半导体物理_第二章

1、 第二章第二章 固体理论概要固体理论概要本章学习要点：本章学习要点：1. 1. 了解半导体物理中用到的基本量子力学原理，主要了解半导体物理中用到的基本量子力学原理，主要 结论，结论，包括能量量子化和几率波的概念包括能量量子化和几率波的概念，以便更好，以便更好 地理解晶体中的电子特性；地理解晶体中的电子特性；2. 2. 建立半导体的能带理论；建立半导体的能带理论；3. 3. 掌握掌握k k空间能带图，电子的有效质量，空穴的概念；空间能带图，电子的有效质量，空穴的概念；4. 4. 掌握量子态密度与电子能量之间的函数关系；掌握量子态密度与电子能量之间的函数关系；5. 5. 掌握费米狄拉克分布函数，由

2、此确定电子占据一掌握费米狄拉克分布函数，由此确定电子占据一 个量子态的几率与电子能量之间的函数关系个量子态的几率与电子能量之间的函数关系, ,费米费米 能级。能级。2.1 2.1 量子力学原理量子力学原理三个基本的量子力学原理三个基本的量子力学原理1. 1. 能量量子化能量量子化实验现象：光电效应，采用单一频率的入射光照射到实验现象：光电效应，采用单一频率的入射光照射到金属材料的表面上，则会有光电子激发出来。金属材料的表面上，则会有光电子激发出来。光强一定时，激发出的光电子光强一定时，激发出的光电子的最大动能与入射光的频率成的最大动能与入射光的频率成线性关系，且当入射光的频率线性关系，且当入射

3、光的频率低于某个临界频率时，则无论低于某个临界频率时，则无论光强多大，都不会有光电子激光强多大，都不会有光电子激发出来。发出来。光电效应采用经典理论无法解释。爱因斯坦引入光电效应采用经典理论无法解释。爱因斯坦引入“光子光子”的概念，成功解释了光电效应，临界频率的概念，成功解释了光电效应，临界频率则对应于金属材料的则对应于金属材料的功函数。功函数。( (金属中的价电子逸出金属中的价电子逸出体外，需要外界对它做的功体外，需要外界对它做的功) )2. 2. 波粒二象性原理波粒二象性原理 光电效应表明光波具有粒子（光子）的特性光电效应表明光波具有粒子（光子）的特性，电电磁波的康普顿效应实验也验证了光子

4、在与电子之间的磁波的康普顿效应实验也验证了光子在与电子之间的相互作用满足能量和动量守恒。相互作用满足能量和动量守恒。那么粒子是否也具有那么粒子是否也具有波动的特性呢波动的特性呢？ 19241924年德布罗意提出物质波的假说，即各种微观年德布罗意提出物质波的假说，即各种微观粒子也同时具有波动特性，此即波粒二象性原理。粒子也同时具有波动特性，此即波粒二象性原理。 实验现象：电子的双缝干涉实验表明实验现象：电子的双缝干涉实验表明，电子电子（粒粒子子）也具有）也具有波动波动的特性的特性。（19271927年，戴维逊和革末）年，戴维逊和革末）3.3.不确定原理不确定原理 不确定原理的首要观点是对同一粒子

5、不可能同时不确定原理的首要观点是对同一粒子不可能同时确定其坐标和动量。如果动量的不确定度为确定其坐标和动量。如果动量的不确定度为 ，而坐标的不确定度为而坐标的不确定度为 ，则不确定关系为：，则不确定关系为：pxxp 对于具有对于具有特定动量特定动量的电子，在任意时刻，其位置的电子，在任意时刻，其位置是不能确定的，只能由几率函数给出。是不能确定的，只能由几率函数给出。2.2 2.2 能量量子化与几率波的概念能量量子化与几率波的概念 能量量子化和波粒二象性原理都无法应用经典能量量子化和波粒二象性原理都无法应用经典力学的理论来解释，力学的理论来解释，19261926年薛定谔提出了微观粒子年薛定谔提出

