单辉祖工力空间力系

1、空 间 任 意 力 系第 五 章1 1、回顾力在直角坐标轴上的投影、回顾力在直角坐标轴上的投影 X X = = F F sinsin coscos Y Y = = F F sinsin sinsin Z Z = = F F coscos X X = = F F coscos Y Y = = F F coscos Z Z = = F F coscos x xy yz zX XZ ZY YF F X XZ ZY YF F x xy yz z 2. 2. 回顾力对点的矩回顾力对点的矩力力F F 对点对点O O的矩矢的矩矢MMO O(F)(F)=(=(yZyZzYzY ) )i i + ( + (zX

2、 zX xZxZ) )j j + (+ (xY xY yXyX ) )k k 大小为：大小为：| |MMO O ( (F F)|= )|= FhFh =2=2 OABOAB OABOAB为图中阴影部分的面积为图中阴影部分的面积 力对轴之矩是力对绕力对轴之矩是力对绕该定轴转动的物体作用该定轴转动的物体作用效果的度量效果的度量 门上作用一个力门上作用一个力 F F 假定门绕假定门绕 z z 轴旋转轴旋转 将力将力 F F 向向 z z 轴和轴和 xyxy 面面分解成两个分力分解成两个分力 F Fz z 和和 F Fxyxy。 分力分力 F Fxyxy 使门绕使门绕 z z 轴旋轴旋转。转。 F F

3、xyxyF Fz zz zx xy yO Oz z力对轴的矩之定义力对轴的矩之定义 正负可以按右手法则确定正负可以按右手法则确定 F FF FxyxyF Fz zA AB Bh h 即即 M M z z ( ( F F ) ) = M = M O O ( ( F Fxyxy ) ) = = F Fxyxy h h = = 2 2 OAB OAB 力对轴的矩等于零的情形：力对轴的矩等于零的情形： 力与轴相交力与轴相交( ( h h = 0 ) = 0 ) 力与轴平行力与轴平行( ( F Fxyxy = 0 ) = 0 )一句话一句话: : 只要力与轴共面只要力与轴共面, ,力力对轴的矩等于零。对

4、轴的矩等于零。F FxyxyF FxyxyF Fz zF FxyxyF FxyxyF Fz zF Fxyxy 力对轴的矩是一个代数力对轴的矩是一个代数量，其绝对值等于该力在垂量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对直于该轴的平面上的投影对于此平面与该轴的交点的矩于此平面与该轴的交点的矩的大小。顶着坐标轴看力使的大小。顶着坐标轴看力使物体绕轴逆时针旋转为正。物体绕轴逆时针旋转为正。力对轴的矩之解析表达式力对轴的矩之解析表达式设空间中有一个力设空间中有一个力 F Fy yx xy yx xO Oz zF Fx xF Fy yF FxyxyX XY YZ ZF FA(x, y, z)A(x,

5、 y, z)力作用点力作用点 A A的坐标为（的坐标为（x x，y y，z z ） 力力 F F 在三坐标轴的投影分别为在三坐标轴的投影分别为 X X, ,Y Y , ,Z Z A(x, y, z)A(x, y, z)A(x, y, z)A(x, y, z)根据合力矩定理，得根据合力矩定理，得M M z z ( ( F F ) = ) = MM O O ( ( F Fxyxy ) ) = = M M O O ( ( F Fy y ) + ) + M M O O ( (F Fx x ) ) = = x Yx Y y X y X 按相同方法可求得的其他两式，合并写成：按相同方法可求得的其他两式，合

6、并写成： MM x x ( ( F F ) = ) = y Zy Z z Yz Y M M y y ( ( F F ) = ) = z Xz Xx Zx ZMM z z ( ( F F ) = ) = x Yx Y y Xy XX XY YZ ZX XY YZ Z 力对点的矩和力对轴的矩的关系力对点的矩和力对轴的矩的关系 力对点的矩矢量可以写成：力对点的矩矢量可以写成： 可得可得 M M O O ( ( F F ) ) x x = = M M x x ( ( F F ) ) M M O O ( ( F F ) ) y y = = MM y y ( ( F F ) ) M M O O ( ( F

7、 F ) ) z z = = MM z z ( ( F F ) ) M M O O ( ( F F ) ) = = M M O O ( ( F F ) )x x i i + + M M O O ( ( F F ) )y y j + j + M M O O ( ( F F ) )z z k k = ( = ( yZyZ zYzY ) )i i + ( + ( zXzX xZxZ ) )j j + ( + ( xYxY yXyX ) )k k 而而 M M x x ( ( F F ) = ) = yZyZ zYzY MM y y ( ( F F ) = ) = zXzX xZxZ MM z z (

