

20、条弧都叫做半圆。 （3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 24.1.2 垂直于弦的直径 知识点一 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.

21、1.3 弧、弦、圆心角 知识点 弦、弧、圆心角的关系 （1） 弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 （3） 注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角一样，但此时弧、弦不一定相等。 24.1.4 圆周角 知识点一 圆周角定理 （1） 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 （2） 圆周角定理的推论：半圆（或

22、直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对弦是直径。 （3） 圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。 知识点二 圆接四边形与其性质 圆接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 圆接四边形的性质：圆接四边形的对角互补。 24.2 点、直线、圆和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系 知识点一 点与圆的位置关系 （1） 点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆三种。 （2） 用数量关系表示：若设O的半径是r，点P到

23、圆的距离OP=d，则有： 点P在圆外 dr； 点p在圆上 d=r； 点p在圆 dr。 知识点二 过已知点作圆 （1） 经过一个点的圆（如点A） 以点A外的任意一点（如点O）为圆心，以OA为半径作圆即可，这样的圆可以作无数个。 （2） 经过两点的圆（如点A、B） 以线段AB的垂直平分线上的任意一点（如点O）为圆心，以OA（或OB）为半径作圆即可，这样的圆可以作无数个。 （3） 经过三点的圆 经过在同一条直线上的三个点不能作圆 不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。如经过不在同一条直线上的三个点A、B、C作圆，作法：连接AB、BC（或AB、AC

24、或BC、AC）并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点O，以点O为圆心，以OA（或OB、OC）的长为半径作圆即可，这样的圆只能作一个。 知识点三 三角形的外接圆与外心 （1） 经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。 （2） 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。 知识点四 反证法 （1） 反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。 （2） 反证法的一般步骤： 假设命题的结论不成立； 从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的

25、结论； 由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。 24.2.2 直线和圆的位置关系 知识点一 直线与圆的位置关系 （1） 直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。 （2） 直线与圆的位置关系可以用数量关系表示 若设O的半径是r，直线l与圆心0的距离为d，则有： 直线l和O相交 d r； 直线l和O相切 d = r； 直线l和O相离 d r。 知识点二 切线的判定和性质 （1） 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2） 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 （3） 切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切

26、线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 知识点三 切线长定理 （1） 切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 （2） 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 （3） 注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。 知识点四 三角形的切圆和心 (1) 三角形的切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。 (2) 三角形的心：三角形切圆的

27、圆心叫做三角形的心。 (3) 注意：三角形的心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的心已知时，过三角形的顶点和心的射线，必平分三角形的角。 24.2.3 圆和圆的位置关系 知识点一 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种： 如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和含两种； 如果两个圆只有一个公共点，就说这两个圆相切，包括切和外切两种； 如果两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交。 圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示： 若设两圆圆心之间的距离为d，两圆的半径分别是r1 r2,且r1 r2，则有 两圆外离dr1+r2 两圆外切 d=r1+r2 两圆相交 r2-r1dr1+r2 两圆

28、切 d=r2-r1 两圆含 dr2-r1 24.3 正多边形和圆 知识点一 正多边形的外接圆和圆的接正多边形 正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n（n是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。 正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。 正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。 知识点二 正多边形的性质 （1） 正n边形的半径和边心距把正多边形分成2n个全等的直角三

29、角形。 （2） 所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心；当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也是中心对称图形，正n边形的中心就是对称中心。 （3） 正n边形的每一个角等于，中心角和外角相等，等于。 24.4 弧长和扇形面积 知识点一 弧长公式l= 在半径为R的圆中，360的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2R，所以n的圆心角所对的弧长的计算公式l=2R=。 知识点二 扇形面积公式 在半径为R的圆中，360的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=R，所以圆心角为n的扇形的面积为S扇形=。 比较扇形的弧长公式和面积公式发现： S扇形= 知识点三 圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2r，因此圆锥的侧面积。圆锥的全面积为。 25.1 随机事件与概率 25.1.1 随机事件