6、了微观粒子的波动力学理论。稳态情况下，不含时间的薛定谔的波动力学理论。稳态情况下，不含时间的薛定谔方程可以表示为：方程可以表示为： 其中其中E E是微观粒子总的能量，假设其为常数，是微观粒子总的能量，假设其为常数，V(xV(x) )为微观粒子的势能，为微观粒子的势能，m m是微观粒子的质量。是微观粒子的质量。反映电子在原胞内运动的。的分布几率是一样原胞的相应位置，电子明在每个周期性调制的振幅，表振幅为任意晶格矢，又因为(x)(x) ),()(nnaaxx化运动。体中的共有反映的是电子在整个晶而)(t自由电子的波函数为：自由电子的波函数为：tEjAe(x)/(氢原子模型示意图氢原子模型示意图对于

7、氢原子模型这样的三维波函数问题，除了主量对于氢原子模型这样的三维波函数问题，除了主量子数子数n n之外，还必须引入另外量子数，即：轨道角量之外，还必须引入另外量子数，即：轨道角量子数子数L L和磁量子数和磁量子数m m，这些量子数之间的关系为：，这些量子数之间的关系为：n=1, 2, 3, . ,n=1, 2, 3, . ,L=n-1, n-2, n-3, ., 3, 2, 1, 0L=n-1, n-2, n-3, ., 3, 2, 1, 0|m|=L, L-1, L-2, . , 2, 1, 0|m|=L, L-1, L-2, . , 2, 1, 0每一组量子数对应于电子可以占据的一个量子态

8、。每一组量子数对应于电子可以占据的一个量子态。在氢原子模型中，薛定谔波动方程的解可表示为：在氢原子模型中，薛定谔波动方程的解可表示为：其中其中n n、L L、m m为一组量子数。为一组量子数。当当n=1n=1、l=0l=0、m=0m=0时，波函数为：时，波函数为：该波函数是球对称的，其中的该波函数是球对称的，其中的a a0 0为：为：a a0 0称为玻尔半径称为玻尔半径（起源于经典理论中的玻尔原子理论）。（起源于经典理论中的玻尔原子理论）。电子的径向几率密度函数，即在距离原子核一定间距范围内找到电子的几率，既正比于乘积 ，同时也正比于环绕原子核的一个球壳的微分体积。左图给出了氢原子模型中最低能

9、态上电子的几率密度分布函数。从图中可见，当r=ar=a0 0时，电子的分布几率最大。当当n=2n=2、l=0l=0、m=0m=0时，对应的高能态球对称波函数时，对应的高能态球对称波函数的的径向几率密度函数如下图所示：径向几率密度函数如下图所示：2.3 2.3 固体的量子理论固体的量子理论 在上一节关于氢原子模型的讨论中，看到在上一节关于氢原子模型的讨论中，看到束缚束缚电子的能级是量子化的，只能取一系列分立的数值，电子的能级是量子化的，只能取一系列分立的数值，而电子的空间位置则是由径向几率分布密度函数决而电子的空间位置则是由径向几率分布密度函数决定。定。在这一节中我们将把上述有关单个原子的结论在

10、这一节中我们将把上述有关单个原子的结论推广到整个晶体材料中，从而形成晶体材料中的允推广到整个晶体材料中，从而形成晶体材料中的允许带和禁带的概念。许带和禁带的概念。1. 能带的形成能带的形成 左图为单个原子的电子云径向密度分布，右图左图为单个原子的电子云径向密度分布，右图则是当两个原子靠近之后，二者的电子云发生重叠，则是当两个原子靠近之后，二者的电子云发生重叠，此时两个不同原子的电子之间产生相互作用，导致此时两个不同原子的电子之间产生相互作用，导致原来相同的两个能级发生分裂。原来相同的两个能级发生分裂。 下图所示为两个氢原子靠得很近之后，原来下图所示为两个氢原子靠得很近之后，原来相同的两个相同的

11、两个1s1s能级就会发生分裂，变成两个离能级就会发生分裂，变成两个离散的能级。散的能级。如图所示为大量相同的原子靠得很近形成晶体材料如图所示为大量相同的原子靠得很近形成晶体材料之后，原来相同的电子能级就会发生分裂，变成一之后，原来相同的电子能级就会发生分裂，变成一系列离散的能级，系列离散的能级，这些离散的能级形成能带这些离散的能级形成能带，其中，其中的的r r0 0代表平衡状态下晶体中的原子间距。代表平衡状态下晶体中的原子间距。图示为大量包含多个电子的原子靠得很近形成晶体图示为大量包含多个电子的原子靠得很近形成晶体材料之后，原来相同的电子能级发生分裂的情况。材料之后，原来相同的电子能级发生分裂

