第八章协整理论4(中山大学)

1、时间序列发展历史时间序列发展历史1 1、时间序列分析奠基人：、时间序列分析奠基人： 2020世纪世纪4040年代分别由年代分别由Norbort Wiener Norbort Wiener 和和Andrei Kolemogoner Andrei Kolemogoner 独立给出的，他独立给出的，他们对发展时间序列的参数模型拟和和推们对发展时间序列的参数模型拟和和推断过程作出了贡献，提供了与此相关的断过程作出了贡献，提供了与此相关的重要文献，促进了时间序列分析在工程重要文献，促进了时间序列分析在工程领域的应用。领域的应用。2、时间序列分析在经济领域的应用、时间序列分析在经济领域的应用 20世纪世纪

2、70年代，年代，G.P.Box 和和G.M.Jenkins发表专发表专著著时间序列分析：预测和控制时间序列分析：预测和控制，使时间，使时间序列分析的应用成为可能。序列分析的应用成为可能。3、现代时间序列分析的发展趋势、现代时间序列分析的发展趋势（1）单位根检验（）单位根检验（2）协整检验）协整检验2003年度诺贝尔经济学奖的获得者是美国经济年度诺贝尔经济学奖的获得者是美国经济学家罗伯特学家罗伯特.恩格尔和英国经济学家克莱夫恩格尔和英国经济学家克莱夫.格格兰杰。兰杰。获奖原因：获奖原因：“今年的获得者发明了处理许多经今年的获得者发明了处理许多经济时间序列两个关键特性的统计方法：时间济时间序列两个

3、关键特性的统计方法：时间变化的变更率和非平稳性。变化的变更率和非平稳性。”两人是时间序两人是时间序列经济学的奠基人。列经济学的奠基人。时间变化的变更率指方差随时间变化而变化的时间变化的变更率指方差随时间变化而变化的频率，这主要是指恩格尔在频率，这主要是指恩格尔在1982年发表的条年发表的条件异方差模型（件异方差模型（ARCH），最初主要用于研），最初主要用于研究英国的通货膨胀问题，后来广泛用作金融究英国的通货膨胀问题，后来广泛用作金融分析的高级工具；分析的高级工具；传统的计量经济学研究中，通常假定经济数据传统的计量经济学研究中，通常假定经济数据和产生这些数据的随机过程是平稳的。格兰和产生这些数

4、据的随机过程是平稳的。格兰杰的贡献主要是在非平稳过程假定下所进行杰的贡献主要是在非平稳过程假定下所进行的严格计量模型的建立。（协整检验）的严格计量模型的建立。（协整检验）在前面介绍的在前面介绍的ARMA模型中要求经济时间序模型中要求经济时间序列是平稳的，但是由于实际应用中大多数列是平稳的，但是由于实际应用中大多数时间序列是非平稳的，通常采用差分方法时间序列是非平稳的，通常采用差分方法消除序列中含有的非平稳趋势，使得序列消除序列中含有的非平稳趋势，使得序列平稳化后建立模型，这就是上节介绍的平稳化后建立模型，这就是上节介绍的ARIMA模型。但是变换后的序列限制了所模型。但是变换后的序列限制了所讨论

5、经济问题的范围，并且有时变换后的讨论经济问题的范围，并且有时变换后的序列由于不具有直接的经济意义，使得化序列由于不具有直接的经济意义，使得化为平稳序列后所建立的时间序列模型不便为平稳序列后所建立的时间序列模型不便于解释。于解释。5 1987年年Engle和和Granger提出的协整理论及其方法，提出的协整理论及其方法，为非平稳序列的建模提供了另一种途径。为非平稳序列的建模提供了另一种途径。虽然一些经虽然一些经济变量的本身是非平稳序列，但是，它们的线性组合济变量的本身是非平稳序列，但是，它们的线性组合却有可能是平稳序列。这种平稳的线性组合被称为协却有可能是平稳序列。这种平稳的线性组合被称为协整方

6、程，且可解释为变量之间的长期稳定的均衡关系整方程，且可解释为变量之间的长期稳定的均衡关系 例如，消费和收入都是非平稳时间序列，但是具例如，消费和收入都是非平稳时间序列，但是具有协整关系。假如它们不具有，那么长期消费就可能有协整关系。假如它们不具有，那么长期消费就可能比收入高或低，于是消费者便会非理性地消费或累积比收入高或低，于是消费者便会非理性地消费或累积储蓄。储蓄。 假定一些经济指标被某经济系统联系在一起，那么假定一些经济指标被某经济系统联系在一起，那么从长远看来这些变量应该具有均衡关系，这是建立和检从长远看来这些变量应该具有均衡关系，这是建立和检验模型的基本出发点。在短期内，因为季节影响或

7、随机验模型的基本出发点。在短期内，因为季节影响或随机干扰，这些变量有可能偏离均值。如果这种偏离是暂时干扰，这些变量有可能偏离均值。如果这种偏离是暂时的，那么随着时间推移将会回到均衡状态；如果这种偏的，那么随着时间推移将会回到均衡状态；如果这种偏离是持久的，就不能说这些变量之间存在均衡关系。协离是持久的，就不能说这些变量之间存在均衡关系。协整整(co-integration)可被看作这种均衡关系性质的统计表示。可被看作这种均衡关系性质的统计表示。 协整概念是一个强有力的概念。因为协整允许我们协整概念是一个强有力的概念。因为协整允许我们刻画两个或多个序列之间的平衡或平稳关系。对于每一刻画两个或多个

