田凌清华大学机械制图平面及直线与立体相交实用教案

1、8.1 8.1 平面与平面体相交平面与平面体相交(xingjio)(xingjio)8.2 8.2 平面与回转体相交平面与回转体相交(xingjio)(xingjio)8.3 8.3 直线与立体相交直线与立体相交(xingjio)(xingjio)内内 容容第1页/共19页第一页，共19页。 截切：用平面与立体截切：用平面与立体(lt)(lt)相交，截去体的一部分相交，截去体的一部分 截平面截平面(pngmin)(pngmin)：用以截切立体的平面：用以截切立体的平面(pngmin)(pngmin) 截交线：截平面截交线：截平面(pngmin)(pngmin)与立体表面的交线与立体表面的交线

2、定义定义截平面截平面截截交线交线第2页/共19页第二页，共19页。8.1 8.1 平面平面(pngmin)(pngmin)与平面与平面(pngmin)(pngmin)体相交体相交 截交线的性质截交线的性质(xngzh)(xngzh) 是截平面与立体是截平面与立体(lt)(lt)表面的共有线；表面的共有线； 截截交线的形状取决于被截立体的形状及截平面与立体的相对交线的形状取决于被截立体的形状及截平面与立体的相对位位置；置； 是是一封闭的平面一封闭的平面多边形多边形; ; 截交线投影的形状取决于截平面与投影面的相对位置。截交线投影的形状取决于截平面与投影面的相对位置。第3页/共19页第三页，共19

3、页。8.1 8.1 平面平面(pngmin)(pngmin)与平面与平面(pngmin)(pngmin)体相交体相交【例】求四棱锥【例】求四棱锥(lngzhu)(lngzhu)被截切后的俯视图和左视图。被截切后的俯视图和左视图。分析分析(fnx(fnx)： 截截平面与四棱柱的四条棱线相交，平面与四棱柱的四条棱线相交，截交线为四边形。截交线为四边形。 截平面为正垂面，截交线的正面投截平面为正垂面，截交线的正面投影积聚，水平投影、侧面投影为类似影积聚，水平投影、侧面投影为类似的四边形图形。的四边形图形。作图步骤：作图步骤：* * 利用主视图中截平面的积聚性，找出截利用主视图中截平面的积聚性，找出截

4、交线交线4 4个顶点的正面投影：个顶点的正面投影：* * 利用利用“三等三等”关系，在棱线上作出截关系，在棱线上作出截交线顶点的侧面和水平投影；交线顶点的侧面和水平投影；* * 顺序连接各顶点，画出截交线；顺序连接各顶点，画出截交线；3 2 1 (4 )1 2 4 3 1243 * * 补全棱线的投影。补全棱线的投影。第4页/共19页第四页，共19页。【例】正八棱柱【例】正八棱柱(lngzh)(lngzh)被平面被平面P P截切，已知截切后的主视图和左截切，已知截切后的主视图和左视视图，求作俯视图。图，求作俯视图。分析分析(fnx(fnx)： P P为正垂面，与棱柱的为正垂面，与棱柱的8 8条

5、棱线条棱线均相交，截交线为八边形；均相交，截交线为八边形； 截交线的正面投影积聚截交线的正面投影积聚(jj)(jj)于于pp、侧面投影为、侧面投影为pp重合，水重合，水平投影应与侧面投影类似。平投影应与侧面投影类似。作图步骤：作图步骤：* * 作出完整作出完整棱柱的俯视图棱柱的俯视图; ;ahbgfcdebcf gdeah* * 确定确定八边形顶点的对应关系；八边形顶点的对应关系；* * 顺序连接各顶点，作出八边形；顺序连接各顶点，作出八边形；ah* * 检查检查棱柱各棱线的投影，完成棱柱各棱线的投影，完成俯视图。俯视图。decbfgpp检查检查：p p与与pp的类似性的类似性p第5页/共19

6、页第五页，共19页。8.2 8.2 平面与回转平面与回转(huzhun)(huzhun)体相交体相交8.2.1 8.2.1 平面平面(pngmin)(pngmin)与圆柱体相交与圆柱体相交PP轴线轴线(zhu xin)(zhu xin)P P 轴线轴线P P 轴线轴线两平行直线两平行直线椭圆椭圆圆圆 平面截切圆柱表面时，截平面截切圆柱表面时，截平面平面P P与轴线的相互位置与轴线的相互位置关系决关系决定截定截交线的形状：交线的形状：第6页/共19页第六页，共19页。【例】圆柱体被正垂面【例】圆柱体被正垂面P P截切，求作左视图截切，求作左视图(sht)(sht)。分析分析(fnx(fnx)：

