确定性与随机性混沌

1、 本文旨在本文旨在: 从实例出发，对非线性耗散系统从实例出发，对非线性耗散系统中的混沌及其控制与同步研究中遇到的有中的混沌及其控制与同步研究中遇到的有关基本概念与问题关基本概念与问题作一些哲理性解释作一些哲理性解释。包。包括：括： 一、确定性混沌的基本概念一、确定性混沌的基本概念 二、随机混沌的约定含义二、随机混沌的约定含义 三、对混沌控制与同步的几点看法三、对混沌控制与同步的几点看法混沌是什么混沌是什么？ 混沌代表一类混沌代表一类特定形式的确定性稳态运动特定形式的确定性稳态运动, 它有别于经典的周期运动和概周期运动，它有别于经典的周期运动和概周期运动，也不涉及其它非稳态运动。混沌是一群样也不

2、涉及其它非稳态运动。混沌是一群样本运动的本运动的集合集合，由于两个相邻样本轨道之，由于两个相邻样本轨道之间存在间存在互斥性互斥性，故从不同的初始条件出发，故从不同的初始条件出发的稳态轨道都不相同。但又共享一个相空的稳态轨道都不相同。但又共享一个相空间间Poincare截面上的截面上的混沌吸引子混沌吸引子。各个稳。各个稳态样本运动的映射点都不超越、又遍历该态样本运动的映射点都不超越、又遍历该混沌吸引子。这就是混沌运动的混沌吸引子。这就是混沌运动的遍历遍历性。性。 混沌的发现清楚地告诉人们混沌的发现清楚地告诉人们, 即使确定的即使确定的 非线性系统在确定的激励和确定的初始条非线性系统在确定的激励和

3、确定的初始条件下，也可能产生不完全确定的结果。这件下，也可能产生不完全确定的结果。这是一种是一种观念上的突破观念上的突破。说明确定性系统还说明确定性系统还含有内在的随机性。混沌运动对初始条件含有内在的随机性。混沌运动对初始条件极为敏感的依赖性、混沌吸引子及其吸引极为敏感的依赖性、混沌吸引子及其吸引域的分形特征等等，都意味着随机性。事域的分形特征等等，都意味着随机性。事实上，实上，混沌反映了确定性非线性系统内在混沌反映了确定性非线性系统内在的随机性。的随机性。Intrinsic Stoshasticity inForced Duffing System :lltAxktxxxkx:Alarger

4、 ofyProbabilitsin:ionapproximatorderFirsteDissipativ:0)(sin03 稳态幅频曲线大/小A吸引域647. 0,10. 1l大/小A吸引域463. 0,12. 1l大/小A吸引域291. 0,14. 1l大/小A吸引域0957. 0,16. 1l大A发生概率吸引域边界混沌运动的主要特性混沌运动的主要特性1 有界性：有界性： 相空间的混沌吸引子相空间的混沌吸引子2 集合性、随机性：集合性、随机性： 从不同的初始条件得从不同的初始条件得 到不同的到不同的表观无序表观无序样本、组成集合样本、组成集合3 遍历性：遍历性： 每个样本都遍历一个共同的吸每

5、个样本都遍历一个共同的吸引子引子4 对初始条件的敏感性：对初始条件的敏感性： 内在随机性的一内在随机性的一个突出表现个突出表现, 导致正的导致正的Lyapunov指数指数5 分形性：分形性： 具有无限层次的具有无限层次的自相似自相似结结构构 6 有序性：有序性： 一种无周期的有序态，一种无周期的有序态， 短、短、 中期样本轨道的可预测性中期样本轨道的可预测性, 历史与未来演化历史与未来演化中的有序规律，包括通向混沌的道路与激中的有序规律，包括通向混沌的道路与激变变 7 普适性：普适性： 如存在不依赖于具体模型及其如存在不依赖于具体模型及其参数参数 的一些特征量的一些特征量Feigenbaum常

6、数常数 8 依存性：依存性： 对模型及其外部环境的依赖性，对模型及其外部环境的依赖性，包括相空间格局及其演化包括相空间格局及其演化 9 可控性：可控性： 它和特征它和特征6和和8有联系，如相有联系，如相空间格局的可变性、混沌样本的可跟踪性空间格局的可变性、混沌样本的可跟踪性低维混沌系统的相空间格局 混沌系统混沌系统指的是处于混沌运动状态下指的是处于混沌运动状态下的非线性动力系统。的非线性动力系统。 相空间格局相空间格局(overall constitution in phase space)是指是指: 系统参数冻结情系统参数冻结情形下形下, 各个吸引子及其吸引域、鞍及其各个吸引子及其吸引域、鞍