8、序列之间的平衡或平稳关系。对于每一个序列单独来说可能是非平稳的，这些序列的矩，如均个序列单独来说可能是非平稳的，这些序列的矩，如均值、方差和协方差随时间而变化，而这些时间序列的线值、方差和协方差随时间而变化，而这些时间序列的线性组合序列却可能有不随时间变化的性质。性组合序列却可能有不随时间变化的性质。 协整协整单整的概念单整的概念 如果序列平稳，说明序列不存在单位根，这时如果序列平稳，说明序列不存在单位根，这时称序列为零阶单整序列，简记为称序列为零阶单整序列，简记为 假如原序列一阶差分后平稳，说明序列存在一假如原序列一阶差分后平稳，说明序列存在一个单位根，这时称序列为一阶单整序列，简记个单位根

9、，这时称序列为一阶单整序列，简记为为 假如原序列至少需要进行假如原序列至少需要进行d阶差分才能实现平阶差分才能实现平稳，说明原序列存在稳，说明原序列存在d个单位根，这时称原序个单位根，这时称原序列为阶单整序列，简记为列为阶单整序列，简记为 )0( Ixt) 1 ( Ixt)(dIxt单整的性质单整的性质若若 ，对任意非零实数，对任意非零实数a，b，有有若若 ，对任意非零实数，对任意非零实数a，b，有有若若 ， 对任意非零实数对任意非零实数a，b，有有若若 ， 对任意非零实数对任意非零实数a，b，有有)0( Ixt)(dIxt)0( Ixt)0( Iyt)(dIxt)(cIyt)0( Ibxat

10、)(dIbxat)0( Ibyaxzttt)(kIbyaxzttt,maxcdk 协整的概念协整的概念假定自变量序列为假定自变量序列为 ，响应变量，响应变量序列为序列为 ，构造回归模型，构造回归模型 假定回归残差序列假定回归残差序列 平稳，我们称响应平稳，我们称响应序列序列 与自变量序列与自变量序列 之间具有之间具有协整关系。协整关系。 ,1kxxtykitititxy10 tty ,1kxx k 维向量维向量Yt=（y1t，y2t，ykt） 的分量间被称为的分量间被称为d,b阶协整，记为阶协整，记为Yt CI (d，b)，如果满足：，如果满足： (1) Yt I (d)，要求，要求 Yt 的

11、每个分量的每个分量 yit I (d)； (2)存在非零向量存在非零向量 ，使得，使得 Yt I (d - b)，0 b d 。 简称简称 Yt 是协整的，向量是协整的，向量 又称为协整向量。又称为协整向量。 需要注意的是：需要注意的是： (1) 作为对非平稳变量之间关系的描述，协整向量是作为对非平稳变量之间关系的描述，协整向量是不惟一的；不惟一的； (2) 协整变量必须具有相同的单整阶数；协整变量必须具有相同的单整阶数； (3) 最多可能存在最多可能存在 k -1个线性无关的协整向量个线性无关的协整向量(yt的维的维数是数是k)； (4) 协整变量之间具有共同的趋势成分，在数量上成协整变量之

12、间具有共同的趋势成分，在数量上成比例比例 。 协整与误差修正模型协整与误差修正模型一、长期均衡关系与协整一、长期均衡关系与协整二、协整检验二、协整检验三、误差修正模型三、误差修正模型一、长期均衡关系与协整一、长期均衡关系与协整0、问题的提出、问题的提出经典回归模型（经典回归模型（classical regression model）是建立在是建立在稳定数据变量基础上的，对于非稳定变量，不能使用经典稳定数据变量基础上的，对于非稳定变量，不能使用经典回归模型，否则会出现回归模型，否则会出现虚假回归虚假回归等诸多问题。等诸多问题。由于许多经济变量是非稳定的，这就给经典的回归分析方由于许多经济变量是非

13、稳定的，这就给经典的回归分析方法带来了很大限制。法带来了很大限制。但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，即它们之间是即它们之间是协整的（协整的（cointegration)，则，则是可以使用经典回归模型方是可以使用经典回归模型方法建立回归模型的。法建立回归模型的。例如，例如，中国居民中国居民人均消费水平人均消费水平与与人均人均GDPGDP变量的例子中：变量的例子中： 因果关系回归模型要比因果关系回归模型要比ARMAARMA模型有更好的预测功能，模型有更好的预测功能， 其其原因在于原因在于，从经济理论上说，人均，从经济理论上说，人均GDP决定着居民人均决定着

14、居民人均消费水平，而且它们之间有着长期的稳定关系，即它们之消费水平，而且它们之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的（间是协整的（cointegration）。）。一、协整理论产生的背景一、协整理论产生的背景1、20世纪世纪70年代以前的建模技术以时间序列年代以前的建模技术以时间序列平稳为前提设计的。平稳为前提设计的。2、理论假定与现实的矛盾。、理论假定与现实的矛盾。3、协整理论的产生、协整理论的产生-计量经济学方法研究的计量经济学方法研究的新阶段新阶段-Granger首先提出了伪回归问题（首先提出了伪回归问题（1974）；）；-1978年，年，EngleGranger发表论文发表论文“协整