7、P P倾斜于圆柱轴线，截交线为椭倾斜于圆柱轴线，截交线为椭圆圆(tuyun)(tuyun)； P P为正垂面，截交线的正面投影为正垂面，截交线的正面投影积聚在积聚在pp，水平投影与俯视图的，水平投影与俯视图的圆重合，侧面投影应为椭圆圆重合，侧面投影应为椭圆(tuyun)(tuyun)。作图步骤：作图步骤：* * 作作完整圆柱的左视图完整圆柱的左视图; ;* * 求求特殊点特殊点A A、B B、C C、D D；badccdbaabcd* * 求求中间点中间点、；121221* * 光滑光滑连接椭圆曲线连接椭圆曲线; ;* * 检查检查轮廓线轮廓线，判断可见性。，判断可见性。p逐点法逐点法绘制曲线

8、：准确找出曲线上绘制曲线：准确找出曲线上的的 特殊特殊点和中间点的投影。点和中间点的投影。特殊点特殊点：极限位置点，椭圆长短轴端点，：极限位置点，椭圆长短轴端点，曲线拐点，切点，可见性分界点，轮廓曲线拐点，切点，可见性分界点，轮廓线上的点线上的点PBDCA第7页/共19页第七页，共19页。讨论讨论(toln)(toln)： 截平面与圆柱体轴线的夹角截平面与圆柱体轴线的夹角(ji jio)(ji jio)变化时，截交线侧变化时，截交线侧面投影的椭圆的长、短轴也随之变化。面投影的椭圆的长、短轴也随之变化。当夹角当夹角(ji jio)(ji jio)为为4545时，投影为一时，投影为一个圆。个圆。第

9、8页/共19页第八页，共19页。【例】已知圆柱【例】已知圆柱(yunzh)(yunzh)左端开一方槽后的主视图和左视图，求作左端开一方槽后的主视图和左视图，求作俯视图。俯视图。分析分析(fnx(fnx)： P P、Q Q平行于圆柱轴线，与圆柱面平行于圆柱轴线，与圆柱面交线为直线交线为直线(zhxin)(zhxin)（侧垂线）；（侧垂线）； S S垂直于圆柱轴线，截交线为圆弧。垂直于圆柱轴线，截交线为圆弧。 P P、Q Q与与S S交线为正垂线；交线为正垂线； 截交线的正面、侧面投影均为已截交线的正面、侧面投影均为已知。知。作图步骤：作图步骤：* * 作完整圆柱的俯视图作完整圆柱的俯视图; ;*

10、 * 求求作作S S的截交线：两段圆弧的截交线：两段圆弧acbdbdabac* * 求求作作P P、Q Q的截交线：的截交线：* * 作出作出S S与与P P、Q Q的交线：的交线：* * 检查检查轮廓线，完成俯视图。轮廓线，完成俯视图。dbeeepqs第9页/共19页第九页，共19页。8.2.2 8.2.2 平面平面(pngmin)(pngmin)与圆锥与圆锥相交相交 截平面与圆锥面轴线的相对截平面与圆锥面轴线的相对(xingdu)(xingdu)位置不同，截交线可能位置不同，截交线可能为：圆、椭圆、直线、抛物线、双曲线。为：圆、椭圆、直线、抛物线、双曲线。与轴线与轴线(zhu xin)(z

11、hu xin)垂直垂直与轴线倾斜与轴线倾斜与一条素与一条素线线平行平行过锥顶过锥顶与与轴线轴线平行平行两相交直线两相交直线椭圆椭圆圆圆抛物线抛物线双曲线双曲线第10页/共19页第十页，共19页。【例】正垂面【例】正垂面P P截切圆锥截切圆锥(yunzhu)(yunzhu)，求作俯视图和左视图。，求作俯视图和左视图。分析分析(fnx(fnx)： P P与圆锥轴线倾斜与圆锥轴线倾斜(qngxi)(qngxi)，截交线为椭圆；截交线的，截交线为椭圆；截交线的正面投影积聚于正面投影积聚于pp，水平投影和侧面投影应为椭圆。，水平投影和侧面投影应为椭圆。作图步骤：作图步骤：bacdbadcbaefefef

12、dcPBCDAp* * 作作出出完整圆锥的俯视图和左视图；完整圆锥的俯视图和左视图；* * 求作截交线上的特殊求作截交线上的特殊点：点：求椭圆长短轴端点求椭圆长短轴端点A A、B B、C C、D D；* * 求作截交线上的中间点；求作截交线上的中间点；* * 依次光滑连接，绘制依次光滑连接，绘制椭圆；椭圆；* * 检查轮廓线及可见性。检查轮廓线及可见性。求侧面求侧面轮廓线上的点轮廓线上的点E E、F F；注意注意：* * 左视图中圆锥轮廓线与椭圆相切于左视图中圆锥轮廓线与椭圆相切于e；* * D D点为截交线中最前点。点为截交线中最前点。第11页/共19页第十一页，共19页。8.2.3 8.2