12、的情况。 原子靠近原子靠近电子云发生重叠电子云发生重叠电子之间存在相互作用电子之间存在相互作用分立分立的能级发生分裂形成能带。从另外一方面来说，这也是泡利不相的能级发生分裂形成能带。从另外一方面来说，这也是泡利不相容原理所要求的。容原理所要求的。大量硅原子形成硅晶体材料的情况：大量硅原子形成硅晶体材料的情况：（1 1）单独硅原子的电子能级示意图；）单独硅原子的电子能级示意图；(2)(2)大量硅原子（大量硅原子（N N）形成硅晶体的电子能级分裂示）形成硅晶体的电子能级分裂示意图意图硅晶体形成过程中发生的硅晶体形成过程中发生的spsp3 3轨道杂化，最终形成填轨道杂化，最终形成填满电子的价带和完全

13、没有电子的导带，二者之间为满电子的价带和完全没有电子的导带，二者之间为禁带宽度禁带宽度EgEg。温度升高时，共价键中的个别电子可能会获得足够温度升高时，共价键中的个别电子可能会获得足够大的能量，从而克服共价键的束缚，进入导带。大的能量，从而克服共价键的束缚，进入导带。能带图：纵坐标为能量，横坐标为空间位置。能带图：纵坐标为能量，横坐标为空间位置。各个分各个分裂出来的能级都位于导带和价带之中，导带底裂出来的能级都位于导带和价带之中，导带底E EC C和价和价带顶带顶E EV V之间的能量差为禁带宽度之间的能量差为禁带宽度E Eg g。随着温度的升高，。随着温度的升高，导带中的电子和价带中的空位数

14、都会增加。导带中的电子和价带中的空位数都会增加。3. 3. 晶体材料中电子与空穴的有效质量晶体材料中电子与空穴的有效质量电子在晶体材料中的运动与电子在自由空间的运动有电子在晶体材料中的运动与电子在自由空间的运动有很大的差别，晶体中的电子除了受到外力之外，还会很大的差别，晶体中的电子除了受到外力之外，还会受到来自晶体内部各种带电粒子以及周期性势场的作受到来自晶体内部各种带电粒子以及周期性势场的作用。用。Eddkm222*mKE *m*m, ,根据定义，根据定义，是状态的函数，其值取决于是状态的函数，其值取决于该状态下的该状态下的带顶，带底附近有效质量才近似为常数带顶，带底附近有效质量才近似为常数

15、。带底：带底：0000关系。关系。带顶：带顶：以后方便期间，以后方便期间，*一般省略。一般省略。晶体中的电子，除了受外力作用外，还受到复杂的周晶体中的电子，除了受外力作用外，还受到复杂的周期场的作用力，采用期场的作用力，采用 就可以得出外力就可以得出外力F F和加速和加速度度a a的简单关系，而把复杂的周期场力包括到的简单关系，而把复杂的周期场力包括到 中去了，从而可以将晶体中的电子视为经典粒子，将中去了，从而可以将晶体中的电子视为经典粒子，将其规律等效为自由电子的运动规律，使问题大大简化其规律等效为自由电子的运动规律，使问题大大简化的意义：的意义：*m*m*m4. 4. 带电载流子带电载流子

16、电子与空穴电子与空穴 半导体材料中可以用来传导电流的微观粒子称为载半导体材料中可以用来传导电流的微观粒子称为载流子，包含电子和空穴两大类。流子，包含电子和空穴两大类。（1 1）电子）电子 我们关心的主要是位于我们关心的主要是位于导带底部导带底部的这些可以在电的这些可以在电场作用下做定向运动并能够传导电流的电子。电子场作用下做定向运动并能够传导电流的电子。电子电流密度可以表示为：电流密度可以表示为：iv是是E E引起的电子速度的引起的电子速度的改变量改变量。对于每个电子，由。对于每个电子，由于受到散射，于受到散射， 不同，但大量电子不同，但大量电子 的平均值的平均值 在一定外场下是确定的。在一定