15、与协整与误差修正误差修正”，正式提出，正式提出“协整协整”（cointegration）概念）概念二、与协整检验有关的两个问题：单位根和误二、与协整检验有关的两个问题：单位根和误差修正模型差修正模型1、单位根：、单位根：协整检验处理的是非平稳时间序列，单位根检协整检验处理的是非平稳时间序列，单位根检验就是要说明一个时间序列的平稳性。验就是要说明一个时间序列的平稳性。包括包括DF和和ADF检验检验2、误差修正模型（、误差修正模型（Error Correction Model, ECM）：）：ECM由、由、Hendry、Srba于于1978年提出的。年提出的。单位根过程的定义单位根过程的定义1、随

16、机过程随机过程y t ,t=1,2, 若若y t=yt-1+ t ，其中其中=1，t 为稳定过程，为稳定过程，E（ t ）=0，Cov（ t ，t - s ）= s11时，时， 11时，就是平稳过程。时，就是平稳过程。4、单位根过程与稳定过程的本质区别、单位根过程与稳定过程的本质区别1212212111222211221,( )0,( )()ttttttTtttTttTTtttttttTTttttyyEDyyyyyyyyrereeesrreer-=-=-=-=+=0）uvuuvuvv11010,78.2012.22,78.20712.22)1ln(HT拒绝，临界值为查表85.38)03039.

17、 01ln()05603. 01ln()1105. 01ln(189)1ln(310iiT查表6,=0.05，情况三，临界值为29.509,38.8529.509,拒绝H0。(2)整关系。最终选择认为有一个协。接受，临界值为。，至少有两个协整关系拒绝临界值为021032110,149 .10149 .10)1ln(2 .1573.16, 2 .1573.16)1ln(1:; 1:HTHTrHrHii4、协整向量、协整向量最大特征值最大特征值 1=0.1105对应的特征向量就是协整向量，对应的特征向量就是协整向量，有有*111156. 004. 0)56. 004. 01 (1)4220. 00

18、280. 07579. 0(1tttvvpsp即，得将其第一个元素规范为第四节第四节 误差修正模型误差修正模型(ECM)一、协整系统的表述一、协整系统的表述;)(, 0)() 1 (.)(,.,2 , 1) 1 (, ) ,.,(1221121ttitptptttinDEnnyyyypVARyyniIyyyyy矩阵，是其中，形式，即有若为向量单位根过程。称且、若)2(.11,.,2 , 1,.)(1.)(111112121221tptptttpssspttnPpnyyyypsyLnILLLIL）可表示为：则（令）可表示为：阶单位阵，则（为2、）（即表示，即可以用假定令因此有有，其余大于等于）的

19、特征方程有一个根故（为向量单位根过程，由于3)()(.)(,)(),0(),1 (., 1, 1, 0.111221121221ttttptpttttttttttnpjippntLuyLuMAuyuyEIyIyIjiLLLLLIy010)()4)(1 ()()(, 0)(,1)()()(1)(1)()()()(13ttiittttttttLtyyLLLLLLLLLyLLLLyLLL这样，）上式左边为（）（）得：由（）（）有）右乘（以假定假定yt的元素之间存在的元素之间存在k个独立的协整关系，且协整向个独立的协整关系，且协整向量为量为）得：由（则令）（对应的协整向量矩阵为3.)()()()0(.

20、,2100112, 1jjjjjtjttititiitttkiLuLuIyAA0)(1,1)(450)(0)0()()()(010010LLLLLLLAAIyAALAtAyAyALtyytttiitttiit）（，当）（）由（）（，的充要条件是：故),.,2 , 1().(0) 1 (, 0110) 1 (10) 1 (0)(121nibAbAiAALAyikiiiiiiit线性表示，即可由为协整向量，因此，个行向量，由）的第（是令）（）（的协整充要条件）的行向量亦满足（因此，)6(.) 1 (.,2)(),.(111111111110210121tptptttptptttpnntkyyyAB

21、yyyyABIIykBrbbbBAB即有误差修正形式：令）两端同减式（）（最后由二、二、Granger表述定理表述定理设设 yt是是n维维I(1)随机过程，若随机过程，若yt中有中有k个协整关系，即存个协整关系，即存在在n*k阶矩阵阶矩阵A，r(A)=k,使得使得）给出。（等价地由误差修正形式），使得（）（，满足矩阵），且存在）表述为式（的若）（且621101),0(ABBknpVARyAIyAzttt三、误差修正模型（三、误差修正模型（ECM）1、ECM的主要形式是由的主要形式是由Davidson、Hendry、Srba和和Yeo于于1978年提出。它将变量之间的短期与长期联年提出。它将变量

22、之间的短期与长期联系有机地结合在一起。系有机地结合在一起。2、ECM的形式的形式（1）对于（）对于（1，1）阶自回归分布滞后模型）阶自回归分布滞后模型)2()1)(1()1)(1()() 1() 1() 1() 1 (1231121012311210131121013121111101312101131210tttttttttttttttttttttttttttttttzyzzyzzyzzyzzzyzzyzyyzyzy右边出现两边同减式（式（2）为误差修正模型，）为误差修正模型，为误差修正项。为误差修正项。（2）对模型的理解）对模型的理解ECM的被解释变量是的被解释变量是yt，因此，实际上是一