7、及其稳定与不稳定流形、分形边界稳定与不稳定流形、分形边界(或隔离或隔离带带)等在相平面上的布局。等在相平面上的布局。 值得注意值得注意,混沌相空间格局中提到的混沌相空间格局中提到的那些那些鞍鞍型不稳定吸引子等等都是在系统型不稳定吸引子等等都是在系统经历无数次分岔、或混沌激变时遗留下经历无数次分岔、或混沌激变时遗留下来的来的, 他们在混沌的形成或转化过程中都他们在混沌的形成或转化过程中都起过重要作用起过重要作用，正是这些不稳定因素协，正是这些不稳定因素协同促成了混沌的产生或激变。反过来说，同促成了混沌的产生或激变。反过来说，它们又构成对混沌的它们又构成对混沌的一种潜在威胁一种潜在威胁。只。只要其

8、中任何一种不稳定吸引子在内部参要其中任何一种不稳定吸引子在内部参数的摄动或外部激励或控制的影响下，数的摄动或外部激励或控制的影响下，一旦改变了稳定性，就可能导致相关混一旦改变了稳定性，就可能导致相关混沌吸引子的崩溃。沌吸引子的崩溃。Fractal Chaotic AttractorsSymmetry Breaking Bifurcation, Top Lyapunov exponent of Duffing systemtFxaxxcxcos)1(2 The periodic phase trajectory for = 0.935 The periodic phase trajectorie

9、s for = 0.945 Flow pattern of Poincar mapping points around the saddle and nodes Zoom of that middle part with reduced number of initial conditionsFlow lines with few number of initial condition points Periodic saddle point and its stable and unstable manifolds Bifurcation and Crisis inParametricall

10、y Driven Duffing System 2 . 0sin13112221txxxxxxxTop Lyapunov ExponentChaotic Attractors-3-2-10123-3-2-10123-3-2-10123-3-2-10123随机混沌的约定含义随机混沌的约定含义 顾名思义，随机混沌理应兼具随机顾名思义，随机混沌理应兼具随机性与混沌性，它属于性与混沌性，它属于随机运动与混随机运动与混沌运动的交集。沌运动的交集。 实质上实质上, 随机混沌是非线性系统的、随机混沌是非线性系统的、同时反映了外在随机性与内在随机同时反映了外在随机性与内在随机性影响性影响的一种响应。这里只给出

11、它的一种响应。这里只给出它的一个约定性定义。的一个约定性定义。 在确定性混沌研究中，通常限于考察在确定性混沌研究中，通常限于考察系统在系统在简谐激励简谐激励下的响应演变，并着下的响应演变，并着眼于考察系统响应眼于考察系统响应从外观有序到外观从外观有序到外观无序无序的突变的突变。 现现约定约定从探索确定性系统各种外在随从探索确定性系统各种外在随机因素如何影响原系统内在随机因素机因素如何影响原系统内在随机因素的发挥这一角度来考察随机混沌。这的发挥这一角度来考察随机混沌。这时，时，确定性因素仍占主导作用，而随确定性因素仍占主导作用，而随机因素只处于次要地位。机因素只处于次要地位。也就是说，也就是说，

12、相对于确定的简谐激励，随机激励或相对于确定的简谐激励，随机激励或参数随机摄动将约定为小量。参数随机摄动将约定为小量。 两类随机混沌问题 有有两类随机因素两类随机因素需要重点考虑，即系需要重点考虑，即系统物理统物理参数的随机摄动参数的随机摄动以及外部以及外部激励激励的随机变化。的随机变化。由此构成两类随机混沌由此构成两类随机混沌问题。问题。 随机参数非线性系统在简谐激励下的随机参数非线性系统在简谐激励下的随机混沌响应问题随机混沌响应问题 确定性非线性系统在简谐和随机共同确定性非线性系统在简谐和随机共同激励下的激励下的随机混沌响应问题随机混沌响应问题Forced Stochastic Duffin

13、g System uofPDFlikeArchuasuasuup1011220,cos3tFxxx uTop LE随机混沌吸引子Triple-well potential Duffing system under harmonic and bounded noise excitationsprocessWienertBtBtdtdyxxxyyx: )()()(coscos221153Top LEStochastic Chaos Attractors混沌控制 所谓混沌控制所谓混沌控制, 实质上就是要实质上就是要改造改造其面其面对的对的相空间格局相空间格局; 从非混沌的改变为混从非混沌的改变为混沌