13、.3 平面平面(pngmin)(pngmin)与圆球与圆球相交相交 平面与圆球相交，截交线始终为圆；依据截平面相对于投影平面与圆球相交，截交线始终为圆；依据截平面相对于投影面的不同位置，截交线的投影可为圆、椭圆面的不同位置，截交线的投影可为圆、椭圆(tuyun)(tuyun)或者积聚或者积聚为直线。为直线。分析分析(fnx(fnx)： 两个侧平面和一个水平面截切圆球，两个侧平面和一个水平面截切圆球，截交线分别为侧平圆弧和水平圆弧；截交线分别为侧平圆弧和水平圆弧； 侧平截面和水平截面的交线为正垂线；侧平截面和水平截面的交线为正垂线； 截交线的正面投影均为已知。截交线的正面投影均为已知。作图步骤：

14、作图步骤：* * 作出半球截切前的作出半球截切前的俯视图、俯视图、左视图；左视图；* * 分别作出侧分别作出侧平截面的截平截面的截交线的侧面投交线的侧面投影圆弧和水平投影直线；影圆弧和水平投影直线；* * 分别求作出水平分别求作出水平截面的截截面的截交线的水平交线的水平投影圆弧和侧面投影直线：投影圆弧和侧面投影直线：* * 检查检查轮廓线轮廓线，并注意可见性。，并注意可见性。* * 作作出出截截平面之间的交线；平面之间的交线；【例例】求求作圆球作圆球截切后的俯视截切后的俯视图、左视图。图、左视图。第12页/共19页第十二页，共19页。8.2.4 8.2.4 平面平面(pngmin)(pngmi

15、n)与圆与圆环相交环相交 截平面在不同截平面在不同(b tn)(b tn)位置截切圆环，产生的截交线形状不位置截切圆环，产生的截交线形状不同同(b tn)(b tn)，可以是一条或两条。，可以是一条或两条。伯努利曲线伯努利曲线卡西尼卵形线卡西尼卵形线波修斯波修斯曲线曲线第13页/共19页第十三页，共19页。分析分析(fnx(fnx)： 圆环上部被水平面圆环上部被水平面P P截切，截交线应为截切，截交线应为一条封闭的平面曲线，正面投影积聚在一条封闭的平面曲线，正面投影积聚在pp上，水平投影应反映上，水平投影应反映(fnyng)(fnyng)曲线的实形。曲线的实形。作图步骤作图步骤(bzhu)(b

16、zhu)：* * 作出圆环截切前的俯视图；作出圆环截切前的俯视图；* * 作出作出截交线上的特殊截交线上的特殊点点A,B,C,D,D,FA,B,C,D,D,F；* * 作出作出截交线上截交线上的的中间中间点点；* * 依次光滑连接特殊点和中间点；依次光滑连接特殊点和中间点；【例例】水平面水平面P P截切半个圆环，试完成截切半个圆环，试完成俯视图俯视图。pababcdcdefef 第14页/共19页第十四页，共19页。8.3 8.3 直线与立体直线与立体(lt)(lt)相交相交8.3.1 8.3.1 直线直线(zhxin)(zhxin)与平面体相交与平面体相交 直线与立体直线与立体(lt)(lt

17、)相交时，需求出交点。求直线与平面体相相交时，需求出交点。求直线与平面体相交的交点，其实质是求出直线与平面的交点。交的交点，其实质是求出直线与平面的交点。注意：注意： 直线穿入立体的部直线穿入立体的部分不画线。分不画线。第15页/共19页第十五页，共19页。8.3.2 8.3.2 直线直线(zhxin)(zhxin)与回转体与回转体相交相交 如果直线或回转体表面的投影有积聚性，可直接求出交如果直线或回转体表面的投影有积聚性，可直接求出交点的投影；如无法直接利用积聚性投影，一般则要通过点的投影；如无法直接利用积聚性投影，一般则要通过(tnggu)(tnggu)作辅助面的方法，才能作出直线与回转体

18、的交点。作辅助面的方法，才能作出直线与回转体的交点。【例】求直线【例】求直线(zhxin)AB(zhxin)AB与圆锥的与圆锥的交点。交点。分析：分析： 直线和直线和圆锥圆锥的的投影投影都都不不具备积聚性具备积聚性，故故要要利用辅助面进行作图。利用辅助面进行作图。 包含直线包含直线ABAB和锥顶和锥顶S S作辅助面与圆锥面作辅助面与圆锥面交于两条素线，这两条素线与交于两条素线，这两条素线与ABAB的交点的交点即为直线即为直线ABAB与圆锥的交点。与圆锥的交点。第16页/共19页第十六页，共19页。sabmfklnsabmfkldcn作图步骤作图步骤(bzhu)(bzhu)：* * 包含包含(bohn)(bohn)点点S S和直线上的点和直线上的点E,FE,F作辅助平面作辅助平面, ,辅助面与圆锥底圆平面交辅助面与圆锥底圆平面交于于MNMN；* * 作出辅助作出辅助(fzh)(fzh)面与圆锥面的交面与圆