23、，因此，实际上是一个短期模型，反映了个短期模型，反映了yt的短期波动的短期波动yt是如何是如何被决定的。被决定的。若若y与与z之间存在长期均衡关系，即之间存在长期均衡关系，即y=az，在，在式（式（1）中，若）中，若)1(12311ttzyzEz 则，不考虑常数项则，不考虑常数项衡。分：短期波动、长期均的波动可以分解为两部于是，被解释变量衡对短期波动的影响。所以，它反映了长期均形式接近。这与误差修正项得：两边同取期望，设tttttttttyzyzyzyzyyyEzyzy123112313211312111)(误差修正模型的含义：误差修正模型的含义：y t受另一变量的受另一变量的z t的影响；的

24、影响；受（受（yt-1- ）的影响。均值对一序列而言是）的影响。均值对一序列而言是恒定的，实际序列值与均值离差对恒定的，实际序列值与均值离差对y t的的影的的影响，表示一种恒定力量对响，表示一种恒定力量对y t的作用，称为长的作用，称为长期均衡影响。期均衡影响。 表明表明 是由是由 决定的，也就是决定的，也就是说，说，y与与z之间有长期均衡关系，它们的均值之之间有长期均衡关系，它们的均值之间才会存在稳定关系。间才会存在稳定关系。yzy2311yyz 经济理论指出经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期，某些经济变量间确实存在着长期均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破均衡关系，这种均衡

25、关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后坏均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行偏离其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。调整以使其重新回到均衡状态。 假设假设X与与Y间的长期间的长期“均衡关系均衡关系”由式描述由式描述 1 1、长期均衡、长期均衡tttXY10式中:t是随机扰动项。 该均衡关系意味着该均衡关系意味着: :给定X的一个值，Y相应的均衡值也随之确定为0+1X。 在在t-1期末，存在下述三种情形之一：期末，存在下述三种情形之一： （1）Y等于它的均衡值：Yt-1= 0+1Xt

26、 ； （2）Y小于它的均衡值：Yt-1 0+1Xt ； 在时期t，假设X有一个变化量Xt，如果变量X与Y在时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，则Y的相应变化量由式给出:tttvXY1式中，vt=t-t-1。 实际情况往往并非如此实际情况往往并非如此 如果如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即期末，发生了上述第二种情况，即Y的值小于的值小于其均衡值，则其均衡值，则Y的变化往往会比第一种情形下的变化往往会比第一种情形下Y的变化的变化 Yt大一些；大一些； 反之，如果反之，如果Y的值大于其均衡值，则的值大于其均衡值，则Y的变化往往会小的变化往往会小于第一种情形下的于第一种情形下的 Yt

27、。 可见，可见，如果如果Yt= = 0 0+ + 1 1Xt+ + t t正确地提示了正确地提示了X与与Y间的长间的长期稳定的期稳定的“均衡关系均衡关系”，则意味着，则意味着Y对其均衡点的偏离从对其均衡点的偏离从本质上说是本质上说是“临时性临时性”的。的。 因此，因此，一个重要的假设就是一个重要的假设就是: :随机扰动项随机扰动项 t t必须是平必须是平稳序列。稳序列。 显然，如果显然，如果 t t有随机性趋势（上升或下降），则会导有随机性趋势（上升或下降），则会导致致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被消除。消除。 式式Yt= = 0

28、 0+ + 1 1Xt+ + t t中的随机扰动项也被称为中的随机扰动项也被称为非均衡误差非均衡误差（disequilibrium error），它是变量，它是变量X与与Y的一个线性组合的一个线性组合： tttXY10(*) 因此，如果Yt= =0+1Xt+t式所示的X与Y间的长期均衡关系正确的话，（*）式表述的非均衡误差应是一平稳时间序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。 从这里已看到从这里已看到，非稳定的时间序列，它们的线性组合也可非稳定的时间序列，它们的线性组合也可能成为平稳的。能成为平稳的。 例如：例如：假设Yt= =0+1Xt+t式中的X与Y是I(1)序列，如果该式所

29、表述的它们间的长期均衡关系成立的话，则意味着由非均衡误差（*）式给出的线性组合是I(0)序列。这时我们称变称变量量X与与Y是协整的（是协整的（cointegrated）。）。 如果序列如果序列XX1t1t,X,X2t2t, ,X,Xktkt 都是都是d阶单整，存在向量阶单整，存在向量 =(=( 1 1, , 2 2, , , k k) )，使得，使得 Zt= XT I(d-b) 其中，其中，b0，X=(X=(X1t1t,X,X2t2t, ,X,Xktkt) )T T，则认为序列，则认为序列XX1t1t,X,X2t2t, ,X,Xktkt 是是(d,b)阶协整，记为阶协整，记为XtCI(d,b)

30、， 为为协整向协整向量（量（cointegrated vector）。协整协整 在中国居民人均消费与人均在中国居民人均消费与人均GDP的例中的例中，该两序列都是2阶单整序列，而且可以证明它们有一个线性组合构成的新序列为0阶单整序列，于是认为该两序列是(2,2)阶协整。 由此可见由此可见: :如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能协整。可能协整。 三个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可三个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可能经过

31、线性组合构成低阶单整变量。能经过线性组合构成低阶单整变量。 例如，如果存在：)2(),2(),1 (IUIVIWttt并且)0() 1 (IePcWQIbUaVPtttttt那么认为： )1 , 1 (,)1 ,2(,CIPWCIUVtttt（d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系，）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义它的经济意义在于：在于：两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但是如果它们是（是如果它们是（d,dd,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长）阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的比例关系。期稳定的比例关系。 例如：例如：