8、 ( F F ) = ) = xYxY yXyX 力对点O的矩的大小为 力对点O的矩的方向余弦为图中力F F的大小为10kN，求的力 F F 在 x、y、z三坐标轴的投影，以及对三坐标轴的矩和对O点的矩。(长度单位为m)Oxyz例 5-1i ij jk k解：1、先求F F的三个方向余弦A(4,9,5)534F F F F F F2、求力的投影3、求力对轴的矩Oxyzi ij jk kA(4,9,5)534F F F FF F已算得：（求力对轴的矩也可以先将力 F 分解为三个分力，再由合力矩定理分别求出力对轴的矩）4、求力F F对O点的矩由 MMO (F F ) = M x i i + M y

9、 j j + M z k k 得：即手柄手柄 ABCE ABCE 在平面在平面 AxyAxy内，在内，在D D 处作处作用一个力用一个力F F，它垂直，它垂直y y轴，偏离铅垂线的角度为轴，偏离铅垂线的角度为 ，若，若CDCD = = a a，BCBC x x轴，轴，CECE y y轴，轴，ABAB = = BCBC = = l l。求力求力F F对对x x、y y和和z z三轴的矩三轴的矩。例 5-2CDEAxzyF FB显然，显然， F Fx x = = F Fsinsin F Fz z = = F Fcoscos 由合力矩定理可得：由合力矩定理可得：C CD DE EA Ax xz zy

10、 y B B解法解法1 1将力将力F F沿坐标轴分解沿坐标轴分解为为F Fx x 和和F Fz z。F Fx xF Fz zM M x x ( ( F F ) = ) = MM x x ( ( F Fz z ) = -) = -F F z z ( (AB+CDAB+CD) = - ) = - F F ( ( l l + + a a )cos)cos MM y y ( ( F F ) = ) = MM y y ( ( F Fz z ) = - ) = - F F z z ( (BCBC) = - ) = - Fl Fl coscos MM z z ( ( F F ) = ) = MM z z (

11、 ( F Fx x) = -) = -F F x x ( (AB+CDAB+CD) = -) = -F F ( ( l l + + a a )sin )sin F Fx xF Fz zF Fx xF Fz z解法解法2 2直接套用力对轴直接套用力对轴之矩的解析表达式：之矩的解析表达式：力在力在 x x、y y、z z轴轴的投影为的投影为X X = = F F sin sin Y Y = 0= 0Z Z = - = - F F cos cos C CD DE EA Ax xz zy y B BF Fx xF Fz zMM x x( ( F F )= )=yZyZzYzY =( =(l l + +

12、 a a)(- )(- F Fcoscos ) - 0 =-) - 0 =-F F( ( l l + + a a )cos )cos MM y y ( ( F F ) = ) =zX zX xZxZ = 0 - ( - = 0 - ( -l l ) (- ) (- F Fcoscos ) = - ) = - FlFlcoscos MM z z ( ( F F ) = ) = xYxYyXyX =0-( =0-(l l + + a a )( )(F Fsinsin )= -)= -F F( ( l l + + a a )sin )sin 力系的主矢力系的主矢力系对简化中心主矩力系对简化中心主矩O

13、F3 F1 F2 OF1 , M1F2 , M2F3 , M3 OR , Mo O O : : 简化中心简化中心R R = = F F1 1 + + F F2 2 + + F F3 3; ; MM o o= = MM1 1 + + MM2 2 + + MM3 3 ; ; 结论 空间任意力系向一点简化，可得一力和一个力偶。空间任意力系向一点简化，可得一力和一个力偶。这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心过简化中心O O；这个力偶的矩矢等于该力系对简化；这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。中心的主矩。 主矢与简化中心无关；主矩与简化

14、中心的位置有主矢与简化中心无关；主矩与简化中心的位置有关。关。1 1、空间力系简化为一个合力偶、空间力系简化为一个合力偶 主矢R R = 0；主矩MMO 0 主矩与简化中心无关。2 2、空间力系简化为一个合力、空间力系简化为一个合力 主矢R R 0；主矩MMO = 0 合力的作用线通过简化中心。 主矢R R 0；主矩MMO 0 且 MMO R R 取 d= |Md= |MO O| / R| / ROOOR RR RR RR”R R合力矩定理 R =Fi ，d= |MMO| / R力偶（R R，R R）的矩MO等于R R 对O点的矩，即 MMO = MMO(R R) ，而又有 MMO = MMO

