通信原理第九章

1、第9章 数字信号的最佳接收第九章数字信号的最佳接收本章主要内容9.1 引言(什么是“最佳接收”)9.2 最大信噪比准则(即匹配滤波器)9.3 最小均方差准则9.4 最小误码率准则9.5 二进制最佳接收机举例本章重点本章重点 -常见的最佳接收准则最大输出信噪比准则(匹配滤波器) h(t)的求法 so(t)的求法 最大信噪比的输出时刻和数值计算最大似然准则公式课后习题课后习题9.1注意： （1）设噪声功率谱密度n0已知 （2）h(t)与输出信号不是一回事 （3）h(t)与s(t)关于Tb/2对称 （4）而输出信号是h(t)与s(t)的卷积，共分4段对于考研的同学对于考研的同学,9.3节和节和9.4

2、节同等重要节同等重要第9章 数字信号的最佳接收 9.1 引言1. 信号在信道传输时存在两个问题：信号在信道传输时存在两个问题：（1）信道特性不理想。）信道特性不理想。2.最佳接收原理：最佳接收原理： 在随机噪声存在的条件下，使接收机最佳地完成接在随机噪声存在的条件下，使接收机最佳地完成接收和判决信号的一般性理论。收和判决信号的一般性理论。（2）在传输过程中引入了噪声。）在传输过程中引入了噪声。（均衡器）（均衡器）（最佳接收机）（最佳接收机）第9章 数字信号的最佳接收 最佳接收 类似于香农定理指出了特定带宽和信噪比条件下的传信率的极限， “最佳接收”告诉人们在特定的发送波形和噪声情况下，接收机所

3、能达到的最佳接收效果的极限 即“最佳接收”是一种理论，是一种努力方向，但在实际中并不一定这么去设计接收机。第9章 数字信号的最佳接收二、最佳接收准则 “最佳”有不同的标准，我们把这些标准称为“最佳接收准则”，常见的准则有 最大输出信噪比准则 经过对信号特殊处理，使得输出信号在特定的时刻达到最大信噪比 最小均方差准则 因为“方差”代表着相似度，所以接收信号与哪个信号方差最小就表示发送的是哪个信号 最小误码率准则 使得差错的概率最小（从概率分布密度入手）第9章 数字信号的最佳接收 所谓的所谓的“最佳最佳”是是相对相对的而不是绝对的，是对一定的准则而的而不是绝对的，是对一定的准则而言的。在某一准则下

4、设计的最佳接收机，而在另一准则下不一定言的。在某一准则下设计的最佳接收机，而在另一准则下不一定是最佳的。是最佳的。 4. 本章重点：本章重点：（1）三个准则。）三个准则。（2）匹配滤波器的设计。）匹配滤波器的设计。第9章 数字信号的最佳接收9.2 最大信噪比准则及其最佳接收1. 最大输出信噪比准则：在接收机输入信噪比相同的情况下，最大输出信噪比准则：在接收机输入信噪比相同的情况下，若所设计的接收机输出信噪比最大，则我们能够最佳地判断若所设计的接收机输出信噪比最大，则我们能够最佳地判断所出现的信号，从而可以得到最小的误码率。所出现的信号，从而可以得到最小的误码率。 一一. 概念概念2. 匹配滤波

5、器：在某一时刻匹配滤波器：在某一时刻 t0 ，输出信号的输出信号的瞬时功率瞬时功率与与噪声平均噪声平均功率功率之比达到最大的一种线性滤波器之比达到最大的一种线性滤波器 。 注：所谓的注：所谓的“匹配匹配”是指滤波器的是指滤波器的传递函数传递函数与与输入信号频谱输入信号频谱之间的匹配。之间的匹配。以以“最大信噪比最大信噪比”为准则的最佳接收机又称为为准则的最佳接收机又称为“匹配滤波匹配滤波器器”。第9章 数字信号的最佳接收3. 设计匹配滤波器的基本条件：设计匹配滤波器的基本条件：（1）接收端事先明确知道，发送信号分别以何种形状的波形，）接收端事先明确知道，发送信号分别以何种形状的波形，表示发送的