32、前面提到的前面提到的中国中国CPC和和GDPPC，它们各自，它们各自都是都是2阶阶单整单整，并且将会看到，它们是并且将会看到，它们是(2,2)(2,2)阶协整阶协整，说明它们之间，说明它们之间存在着一个长期稳定的比例关系，从计量经济学模型的意存在着一个长期稳定的比例关系，从计量经济学模型的意义上讲，建立如下居民人均消费函数模型义上讲，建立如下居民人均消费函数模型 从协整的定义可以看出从协整的定义可以看出:tttGDPPCCPC10变量选择是合理的，随机误差项一定是“白噪声”（即均值为0，方差不变的稳定随机序列），模型参数有合理的经济解释。 这也解释了尽管这两时间序列是非稳定的，但却可以用经典的

33、回归分析方法建立回归模型的原因。 从这里，我们已经初步认识到：从这里，我们已经初步认识到：检验变检验变量之间的协整关系，在建立计量经济学模量之间的协整关系，在建立计量经济学模型中是非常重要的。型中是非常重要的。 而且，从变量之间是否具有协整关系而且，从变量之间是否具有协整关系出发选择模型的变量，其数据基础是牢固出发选择模型的变量，其数据基础是牢固的，其统计性质是优良的的，其统计性质是优良的。二、协整检验二、协整检验 1 1、两变量的、两变量的Engle-GrangerEngle-Granger检验检验 为了检验两变量Yt,Xt是否为协整，Engle和Granger于1987年提出两步检验法，也

34、称为EG检验。 第一步，第一步，用OLS方法估计方程 Yt= =0+1Xt+t并计算非均衡误差，得到： tttttYYeXY10称为协整回归协整回归( (cointegrating)或静态回归静态回归( (static regression) )。 第第二二步步，检验 et的单整性。如果 et为稳定序列，则认为变量Y Xtt,为(1,1)阶协整； 如果 et为1阶单整， 则认为变量Y Xtt,为(2,1)阶协整； 。 的单整性的检验方法仍然是的单整性的检验方法仍然是DF检验或者检验或者ADF检验。检验。 由于协整回归中已含有截距项，则检验模型中无需由于协整回归中已含有截距项，则检验模型中无需再

35、用截距项。如使用模型再用截距项。如使用模型1 ettpiititteee11进行检验时，拒绝零假设拒绝零假设H0： =0，意味着误差项et是平稳序列，从而说明说明X与与Y间是协整的间是协整的。 需要注意是需要注意是，这里的DF或ADF检验是针对协整回归计算出的误差项 et而非真正的非均衡误差t进行的。 而OLS法采用了残差最小平方和原理，因此估计量 是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比实际情形大。 于是对于是对e et t平稳性检验的平稳性检验的DFDF与与ADFADF临界值应该比正常临界值应该比正常的的DFDF与与ADFADF临界值还要小。临界值还要小。 MacKinnon(1991)

36、通过模拟试验给出了协整检通过模拟试验给出了协整检验的临界值，表验的临界值，表9.3.1是双变量情形下不同样本是双变量情形下不同样本容量的临界值。容量的临界值。 表表 9.3.1 双双变变量量协协整整 ADF 检检验验临临界界值值 显 著 性 水 平 样本容量 0.01 0.05 0.10 25 -4.37 -3.59 -3.22 50 -4.12 -3.46 -3.13 100 -4.01 -3.39 -3.09 -3.90 -3.33 -3.05 例例9.3.1 检验中国居民人均消费水平检验中国居民人均消费水平CPCCPC与人均国内生与人均国内生产总值产总值GDPPCGDPPC的协整关系。的

37、协整关系。 在前文已知CPC与GDPPC都是I(2)序列，而2.10中已给出了它们的回归式 ttGDPPCCPC45831. 0764106.49R2=0.9981 通过对该式计算的残差序列作ADF检验，得适当检验模型 31127. 249. 155. 1tttteeee （-4.47） (3.93) (3.05) LM(1)=0.00 LM(2)=0.00 t=-4.47-3.75=ADF0.05，拒绝存在单位根的假设，残差项是稳定的，因此中国居民人均消费水平与人均中国居民人均消费水平与人均GDPGDP是是(2,2)(2,2)阶协整的，说明了该两变量间存在长期稳定的阶协整的，说明了该两变量间

38、存在长期稳定的“均衡均衡”关关系。系。 2 2、多变量协整关系的检验、多变量协整关系的检验扩展的扩展的E-GE-G检验检验 多变量协整关系的检验要比双变量复杂一些，主要在于协整变量间可能存在多种稳定的线性组合协整变量间可能存在多种稳定的线性组合。 假设有4个I(1)变量Z、X、Y、W，它们有如下的长期均衡关系：tttttYXWZ3210(*)其中，非均衡误差项t应是I(0)序列： tttttYXWZ3210(*)然而，如果然而，如果Z与与W，X与与Y间分别存在长期均衡关系：间分别存在长期均衡关系：tttvWZ110tttvYX210 则非均衡误差项v1t、v2t一定是稳定序列I(0)。于是它们