15、(F F)得关系式 MMO( R R ) = MMO(F F )即：将上式向任意轴投影（如 z 轴）得： Mz ( R R ) = M z( F F )OOOR R , ,R R , ,R RR”R R3 3、空间力系简化为力螺旋的情形、空间力系简化为力螺旋的情形 主矢R R 0；主矩MMO 0且MMO R ROOOOR RR R , ,R RR RMMOMMOMMOMMO右螺旋左螺旋 力螺旋就是由一个力和一个力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶作用面 力螺旋的力作用线称为力螺旋的中心轴 力螺旋由两个力学基本要素组成，不能进一步合成当主矩MMO与主矢R R即不平行也不正交时 M”O = MO s

16、in；MO = MO cos MMO和R R组成力螺旋，其中心轴距O点的距离为：OOO MM”OMMOMMOMMO4 4、空间力系简化为平衡的情形、空间力系简化为平衡的情形 主矢R R = 0；主矩MM O = 0 空间力系平衡的充分必要条件： 所有力在三个坐标轴中的每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也为零。 除了上述的基本方程，还有所谓的 4 力矩、5力矩和 6 力矩式。由：得：几种特殊情形平衡规律几种特殊情形平衡规律 汇交力系汇交力系有三个平衡方程：有三个平衡方程： X X = 0 = 0， Y Y= 0= 0， Z Z = 0 = 0平行力系（假定力的

17、作用线平行平行力系（假定力的作用线平行 z z 轴）轴） X X00， Y Y0 0 ， MMz z 0 0 平行力系有三个平衡方程：平行力系有三个平衡方程： Z Z = 0 = 0， MM x x = 0 = 0 ， MM y y = 0= 0平面一般力系（假定力的作用面为平面一般力系（假定力的作用面为OxyOxy面）面） Z Z0 0 ， MMx x 0 0 ， MMy y 0 0 平面一般力系有三个平衡方程：平面一般力系有三个平衡方程： X X = 0 = 0， Y Y= 0= 0， MM z z = 0= 0例 5-3 均质长方形薄板重 W = 200N，用球形铰链A和蝶形铰链 B 固

18、定在墙上，并用二力杆 EC 将板维持水平。求 EC 杆的拉力和铰链的反力。WWZ ZBX XBZ ZAY YAX XA AT T解：解：受力分析如图CADBabyxzE3060Z ZAY YAX XA AZ ZAY YAX XA AZ ZBX XBT TZ ZBX XBT T X X = 0 = 0，X XA A + + X XB BT T cos30 sin30 = 0 cos30 sin30 = 0 Y Y = 0 = 0，Y YA A T T cos30 cos30 = 0 cos30 cos30 = 0 Z Z = 0 = 0，Z ZA A + + Z ZB B WW + + T T

19、sin30 = 0 sin30 = 0WWZ ZB BX XB BZ ZA AY YA AX XA AT TC CA AD DB Ba ab bE E3030 6060 Z ZA AY YA AX XA AZ ZA AY YA AX XA AZ ZA AY YA AX XA AZ ZB BX XB BT TZ ZB BX XB BT TZ ZB BX XB BT T MMz z ( ( F F ) = 0 ) = 0， X X B B a a = 0 = 0 M M x x ( ( F F ) = 0 ) = 0，Z Z B B a a + +T T sin30 sin30 a a WW a

20、a / 2 = 0 / 2 = 0 M M y y ( ( F F ) = 0 ) = 0，WW b / 2 b / 2 T T sin30 sin30 b b = 0 = 0 解之得：解之得：X XA A = 86.6N = 86.6N，Y YA A = 150N = 150N， Z ZA A = 100N= 100N X X B B = 0= 0， Z Z B B = 0 = 0 ， T T = 200N = 200NW W = 200N= 200N在图中，皮带的拉力 F2 = 2F1，曲柄上作用有铅垂力 F = 2000N。 已知皮带轮的直径D = 400mm，曲柄长R = 300mm，= 30 ，=60 。求皮带拉力和轴承反力。例 5-4200mm200mm200mmDRF FF F2 2F F1 1AB解: 选坐标轴如图 (= 30 ，=60 )X = 0，F1sin30 + F2sin60 + XA + XB = 0Y = 0，0 = 0Z = 0，ZA + ZB - F - F1cos30 - F2cos60 = 0z yxzxF FRDF F2F F1Z ZAX XAZ ZB