17、外场下是确定的。Dviviv假定平均自由时间为假定平均自由时间为 ,则：则： ttmeEtavnD从而从而EmtnevnenD020 价带中大量电子的电流，原则上也可用上面的方法价带中大量电子的电流，原则上也可用上面的方法求，但计算相当复杂且求，但计算相当复杂且 不为常数，所以实际上不不为常数，所以实际上不可能。所以引入了可能。所以引入了“空穴空穴”的概念。的概念。nm（2 2）空穴）空穴 假设半导体材料中价带顶部的空位浓度为假设半导体材料中价带顶部的空位浓度为P P0 0 , ,价带中全部电子在价带中全部电子在E E作用下产生的电流密度为作用下产生的电流密度为J Jp p, ,若将空态全部填

18、满电子，这些电子（若将空态全部填满电子，这些电子（m mn n0EC，mn*为导带中为导带中电子的态密度有效质量电子的态密度有效质量。而对于价带中的空穴来说，则其态密度分布为：而对于价带中的空穴来说，则其态密度分布为：其中，其中，EEV，mp*为价带中为价带中空穴的态密度有效质量空穴的态密度有效质量。mkEEC22 当当EVEEC时，则为禁带时，则为禁带,在此能量区间在此能量区间g(E)=0导带中导带中电子的态密度分布函数电子的态密度分布函数gC(E)和价带中空穴的态密度分布和价带中空穴的态密度分布函数函数gV(E)随着能量随着能量E的变化的变化关系关系.当电子的态密度有效质当电子的态密度有效

19、质量与空穴的态密度有效质量量与空穴的态密度有效质量相等时，二者则关于禁带中相等时，二者则关于禁带中心线相对称。心线相对称。2.5 统计力学简介统计力学简介在处理有关大量微观粒子的系统时，在处理有关大量微观粒子的系统时，我们关心的主我们关心的主要是大量微观粒子所表现出的规律，而不是具体某要是大量微观粒子所表现出的规律，而不是具体某个微观粒子的特性。个微观粒子的特性。关心的是微观粒子在不同能级关心的是微观粒子在不同能级上的分布情况上的分布情况1.统计规律：统计规律：（1）麦克斯韦玻尔兹曼统计分布函数；）麦克斯韦玻尔兹曼统计分布函数； 不同微观粒子之间相互可以区分，每个能态上所不同微观粒子之间相互可

20、以区分，每个能态上所允许存在的粒子数量不受限制。允许存在的粒子数量不受限制。主要适用于经典粒子主要适用于经典粒子的能量分布，例如在一个低压密闭容器中的气体分子的能量分布，例如在一个低压密闭容器中的气体分子就遵循麦克斯韦玻尔兹曼统计分布规律。就遵循麦克斯韦玻尔兹曼统计分布规律。（2）费米狄拉克统计分布函数；）费米狄拉克统计分布函数；不同微观粒子之间相互无法区分，并且每个量子态上不同微观粒子之间相互无法区分，并且每个量子态上只允许存在的一个微观粒子。只允许存在的一个微观粒子。费米子，服从泡利不相费米子，服从泡利不相容原理，例如，晶体中的电子就遵循费米狄拉克统容原理，例如，晶体中的电子就遵循费米狄拉

21、克统计分布规律。计分布规律。2. 费米狄拉克分布函数与费米能级：费米狄拉克分布函数与费米能级： 晶体中的电子遵循费米狄拉克统计分布规律。晶体中的电子遵循费米狄拉克统计分布规律。费米狄拉克统计分布函数为：费米狄拉克统计分布函数为：上式中，上式中，N(E)为单位体积的晶体材料中，单位能量间为单位体积的晶体材料中，单位能量间隔区间内存在的隔区间内存在的微观粒子数量微观粒子数量，g(E)为单位体积的晶为单位体积的晶体材料中，单位能量间隔区间内所具有的体材料中，单位能量间隔区间内所具有的量子态数量量子态数量。fF(E)就称作费米狄拉克统计分布函数，就称作费米狄拉克统计分布函数，它反映的是它反映的是能量为能量为E的一个量子态被一个电子占据的几率。而的一个量子态被一个电子占据的几率。而EF则称为费米能级。则称为费米能级。费米狄拉克统计分布函数为：费米狄拉克统计分布函数为：T=0K时的费米狄拉克统计分布函数：时的费米狄拉克统计分布函数：如下图所示。在如下图所示。在T=0K条件下，当条件下，当EEF时，时，fF(E)=0；注意：费米能级注意：费米能级EF反映的是电子在不同能态