39、的任意线性组合也是稳定的。例如tttttttYXWZvvv110021(*) 由于vt象（*）式中的t一样，也是Z、X、Y、W四个变量的线性组合，由此（*）式也成为该四变量的另一稳定线性组合。 （1,-1,-2,-3）是对应于（*）式的协整向量，（1,1,1,-1）是对应于（*）式的协整向量。 一定是I(0)序列。 对于多变量的协整检验过程，基本与双变量情形相同，对于多变量的协整检验过程，基本与双变量情形相同，即即需检验变量是否具有同阶单整性，以及是否存在稳定的线需检验变量是否具有同阶单整性，以及是否存在稳定的线性组合。性组合。 在检验是否存在稳定的线性组合时，在检验是否存在稳定的线性组合时，

40、需通过设置一个变需通过设置一个变量为被解释变量，其他变量为解释变量，进行量为被解释变量，其他变量为解释变量，进行OLS估计并检估计并检验残差序列是否平稳。验残差序列是否平稳。 如果不平稳，如果不平稳，则需更换被解释变量，进行同样的则需更换被解释变量，进行同样的OLS估估计及相应的残差项检验计及相应的残差项检验。 当所有的变量都被作为被解释变量检验之后，仍不能得当所有的变量都被作为被解释变量检验之后，仍不能得到平稳的残差项序列，则认为这些变量间不存在（到平稳的残差项序列，则认为这些变量间不存在（d,dd,d）阶）阶协整。协整。 检验程序：检验程序： 同样地，同样地，检验残差项是否平稳的检验残差项

41、是否平稳的DF与与ADF检验临界值检验临界值要比通常的要比通常的DF与与ADF检验临界值小，而且该临界值还受检验临界值小，而且该临界值还受到所检验的变量个数的影响。到所检验的变量个数的影响。表表 9.3.2 多多变变量量协协整整检检验验 ADF 临临界界值值变量数=3变量数=4变量数=6样本显著性水平显著性水平显著性水平容量0.010.050.10.010.050.10.010.050.125-4.92-4.1-3.71 -5.43-4.56 -4.15 -6.36-5.41 -4.9650-4.59 -3.92-3.58 -5.02-4.32 -3.98 -5.78-5.05 -4.6910

42、0-4.44 -3.83-3.51 -4.83-4.21 -3.89 -5.51-4.88 -4.56-4.30 -3.74-3.45 -4.65-4.1 -3.81 -5.24-4.7 -4.42 表9.3.2给出了MacKinnon(1991)通过模拟试验得到的不同变量协整检验的临界值。2 2、多变量协整关系的检验、多变量协整关系的检验JJJJ检验检验Johansen于于1988年，以及与年，以及与Juselius于于1990年年提出了一种用极大或然法进行检验的方法，通常提出了一种用极大或然法进行检验的方法，通常称为称为JJ检验。检验。 高等计量经济学高等计量经济学（清华大学出版社，（清华

43、大学出版社，2000年年9月）月）P279-282.E-views中有中有JJ检验的功能。检验的功能。97介绍的协整检验主要是针对单方程而言，本节将推广到介绍的协整检验主要是针对单方程而言，本节将推广到VAR模型。而且前面模型。而且前面所介绍的协整检验是基于回归的残差序列进行检验，本节介绍的所介绍的协整检验是基于回归的残差序列进行检验，本节介绍的Johansen协整检验基于回归系数的协整检验，有时也称为协整检验基于回归系数的协整检验，有时也称为JJ(Johansen-Juselius)检检验。验。 虽然虽然ADF检验比较容易实现，但其检验方式存在一定欠缺性检验比较容易实现，但其检验方式存在一定

44、欠缺性在第一在第一阶段需要设计线性模型进行阶段需要设计线性模型进行OLS估计，应用不方便。估计，应用不方便。Johansen在在1988年及年及在在1990年与年与Juselius一起提出的一种以一起提出的一种以VAR模型为基础的检验回归系数的方模型为基础的检验回归系数的方法，是一种进行多变量协整检验的较好的方法法，是一种进行多变量协整检验的较好的方法。 98 下面讨论下面讨论 k 个经济指标个经济指标 y1，y2，yk 之间是否具有协整关系。协整的之间是否具有协整关系。协整的定义如下：定义如下： 设设 k 维向量时间序列维向量时间序列 yt = (y1t , y2t , , ykt) (t

45、= 1, 2, , T ) 的分量序列间的分量序列间被称为被称为d，b阶协整，记为阶协整，记为 yt CI (d，b)，如果满足：，如果满足： (1) yt I (d)，要求，要求 yt 的每个分量都是的每个分量都是 d 阶单整的阶单整的 ； (2) 存在非零向量存在非零向量 ，使得，使得 yt I (d-b)，0 b d 。简称简称 yt 是协整的，向量是协整的，向量 又称为协整向量。又称为协整向量。 99 对于对于 k 维向量时间序列维向量时间序列 yt 最多可能存在最多可能存在 k-1个线性无关的协整向量，个线性无关的协整向量，为讨论方便，先考虑最简单的二维情形，不妨记为讨论方便，先考虑

46、最简单的二维情形，不妨记 yt = (y1t, y2t) ，(t=1, 2, , T ) ，其中，其中 y1，y2 都是都是I(1) 时间序列。若存在时间序列。若存在 c1，使得，使得 y1-c1y2 I(0)；另有；另有c2，也使得，也使得 y1-c2 y2 I (0)，则，则t=1, 2, , T 由于由于 y2 I (1)，所以只能有，所以只能有 c1 = c2 ，可见，可见 y1，y2 协整时，协整向量协整时，协整向量 = (1， c1 ) 是惟一的。一般地，设由是惟一的。一般地，设由 yt 的协整向量组成的矩阵为的协整向量组成的矩阵为 B，则，则矩阵矩阵 B 的秩为的秩为 r = r