14、的沌的; 或从混沌的改变为非混沌的、或或从混沌的改变为非混沌的、或改变到更加混沌的。至于怎样才能改改变到更加混沌的。至于怎样才能改造成所期望的新格局呢？还得作具体造成所期望的新格局呢？还得作具体分析，要看老格局有哪些薄弱环节，分析，要看老格局有哪些薄弱环节，关于促成新格局又有哪些有利条件。关于促成新格局又有哪些有利条件。采取的策略和办法则可以多种多样。采取的策略和办法则可以多种多样。 相空间格局是在相空间格局是在冻结冻结参数条件下参数条件下形成的定局。形成的定局。它依赖于各个分岔参数它依赖于各个分岔参数的取值的取值,有时还很敏感。有时还很敏感。 因此因此,适当调适当调节某个敏感参数就可能激活沉

15、睡的不节某个敏感参数就可能激活沉睡的不稳定周期吸引子稳定周期吸引子, ,从而颠覆相关的混沌从而颠覆相关的混沌吸引子。吸引子。Ott, Grebogi,与与Yorke 提出的提出的混沌控制微调参数法混沌控制微调参数法12 即基于此原理。即基于此原理。 实际上存在多种多样的混沌控制方法，实际上存在多种多样的混沌控制方法，除此以外，还可以增加外激或参激除此以外，还可以增加外激或参激(不不论简谐的还是随机的论简谐的还是随机的 ), 也可以增加状也可以增加状态反馈态反馈(不论实时的、还是延时的、甚不论实时的、还是延时的、甚至经过滤波的至经过滤波的)。 Fradkov与与 Evans 在其关于混沌控制的综

16、在其关于混沌控制的综述述14中着重介绍了三类混沌控制方法中着重介绍了三类混沌控制方法: OGY方法、方法、Pyragas基于延时反馈的控制基于延时反馈的控制方法方法15、以及非反馈控制方法。、以及非反馈控制方法。OGY方方法与法与Pyragas方法在思想上是一致的，都方法在思想上是一致的，都是是通过镇定某个潜在的不稳定周期解通过镇定某个潜在的不稳定周期解UPOUPO来颠覆混沌解，来颠覆混沌解，也就是实施一次也就是实施一次策反策反。 设选定的设选定的UPO周期为周期为T，它在混沌运动频谱，它在混沌运动频谱上留下的烙印上留下的烙印, 对应于对应于f = 1/T的周期运动主的周期运动主频分量、及附属

17、的一些倍频分量。再设频分量、及附属的一些倍频分量。再设 y(t) 代表系统的混沌运动，这时，代表系统的混沌运动，这时，Pyragas方方法中的法中的 延时负反馈延时负反馈 u(t）可表示如下）可表示如下: 其中其中 K 代表可调反馈系数，代表可调反馈系数，代表代表 可调延时。这样，当取可调延时。这样，当取 = T 时，时， 每次反馈后每次反馈后y y（t t）中对应目标小谱峰）中对应目标小谱峰 的周期分量的周期分量 ( (包括主频与其附属的倍包括主频与其附属的倍 频分量频分量) ) 信息始终不变信息始终不变，而而 y（t） 中其它各种分量的信息不断减弱，中其它各种分量的信息不断减弱， 最终，只

18、留下一个周期为最终，只留下一个周期为 T 的稳定周的稳定周 期运动。期运动。)()()(tytyKtu Pyragas的控制目标也可借频域滤波法近的控制目标也可借频域滤波法近 似实现。就是将混沌信号通过似实现。就是将混沌信号通过Notch Filter（一种有（一种有“V”形缺口通带的带通滤波器）反形缺口通带的带通滤波器）反复复 滤波，滤波，只需将滤波器通带底部对准只需将滤波器通带底部对准f f 就可以就可以 了。这样，对应于了。这样，对应于f 的信号分量每次滤波都的信号分量每次滤波都 毫发无损毫发无损, 通带外的信号分量则迅速滤通带外的信号分量则迅速滤除，除， 而通带内而通带内f 两侧的信号

19、分量需要许多次反复两侧的信号分量需要许多次反复 滤波才能滤除。最后只留下周期为滤波才能滤除。最后只留下周期为T( (=1/f） 的稳定简谐运动信号。的稳定简谐运动信号。Notch Filter Feedback随机混沌控制随机混沌控制gainfeedbackparameterrandomboundedorbbwhereatxtFcxxbxax:11,0, )(sin)(3 延迟反馈抑制混沌延迟反馈抑制混沌 (= +1) 延迟反馈诱发混沌延迟反馈诱发混沌 (= 1)混沌同步 混沌同步也是一种混沌控制。混沌同步也是一种混沌控制。Boccaletti 27 2002年在年在Physics Repor

20、ts上发表了上发表了长达百页的报告长达百页的报告,对此前的混沌同步研究进对此前的混沌同步研究进展作了全面的报道。着重介绍了展作了全面的报道。着重介绍了Pecora和和Caroll 28原创的驱动原创的驱动-响应模式下的响应模式下的PC方方法法, 以及在此基础上经扩展的主动以及在此基础上经扩展的主动-被动模被动模式下的式下的APD方法方法29，内容几乎涉及混沌，内容几乎涉及混沌同步现象的各个方面，如完全同步（同步现象的各个方面，如完全同步（CS）、）、广义同步广义同步GS）、滞后同步（）、滞后同步（LS）、相位）、相位同步（同步（PS）等等。）等等。 随机混沌样本同步随机混沌样本同步)5, 1(