6、表示发送的1，0码符号或多元符号。码符号或多元符号。（2）接收端针对各符号波形，分别提供与其相匹配的接收电）接收端针对各符号波形，分别提供与其相匹配的接收电路，能使各符号接收波形的输出信噪比最大。路，能使各符号接收波形的输出信噪比最大。第9章 数字信号的最佳接收1. 条件条件二二. 原理原理（1）线性滤波器输入端的信号为：）线性滤波器输入端的信号为：)()()(tntstx（2）输出端的信号为：）输出端的信号为：)()()(00tntsty（3）滤波器的传递函数为）滤波器的传递函数为 ，)(H的频谱函数为的频谱函数为 ，)(ts)(S噪声的功率谱为噪声的功率谱为 。20n)(H)(tx)(th

7、)(ty第9章 数字信号的最佳接收)()(1ooSFts即)()(1HSFdeHStj)()(21（1）输出信号的瞬时功率所以输出信号的瞬时功率为所以输出信号的瞬时功率为22)()(21)(deHStstjo22)()(41deHStj2 分析分析第9章 数字信号的最佳接收（2）输出噪声的平均功率 根据3.9节中的结论公式(3.9.8)可知 一个平稳随机过程通过线性系统后的功率谱密度是原来的|H()|2倍 所以当功率谱密度为n0/2高斯噪声通过线性的匹配滤波器时，输出噪声功率谱密度为20)(2HndHnNo20)(221输出噪声平均功率dHn20)(4第9章 数字信号的最佳接收匹配滤波器在t0

8、时刻输出的瞬时信噪比d| )(|4de )()(41| )(|202j220oo0HnSHNtsrto兹不等式根据高等数学中的许瓦dxxgdxxfdxxgxf222)()()()(d| )(|4de )(d)(41202j22o0HnSHrt第9章 数字信号的最佳接收匹配滤波器最大瞬时信噪比2d)(2102onSr即EtsS的能量就是信号伐定理可知根第二章学过的据巴塞)(d)(21200o22nEnEr这就是匹配滤波器能获这就是匹配滤波器能获得的最大瞬时信噪比得的最大瞬时信噪比第9章 数字信号的最佳接收获得最大瞬时信噪比的条件 即上式中等号成立的条件，也就是许瓦兹不等式中等号成立的条件，为两个

9、函数共轭*)()(0tjeSH即0)(*tjeS对上式两边同时取反付立叶变换可得对上式两边同时取反付立叶变换可得（积分过程详见公式（积分过程详见公式9.2.9）)()(0ttsth在电路学中，两个共轭的阻抗，我们通常称作在电路学中，两个共轭的阻抗，我们通常称作“匹配匹配”，这正，这正是是“匹配滤波器匹配滤波器”名称的由来名称的由来)(,0码元宽度通常取为了使系统可物理实现bTt 第9章 数字信号的最佳接收结论结论（2）由于）由于 与与 相一致，所以称为匹配滤波器。相一致，所以称为匹配滤波器。)(H)(S（3）冲激响应为：）冲激响应为： 。)()(0ttKsth（4）要是匹配滤波器物理可实现，则

10、要：）要是匹配滤波器物理可实现，则要： 。00)(ttts这说明：对于物理可实现的匹配滤波器，其输入端这说明：对于物理可实现的匹配滤波器，其输入端 必须在它输出最必须在它输出最大信噪比时刻大信噪比时刻t0之前等于之前等于0。 )(ts（5）输出信号为：）输出信号为：)()()()()()()()(0000ttKRdttssKdtstsKdhtsts（1）当）当 时，时， ( ) 。 0)()(tjeKSH0max02nErdSE2)(21)()(,0ttRts的自相关函数上式恰好为根据自相关函数定义第9章 数字信号的最佳接收)()()(激响应即匹配滤波器的单位冲取反付立叶变换可得对thHdeH

11、thtj)(21)(deeStjtj0)(21*deedestjtjj 0*)(21ddeeestjtjj0)(21dsdeetjtj)(21)(0根据付立叶变根据付立叶变换时移特性换时移特性dstt)()(0)(0tts第9章 数字信号的最佳接收h(t)与s(t)的波形关系)()(0tTsthTtbb所以有一般取 通过对任意一个s(t)波形，画出h(t)波形的方法，我们可知 h(t)与s(t)关于t=Tb/2这条竖线呈左右对称如t)(tsbT2bTt)(thbT2bT则第9章 数字信号的最佳接收例题已知s(t)如图所示，求 （1）输出最大信噪比的时刻 （2）匹配滤波器的单位冲激响应和输出波形