47、(B)，那么，那么 0 r k 1。 )0()()()(221221211Icccctttttyyyyy100其中其中 (9.6.2)其中其中yt的各分量都是非平稳的的各分量都是非平稳的I(1)变量；变量；xt 是一个确定的是一个确定的 d 维的外生向量，维的外生向量，代表趋势项、常数项等确定性项；代表趋势项、常数项等确定性项； t 是是 k 维扰动向量。在式维扰动向量。在式(9.6.1)两端减去两端减去 yt-1，通过添项和减项的方法，可得下面的式子，通过添项和减项的方法，可得下面的式子 ， (9.6.3) 下面将上述讨论扩展到多指标的情形，介绍下面将上述讨论扩展到多指标的情形，介绍JJ检验

48、的基本思想。首先建检验的基本思想。首先建立一个立一个VAR(p)模型模型 t =1，2，T (9.6.1)tptpttHxyyyt 11ttitpiittHxyyy111Ipii1pijji1101 由于由于I(1)过程经过差分变换将变成过程经过差分变换将变成I(0)过程，即式过程，即式(9.6.2)中的中的yt , ytj (j =1, 2 , p) 都是都是I(0)变量构成的向量，那么只要变量构成的向量，那么只要 yt-1 是是I(0)的向量，即的向量，即 yt-1的的各分量之间具有协整关系，就能保证各分量之间具有协整关系，就能保证yt是平稳过程。是平稳过程。yt-1的各分量之间是否具的各

49、分量之间是否具有协整关系主要依赖于矩阵有协整关系主要依赖于矩阵 的秩。设的秩。设 的秩为的秩为 r，则存在则存在 3 种情况种情况: r = k，r = 0，0 r k： 如果如果 r = k，显然只有当显然只有当 yt-1 的各分量都是的各分量都是I(0)变量时，才能保证变量时，才能保证 yt-1 是是 I(0) 变量构成的向量。而这与已知的变量构成的向量。而这与已知的 yt 为为 I(1) 过程相矛盾，所以必然有过程相矛盾，所以必然有 r k。 102 如果如果 r = 0，意味着意味着 = 0，因此式，因此式(9.6.2)仅仅是个差分方程，各项都是仅仅是个差分方程，各项都是I(0) 变量

50、，不需要讨论变量，不需要讨论 yt-1各分量之间是否具有协整关系。各分量之间是否具有协整关系。 下面讨论下面讨论 0 r k 的情形：的情形： 0 r k 表示存在表示存在 r 个协整组合，其余个协整组合，其余 k r 个关系仍为个关系仍为 I(1)关系。在这种关系。在这种情况下，情况下， 可以分解成两个可以分解成两个( k r )阶矩阵阶矩阵 和和 的乘积：的乘积： (9.6.4)其中其中rk ( )= r，rk ( )= r。103(9.6.5) 上式要求上式要求 yt-1 的每一行为一个的每一行为一个 I(0) 向量，其每一行都是向量，其每一行都是 I(0) 组合变量，即组合变量，即 的

51、每一列所表示的的每一列所表示的 yt-1各分量的线性组合都是一种协整形式，所以矩阵各分量的线性组合都是一种协整形式，所以矩阵 决定决定了了yt-1各分量之间协整向量的个数与形式。因此称为协整向量矩阵，各分量之间协整向量的个数与形式。因此称为协整向量矩阵，r 为协整向量为协整向量的个数。的个数。 将式将式(9.6.4)代入式代入式(9.6.2)，得：，得： titpiittHxyyyt111104 矩阵矩阵 的每一行的每一行 i 是出现在第是出现在第 i 个方程中的个方程中的 r 个协整组合的一组权重，个协整组合的一组权重，故称为调整参数矩阵，与前面介绍的误差修正模型的调整系数的含义一样。而故称

52、为调整参数矩阵，与前面介绍的误差修正模型的调整系数的含义一样。而且容易发现且容易发现 和和 并不是惟一的，因为对于任何非奇异并不是惟一的，因为对于任何非奇异 r r 矩阵矩阵 H ，乘积乘积 和和 H (H 1 ) 都等于都等于 。 将将 yt 的协整检验变成对矩阵的协整检验变成对矩阵 的分析问题，这就是的分析问题，这就是Johansen协整检验的协整检验的基本原理。因为矩阵基本原理。因为矩阵 的秩等于它的非零特征根的个数，因此可以通过对非零的秩等于它的非零特征根的个数，因此可以通过对非零特征根个数的检验来检验协整关系和协整向量的秩。略去关于特征根个数的检验来检验协整关系和协整向量的秩。略去关

53、于 的特征根的求的特征根的求解方法，设矩阵解方法，设矩阵 的特征根为的特征根为 1 2 k。 这样，协整向量的个数可以通过考察这样，协整向量的个数可以通过考察 的特的特征根的显著性求得。若矩阵征根的显著性求得。若矩阵 的秩为的秩为r，说说明矩阵明矩阵 有有r个非零特征根，按大小排列为个非零特征根，按大小排列为 。特征根的个数可通过下面两个统计量来。特征根的个数可通过下面两个统计量来计算：计算：(4)(5)其中其中 是式是式(3)中中 矩阵特征根的估计值，矩阵特征根的估计值， T 为样本容量。为样本容量。1051log 1mtraceii rT max1log 1rT i(4)式称为迹检验，式称