21、,diag)()()(:),()(:0,sin)(:T5151103 iyyekkkkKYYKtFYGYAYRespondingyyyyYRYtFYGAYYDrivingSystemticDeterminisEquivalentatFcxxbxaxSystemDuffingStochasticiiiPhase trajectory of mean response-101-0.8-0.40.00.40.8dE X (t ,) /dtE X (t ,) Top LE0.00.20.40.60.81.0-0.4-0.20.00.2 k = 0.0 k = 0.1 k = 0.2TopkMean r

22、esponses without control under differentinitial conditions, A: for driving; B: for responding050100150200250300-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0 A BE x ( t , ) tMean responses with control under differentinitial conditions, A: for driving; B: for responding050100150200250300-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0 A B

23、E x ( t , ) tMean response error050100150-2.0-1.5-1.0-0.50.00.5 e1 e2 e3 e4 e5ErrortWithout control3800038500390003950040000-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5Mean responsetWith control, k=0.98, k”=0.2390003950040000-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5 B DY Axis TitletChaotic attractor for driving system-1.5-1.0-0.50.00.5

24、1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.6Y Axis TitleX axis title混沌同步的特点 1 混沌同步实质上是对混沌样本的跟踪。混沌同步实质上是对混沌样本的跟踪。 由驱动系统提供参考模板；由驱动系统提供参考模板； 由响应系统实施反馈跟踪。由响应系统实施反馈跟踪。 2 驱动系统样本运动的驱动系统样本运动的 Top LE 是是正正的；的； 响应系统跟踪运动的响应系统跟踪运动的 Top LE 是是负负的。的。噪声诱导同步噪声诱导同步 上述上述 混沌同步现象混沌同步现象 多少带有人为的强多少带有人为的强制作用。另一热门话题是制作用。另一热门话题是”噪声诱导同噪声诱导

25、同步步”，Boccaletti 将此归类于混沌同步问将此归类于混沌同步问题，其提法是：题，其提法是：研究两个非直接耦合的混研究两个非直接耦合的混沌系统在同一噪声样本作用下诱生的同步沌系统在同一噪声样本作用下诱生的同步现象。现象。所谓噪声样本不过是代表白噪声所谓噪声样本不过是代表白噪声(或或有界噪声有界噪声)的一个确定性伪随机函数。由于的一个确定性伪随机函数。由于混沌样本也具有类似的表观无序特点，与混沌样本也具有类似的表观无序特点，与上述问题并提的还有上述问题并提的还有 混沌诱导同步混沌诱导同步 问问题，提法中只需把噪声样本改成混沌样本。题，提法中只需把噪声样本改成混沌样本。 事实上，在所列举的

26、诱导同步数值实例中事实上，在所列举的诱导同步数值实例中,即使对于两个相同、独立的非线性系统，即使对于两个相同、独立的非线性系统，也只有在噪声激励下的响应均不依赖于初也只有在噪声激励下的响应均不依赖于初始条件的情况下，也就是始条件的情况下，也就是相应的最大条件相应的最大条件LyapunovLyapunov指数指数(LCLE)(LCLE)均为负时，才能实现均为负时，才能实现所谓所谓 诱导同步诱导同步。至于该同步信号究竟至于该同步信号究竟是不是混沌是不是混沌? 谁也没有提到。凭肉眼看，谁也没有提到。凭肉眼看，只能说它们都是表观无序的。只能说它们都是表观无序的。 若说它们是混沌，那么为什么相应的若说它

27、们是混沌，那么为什么相应的LCLELCLE又是负又是负的？的？Boccaletti 引用他人的辩解是引用他人的辩解是“Lyapunov指数对一类特殊的混沌系统可能已失去意义指数对一类特殊的混沌系统可能已失去意义”。我的理解恰巧相反。我的理解恰巧相反。 我认为：我认为：LCLE为负为负, 意味着意味着所选定的噪声（或混沌）样本激励已经抑制了系所选定的噪声（或混沌）样本激励已经抑制了系统的内在随机性统的内在随机性, 从而此时不可能产生混沌响应。从而此时不可能产生混沌响应。因此因此,这时的表观无序响应不过是系统对应这时的表观无序响应不过是系统对应于无序确定性样本激励的无序非稳态响应于无序确定性样本激励的无序非稳态响应而已。而已。 Not all that looks irregular is chaos!Largest Conditional Lya