12、 （3）最大信噪比的值t)(tsbTA第9章 数字信号的最佳接收bbTTt码元结束时刻，最大信噪比时刻即为一般选解：0) 1 ( 对称关于应与响应匹配滤波器的单位冲激2)()()2(bTttsth图形如下所以)(tht)(thbTA第9章 数字信号的最佳接收的卷积与为输出根据信号与系统知识，)()()(thtstsot)(thbTA)(sAbT)(th0)()(, 0stht当0)()()(dsthtso00)()(,0区间内不为只有在当tsthTtb)()(tTTAthbb且bTAs)(且第9章 数字信号的最佳接收bTA)(sAtTb)(tht的积分区域时bTt 0时当bTt 0dsthts

13、o)()()(dTAtTTAbtbb0)(62322ttTTAbbt)(tsobT第9章 数字信号的最佳接收bTA)(sAtTb)(tht的积分区域时bbTtT2时当bbTtT2dsthtso)()()(dTAtTTAbTtbbbbT-)(t)(tsobTbT2第9章 数字信号的最佳接收bTA)(sA)(thtbT2时当bTt20)()()(dsthtsot)(tsobTbT2第9章 数字信号的最佳接收02)3(nEro直接利用公式dttsEbT02)(dttTAbTb02bTbtTA0323332bbTTA32bTA0232nTArbo的最大值为第9章 数字信号的最佳接收关于这类题型的总结

14、1、 h(t)与输出信号不是一回事 2、 h(t)与s(t)关于Tb/2对称 3、输出信号是h(t)与s(t)的卷积，通常要分段来讨论相乘以后的积分结果 4、信号能量可以从信号波形中计算出来第9章 数字信号的最佳接收)(ty)0 ()() (1TttTsth)0 ()()(2TttTsth输出T定时判决比较 二进制最佳接收机结构框图二进制最佳接收机结构框图)0 ()()(TttTsthm)0 ()()(1TttTsth)(ty输出决判较比T定时多进制最佳接收机结构框图多进制最佳接收机结构框图 第9章 数字信号的最佳接收 9.3 9.3 最小均方差准则最小均方差准则 最小均方差准则：在接收机中将

15、已知的约定信号与接收信最小均方差准则：在接收机中将已知的约定信号与接收信号相比较，求其均方差（或求相关系数），然后根据均方差的号相比较，求其均方差（或求相关系数），然后根据均方差的大小判定收到的是哪个信号。大小判定收到的是哪个信号。 一一. 概念概念二二. 分析分析 以二进制系统为例，用以二进制系统为例，用 和和 分别表示分别表示“0”和和“1”的的发送波形。发送波形。 )(1ts)(2ts第9章 数字信号的最佳接收1. 接收信号：接收信号： )()()(tntsty2. 均方差：均方差： TdttstyTtstyE0212121)()(1)()(与与 的均方差为：的均方差为：)(1ts)(t

16、y与与 的均方差为：的均方差为：)(2ts)(tyTdttstyTtstyE0222222)()(1)()(3. 判决准则：判决准则： )()(2222112221tsts判为判为第9章 数字信号的最佳接收4. 最佳接收机模型：最佳接收机模型： 2)( dt2)( dt比较判决定时 Ts)(1ts)(2ts)(ty输出+-第9章 数字信号的最佳接收5. 化简：化简： （1）假设条件：）假设条件： EdttsdttsTT022021)()( 与与 的能量相等，即的能量相等，即:)(2ts)(1ts 与与 的相关系数为：的相关系数为：)(2ts)(1tsTdttstsE021)()(1 2121)

17、()(tsPtsP第9章 数字信号的最佳接收（2）推导：）推导： TTdttstyTdttstyT022021)()(1)()(1？TTdttstydttsty0201)()()()(？（3） 简化后的判决准则：简化后的判决准则： )()()()()()()()()()(2020110201tsdttstydttstytsdttstydttstyssssTTTT判为判为第9章 数字信号的最佳接收（4）简化后）简化后 最佳接收机模型：最佳接收机模型： dt dt比较判决定时 Ts)(1ts)(2ts)(ty输出第9章 数字信号的最佳接收9.4 最小误码率准则 我们在第7章讲过,二进制不归零信号的