54、为迹检验，(5)式称为最大特征根检验，式称为最大特征根检验，原假设隐含着原假设隐含着 ，表示此系统，表示此系统中存在中存在 个单位根，最初先设原假设有个单位根，最初先设原假设有m个单位根，即个单位根，即r = 0，若拒绝原假设，若拒绝原假设 ，表，表示示 ，有一个协整关系；再继续检验有，有一个协整关系；再继续检验有( m - 1) 个单位根，若拒绝原假设个单位根，若拒绝原假设 ，表示有两个，表示有两个协整关系；依次检验直至无法拒绝协整关系；依次检验直至无法拒绝 为止。为止。10601:HrmHrm01:,1,2,:1Hrq qmHrq120rrmmrJohansen与与Juselius在蒙特卡

55、罗模拟方法在蒙特卡罗模拟方法的基础上，给出了两个统计量的临界值，的基础上，给出了两个统计量的临界值，目前大多数计量经济软件都直接报告出检目前大多数计量经济软件都直接报告出检验结果。关于这一节的具体计算，借助于验结果。关于这一节的具体计算，借助于统计分析软件包，我们可以很方便地得到统计分析软件包，我们可以很方便地得到计算结果，这里略去。计算结果，这里略去。 107三、误差修正模型三、误差修正模型 前文已经提到，前文已经提到，对于非稳定时间序列，可通过差分的对于非稳定时间序列，可通过差分的方法将其化为稳定序列，然后才可建立经典的回归分析模型方法将其化为稳定序列，然后才可建立经典的回归分析模型。 如

56、：如：建立人均消费水平（建立人均消费水平（Y）与人均可支配收入（）与人均可支配收入（X）之间的回归模型：之间的回归模型： 1 1、误差修正模型、误差修正模型tttXY10tttvXY1式中， vt= t- t-1差分差分X,Y成为平稳序列建立差分回归模型建立差分回归模型 如果如果Y与X具有共同的向上或向下的变化趋势 (1)如果如果X与与Y间存在着长期稳定的均衡关系间存在着长期稳定的均衡关系 Yt= = 0 0+ + 1 1Xt+ + t t且误差项且误差项 t t不存在序列相关，则差分式不存在序列相关，则差分式 Yt= 1 Xt+ t中的中的 t是一个一阶移动平均时间序列，因而是一个一阶移动平

57、均时间序列，因而是序列相关的是序列相关的； 然而，这种做法会引起两个问题这种做法会引起两个问题： (2)如果采用差分形式进行估计，则关于变量水平值的重要信息将被忽略，这时模型只表达了这时模型只表达了X与与Y间的短期关系，而没间的短期关系，而没有揭示它们间的长期关系有揭示它们间的长期关系。 因为，从长期均衡的观点看，Y在第t期的变化不仅取决于X本身的变化，还取决于X与Y在t-1期末的状态，尤其是X与Y在t-1期的不平衡程度。 另外，使用差分变量也往往会得出不能令人满意回归方程。另外，使用差分变量也往往会得出不能令人满意回归方程。 例如，使用例如，使用 Yt= 1 Xt+ t回归时，很少出现截距项

58、显著回归时，很少出现截距项显著为零的情况，即我们常常会得到如下形式的方程：为零的情况，即我们常常会得到如下形式的方程： 在在X保持不变时，如果模型存在静态均衡（保持不变时，如果模型存在静态均衡（static equilibrium），），Y也会保持它的长期均衡值不变。也会保持它的长期均衡值不变。 但如果使用（但如果使用（*）式，即使）式，即使X保持不变，保持不变，Y也会处于长期也会处于长期上升或下降的过程中上升或下降的过程中( (Why?Why?) )，这意味着，这意味着X与与Y间不存在静态间不存在静态均衡均衡。 这与大多数具有静态均衡的经济理论假说不相符。这与大多数具有静态均衡的经济理论假说

59、不相符。 可见，简单差分不一定能解决非平稳时间序列所遇到的可见，简单差分不一定能解决非平稳时间序列所遇到的全部问题，因此，全部问题，因此，误差修正模型误差修正模型便应运而生便应运而生。tttvXY1000(*) 误差修正模型（误差修正模型（Error Correction Model，简记为，简记为ECM）是一种具有特定形式的计量经济学模型是一种具有特定形式的计量经济学模型，它的主要形式是，它的主要形式是由由Davidson、 Hendry、Srba和和Yeo于于1978年提出的，年提出的，称为称为DHSY模型模型。 为了便于理解，我们通过一个具体的模型来介绍它的结构。 假设两变量X与Y的长期

60、均衡关系为: Yt= =0+1Xt+t 由于现实经济中X与Y很少处在均衡点上，因此实际观测到的只是X与Y间的短期的或非均衡的关系，假设具有如下(1,1)阶分布滞后形式tttttYXXY11210 该模型显示出第t期的Y值，不仅与X的变化有关，而且与t-1期X与Y的状态值有关。 由于变量可能是非平稳的，因此不能直接运用由于变量可能是非平稳的，因此不能直接运用OLS法法。对上述。对上述分布滞后模型适当变形分布滞后模型适当变形得得 tttttttttXYXYXXY12101111211011)1 ()1 ()(或 tttttXYXY)(11011式中， 1)1 (00)1 ()(211（*） 如果将