导数及其应用复习

1、第一章第一章 导数及其应用复习小结导数及其应用复习小结本章知识结构本章知识结构 微积分微积分 导数导数定积分定积分导数概念导数概念导数运算导数运算导数应用导数应用 函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度运动的瞬时速度 曲线的切线斜率曲线的切线斜率 基本初等函数求导基本初等函数求导 导数的四则运算法则导数的四则运算法则简单复合函数的导数简单复合函数的导数 函数单调性研究函数单调性研究 函数的极值、最值函数的极值、最值 曲线的切线曲线的切线 变速运动的速度变速运动的速度面积面积 功功 积分定义的含义积分定义的含义微积分基本定理的含义微积分基本定理的含义微积分基本定理的应用微积分基本定理的

2、应用路程路程定积分定积分概念概念微积分基微积分基 本定理本定理 最优化问题最优化问题函数的平均变化率函数的平均变化率fx121)()f xxx2f(x函数函数y=f(xy=f(x) )的定义域为的定义域为D,xD,x1.1.x x2 2D,f(x)D,f(x)从从x x1 1到到x x2 2平均变化率为平均变化率为: :函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y( )lim( )f xfxx0 x 121)()limf xxx2f(x21xx( )limf xx0 x 导数导数基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理基

3、础知识梳理2导数的几何意义导数的几何意义函数函数yf(x)在在xx0处的导数的几何处的导数的几何意义，就是曲线意义，就是曲线yf(x)在点在点P(x0，y0)处的处的切线的切线的 ，过点，过点P的切线方程的切线方程为：为： 斜率斜率yy0f(x0)(xx0) 当点当点Q Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P P即即x x0 0时时, ,割线割线PQPQ如果有一如果有一个极限位置个极限位置PT.PT.则我们把直线则我们把直线PTPT称为曲线在点称为曲线在点P P处的处的切线切线. . 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为, ,那那么当么当x0 x0时时, ,割线割线PQPQ的的斜率斜率, ,称为

4、曲线在点称为曲线在点P P处的处的切线的斜率切线的斜率. .即即: :00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切线PQoxyy=f(x)割割线线切切线线T返回返回基础知识梳理基础知识梳理曲线在点曲线在点P处的切线和曲线过处的切线和曲线过点点P的切线有何不同？的切线有何不同？【思考【思考提示提示】前者】前者P为切为切点；后者点点；后者点P可以是切点也可以可以是切点也可以不是一般曲线的切线与曲线可不是一般曲线的切线与曲线可以有一个或一个以上的公共点以有一个或一个以上的公共点基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.nRa n

5、n-1nn-1 xxxxxxxx a a 若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=x ，则f(x)=nx若f(x)=x ，则f(x)=nx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=a ，则f(x)=a若f(x)=a ，则f(x)=a若f(x)=e ，则f(x)=e若f(x)=e ，则f(x)=e1 1若f(x)=log x，则f(x)=若f(x)=log x，则f(x)=xlnaxlna1 1若f(x)=lnx，则f(x)

6、=若f(x)=lnx，则f(x)=x x返回返回导数的运算法则导数的运算法则: :法则法则1:1:两个函数的和两个函数的和( (差差) )的导数的导数, ,等于这两个函数的导数的等于这两个函数的导数的和和( (差差),),即即: :( )( )( )( )f xg xf xg x法则法则2:2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数, ,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数, ,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数 , ,即即: :( )( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x g x法则法则3:3:两个函数的积的导

7、数两个函数的积的导数, ,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数, ,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数 , ,再除以第二个函再除以第二个函数的平方数的平方. .即即: :2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x返回返回1) 1) 如果恒有如果恒有 f(xf(x)0)0，那么，那么 y=fy=f（x) x) 在这个区间（在这个区间（a,ba,b) )内单调递增；内单调递增；2) 2) 如果恒有如果恒有 f(xf(x)0)0f (x)0如果在某个区间内恒有如果在某个区间内