18、误码率1/0) 1 (0/1)0(PPPPPe0a1a)(0 xf)(1xfy)(100/1对应图中红色阴影面积的条件概率误判成是发其中P)(011/0对应图中兰色阴影面积的条件概率误判成是发其中P根据第根据第7章的讨论章的讨论,最佳判决电平最佳判决电平y应满足应满足:)()0()() 1 (01yfPyfPx1,判成时当yx 1)()0()() 1 (01判为xfPxfP0反之判成第9章 数字信号的最佳接收最大似然准则 根据上面的公式，我们可以得出一个误码率最小的最佳判决准则 这个准则简称为“最大似然准则”当发当发“1”或发或发”0”是一个恒定电平时是一个恒定电平时两个条件概率就是高斯分布，

19、从而可以具体计算。两个条件概率就是高斯分布，从而可以具体计算。但，如果信号不是恒定信号呢？但，如果信号不是恒定信号呢？)() 1 (1xfP)() 0(0 xfP10第9章 数字信号的最佳接收当发送信号不是恒定电平信号时的条件概率分布密度(证明过程从略) 例如2ASK/2FSK/2(D)PSK调制波形,发”1”或发“0”时，波形不是一个恒定电平 所以该信号加上噪声后，也不是一个简单的高斯分布 可证明其k维联合概率密度为)()(1exp)2(1)(020)(dttstynyfbTknts是一个随机过程是接收机收到的信号其中,)(ty第9章 数字信号的最佳接收任意二进制波形的最大似然准则 对于非恒

20、定电平波形的信号（如2进制数字调制信号），最大似然准则变成：)()(1exp)(02101dttstynsPbT1s2s)()(1exp)(02202dttstynsPbT0)(1)(21表示发；表示发其中tsts第9章 数字信号的最佳接收最小误码率准则下的最佳接收机 对上式两端同取以e为底的对数（因为指数函数不易用电路实现）dttstynsPbT02101)()(1)(ln1s2sdttstynsPbT02202)()(1)(ln把积分号里的平方项展开把积分号里的平方项展开第9章 数字信号的最佳接收最小误码率准则下的最佳接收机)()()(2)(1)(ln021010201dttsdttsty

21、dttynsPbbbTTT1s2s)()()(2)(1)(ln022020202dttsdttstydttynsPbbbTTT),2PSK,2FSK()()(021021双极性基带信号调制例如假设dttsdttsbbTT由于基于这个假设，所以下面的结论和框图不适用由于基于这个假设，所以下面的结论和框图不适用于单极性的基带信号和于单极性的基带信号和2ASK信号！信号！第9章 数字信号的最佳接收最小误码率准则下的最佳接收机 整理上式得dttstysPnbT0110)()()(ln21s2sdttstysPnbT0220)()()(ln21U计为2U计为)(2ts+1U+2U第9章 数字信号的最佳接

22、收 确知信号的最佳接收确知信号的最佳接收1. 确知信号的定义：确知信号的定义：P216（1）条件一：条件一：2. 二进制确知信号的最佳接收机设计二进制确知信号的最佳接收机设计EdttsdttsTT022021)()( 与与 的能量相等，即的能量相等，即:)(2ts)(1ts根据最小差错率准则，经理论推导可得如下判决准则：根据最小差错率准则，经理论推导可得如下判决准则：)()()()()()()()()()(20220111022011tsdttstyUdttstyUtsdttstyUdttstyUTTTT判为判为)(ln2)(ln2202101sPnUsPnU其中：其中：第9章 数字信号的最佳

23、接收此时二进制确知信号最佳接收机框图如下图所示。此时二进制确知信号最佳接收机框图如下图所示。 dt dt比较判决定时 Ts)(1ts)(2ts)(ty输出1U2U第9章 数字信号的最佳接收（2）条件二：条件二： 与与 的出现概率相等，即的出现概率相等，即:)(2ts)(1ts因此，二进制确知信号的判决不等式可再次简化为：因此，二进制确知信号的判决不等式可再次简化为：)()()()()()()()()()(2020110201tsdttstydttstytsdttstydttstyTTTT判为判为21)()(21sPsP此时，此时， 。21UU dt dt比较判决定时 Ts)(1ts)(2ts)(ty输出第9章 数字信号的最佳接收（3）条件三：条件三： 对于对于PSK系统，判决不等式还可简化为：系统，判决不等式还可简化为：)(0)()()(0)()(201101tsdttstytsdttstyTT判为判为对于对于PSK系统，有系统，有)()(21tstsTTdttstydttsty0201)()()()( dt比较判决定时 Ts)(1ts)(t