8、恒有 ,则则 为常数为常数.0)( xf)(xf返回返回2)2)如果如果a a是是f(x)=0f(x)=0的一个根，并且在的一个根，并且在a a 的左侧附近的左侧附近f(x)0f(x)0f(x)0，那么是，那么是f(af(a) )函数函数f(x)f(x)的一个极小值的一个极小值. . 函数的极值函数的极值1)1)如果如果b b是是f(x)=0f(x)=0的一个根，并且在的一个根，并且在b b左侧附近左侧附近f(x)0f(x)0，在在b b右侧附近右侧附近f(x)0f(x)0，那么，那么f(bf(b) )是函数是函数f(x)f(x)的一个极大的一个极大值值注：导数等于零的点不一定是极值点注：导数

9、等于零的点不一定是极值点2)2)在在闭区间闭区间a,ba,b 上的函数上的函数y=f(xy=f(x) )的图象是一条的图象是一条连续不断连续不断的曲的曲线线, ,则它则它必有必有最大值和最小值最大值和最小值. .函数的最大（小）值与导数函数的最大（小）值与导数x xy y0a ab bx x1 1x x2 2x x3 3x x4 4f(af(a) )f(xf(x3 3) )f(bf(b) )f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )gg返回返回根据导数的定义求函数根据导数的定义求函数yf(x)在在点点x0处导数的方法：处导数的方法：课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一利用导数的定义求函数

10、的导利用导数的定义求函数的导数数课堂互动讲练课堂互动讲练例题：若例题：若 则则 , 20,xf xxxfxfx2lim000 -1 1已知已知f(x)ax33x22，若，若f(1)4，则，则a的值等于的值等于()答案：答案：B2(教材习题改编教材习题改编)已知已知f(x)138xx2，且，且f(x0)2.则则x0_.【规律总结【规律总结】函数的导数函数的导数与导数值的区别与联系：导数是与导数值的区别与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数导函数在某一点的函数值，导数值是常数值是常数1运用可导函数求导法则和导数公运用可导函数求导法则和导数

11、公式，求函数式，求函数yf(x)在开区间在开区间(a，b)内的内的导数的基本步骤：导数的基本步骤：(1)分析函数分析函数yf(x)的结构和特征；的结构和特征；(2)选择恰当的求导法则和导数公式选择恰当的求导法则和导数公式求导；求导；(3)整理得结果整理得结果考点二考点二导数的运算导数的运算2对较复杂的函数求导时，应对较复杂的函数求导时，应先化简再求导，特别是对数函数真先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性数是根式或分式时，可用对数的性质把真数转化为有理式或整式求解质把真数转化为有理式或整式求解更为方便更为方便课堂互动讲练课堂互动讲练求下列函数的导数：求下列函数的导数： (

12、5)yln(3x2)e2x1.【思路点拨【思路点拨】课堂互动讲练课堂互动讲练观察所给的函观察所给的函数形式数形式利用导数公式和运利用导数公式和运算法则求导算法则求导化简化简变形变形【解】【解】(1)法一法一：y(3x34x)(2x1) 6x43x38x24x，y24x39x216x4.课堂互动讲练课堂互动讲练法二：法二：y(3x34x)(2x1)(3x34x)(2x) (9x24)(2x1)(3x34x)2 24x39x216x4.(2)y(x2)sinxx2(sinx)2xsinxx2cosx.(3)y(3xex)(2x)(e) (3x)ex3x(ex)(2x) 3xexln33xex2xl

13、n2 (ln31)(3e)x2xln2.课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【误区警示【误区警示】(1)运算过程出现失运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则；误，原因是不能正确理解求导法则；(2)特别是商的求导法则，求导过程中符号特别是商的求导法则，求导过程中符号判断不清，也是导致错误的原因判断不清，也是导致错误的原因课堂互动讲练课堂互动讲练函数函数yf(x)在在xx0处的导数的几何处的导数的几何意义，就是曲线意义，就是曲线yf(x)在点在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，即处的切线的斜率，即kf(x0)相应地，相应地，切线方程为切线方程为yy0f(x0)(xx0)因此求

14、函数对因此求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率，只要应曲线在某一点处的切线的斜率，只要求函数在该点处的导数即可求函数在该点处的导数即可考点三考点三导数的几何意义导数的几何意义2已知直线已知直线ykx1与曲线与曲线yx3axb切于点切于点(1,3)，则，则b的值为的值为()A3 B3 C5 D5答案：答案：A5(2009年高考江苏卷改编年高考江苏卷改编)已知点已知点P在曲线在曲线C：yx310 x3上，过点上，过点P的切的切线垂直于直线线垂直于直线x2y30，则点，则点P的坐的坐标为标为_答案：答案：(2,15)，(2，9)课堂互动讲练课堂互动讲练(解题示范解题示范)(本题满分本题满分12分分)

15、已知函数已知函数f(x)x3x16，(1)求曲线求曲线yf(x)在点在点(2，6)处的处的切线的方程；切线的方程；(2)直线直线l为曲线为曲线yf(x)的切线，且的切线，且经过原点，求直线经过原点，求直线l的方程及切点坐标；的方程及切点坐标；【思路点拨【思路点拨】首先要判首先要判断已知点是否在曲线上，再断已知点是否在曲线上，再根据切线的斜率即导数值列根据切线的斜率即导数值列方程解决问题方程解决问题课堂互动讲练课堂互动讲练【解【解】(1)f(2)232166，点点(2，6)在曲线上在曲线上f(x)(x3x16)3x21，在点在点(2，6)处的切线的斜率为处的切线的斜率为kf(2)322113.切

16、线的方程为切线的方程为y13(x2)(6)即即y13x32. 4分分(2)法一：设切点为法一：设切点为(x0，y0)，则直线则直线l的斜率为的斜率为f(x0)3x021，直线直线l的方程为：的方程为：y(3x021)(xx0)x03x016.又又直线直线l过点过点(0,0)，0(3x021)(x0)x03x016，整理得整理得x038， 6分分x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113，直线直线l的方程为的方程为y13x，切点坐标，切点坐标为为(2，26). 8分分法二：设直线法二：设直线l的方程为的方程为ykx，切，切点为点为(x0，y0)，课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课

17、堂互动讲练即切点坐标为即切点坐标为(1，14)或或(1，18)切线方程为切线方程为y4(x1)14或或y4(x1)18.即即y4x18或或y4x14. 12分分【误区警示【误区警示】解题过程中，很容易解题过程中，很容易把所给的点当作曲线上的点，错误原因把所给的点当作曲线上的点，错误原因是没有把点代入方程进行检验是没有把点代入方程进行检验1曲线的切线的求法曲线的切线的求法若已知曲线过点若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线，求曲线的切线则需分点的切线则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点和不是切点两种情况求解是切点两种情况求解(1)点点P(x0，y0)是切点的切线方程为是切点的切线方程为yy0

18、f(x0)(xx0)(2)当点当点P(x0，y0)不是切点时可分以不是切点时可分以下几步完成：下几步完成：规律方法总结规律方法总结第一步：设出切点坐标第一步：设出切点坐标P(x1，f(x1)第二步：写出过第二步：写出过P(x1，f(x1)的切线的切线方程为方程为yf(x1)f(x1)(xx1)第三步：将点第三步：将点P的坐标的坐标(x0，y0)代入代入方程求出方程求出x1.第四步：将第四步：将x1的值代入方程的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)可得过点可得过点P(x0，y0)的切的切线方程线方程规律方法总结规律方法总结2函数在点函数在点x0处的导数，导函数、导数的处的导数，导函数、导数

19、的区别与联系区别与联系(1)函数在一点处的导数函数在一点处的导数f(x0)是一个常数，是一个常数，不是变量不是变量(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的函数而言的函数f(x)在区间在区间(a，b)内每一点都可内每一点都可导，是指对于区间导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数，都对应着一个确定的导数f(x0)，根据函数，根据函数的定义，在开区间的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的内就构成了一个新的函数，也就是函数函数，也就是函数f(x)的导函数的导函数f(x)规律方法总结规律方法总结(3)函数函数yf(x)在点在点