六、材料力学应力状态分析(2)

1、s sxs syt txyt tyxs syt txyyxs sxsz 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析sz三向应力状态三向应力状态三个主应力都不为零的应力状态；三个主应力都不为零的应力状态；特例特例 三个主应力中至少有一个是已知的三个主应力中至少有一个是已知的( (包括大小和方包括大小和方向向) )。据此，平面应力状态即为三向应力状态的特例。据此，平面应力状态即为三向应力状态的特例。 我们可以用平面应力状态方式解决问题我们可以用平面应力状态方式解决问题s3 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析如图单元体，已知如图单元体，已知s1 、 s2 、 s3我们可以用平面应力状态方式看

2、我们可以用平面应力状态方式看看其应力圆的形式。看其应力圆的形式。ts由由s2 、 s3可作出应力圆可作出应力圆 Is3s2I三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析Is1平行于平行于s1 的方向面其上之应力与的方向面其上之应力与s1无关无关s2s3IIs s1 s s3 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析IIIs2s3tsOs2 平行于平行于s2的方向面其上之应力与的方向面其上之应力与s2无关，由无关，由s1 、 s3可作出应力圆可作出应力圆IIII。 s3s1IIItsOs3IIIs2s1三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析IIIs2s1平行于平行于s3 的方向面其上之应力与

3、的方向面其上之应力与s3 无关，由无关，由s s1 、 s s2可作出应力圆可作出应力圆 III。由图可见、三向应力状态应力圆由三个圆组成。由图可见、三向应力状态应力圆由三个圆组成。s3 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析IIIs3IIIs2s1Ots三向应力状态应力圆由三向应力状态应力圆由三个圆组成，每一个圆三个圆组成，每一个圆上的点代表着相关平面上的点代表着相关平面上不同方向的应力值。上不同方向的应力值。三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析Otszyxs2s1s3面内最大切应力面内最大切应力与与一点处的最一点处的最大切应力大切应力的确定：的确定：三向应力状态三向应力状态 特例

4、分析特例分析Otss3s2t zyxs2s3 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析zyxs1s3s1Otss3s2t t 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析zyxs2s1s1s1Otss3s2t t t s3三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 在三组特殊在三组特殊方向面中都有各方向面中都有各自的面内最大切自的面内最大切应力应力, ,即：即：zyxs2s1s3Otss1s3s2t t t 一点处应力一点处应力状态中的最大切状态中的最大切应力只是应力只是t、t、t 中最大者即中最大者即: : = (2-3)/2; =(1-2)/2; =(1-3)/2;max=(1-3)/2;

5、例例1 1、如图平面应力状态，求：主、如图平面应力状态，求：主应力应力s s1 1、s s2 2 、 s s3 3和最大切应力和最大切应力t tmax。解：如图作应力圆解：如图作应力圆67.167.1MPa; ; s s1 = 317.1317.1MPa; ; s s2 2 = 182.9182.9MPa; ; s s3 3 = 0; 0; t tmax = 158.55= 158.55MPa; ;otmax三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析20030050(MPa) （300，50）（200，-50）O三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析200（-300，50）30050(MP

6、a)tmax例例2 2、如图平面应力状态，、如图平面应力状态，求：主应力求：主应力s s1、s s2 、s s3和和最大切应力最大切应力max。解：作如图应力圆解：作如图应力圆 67.1MPa; s s1 = 0; s s2 = -182.9MPa; s s3 = -317.1MPa; max = （0+317.1）/2 =158.55MPa;（-200，-50） O300三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析100(MPa)例例3 3、如图平面应力状态，求：、如图平面应力状态，求：主应力主应力s1 1、s2 2 、 s3 3和最大切和最大切应力应力tmax。解：如图作应力圆解：如图作应力

7、圆180MPa； s1 = 330MPa； s2 = 0； s3 = -30MPa； max = 180MPa；tmax（300，100）（0，-100） 作为三向应力状态的特例作为三向应力状态的特例,平面应力状态特点：平面应力状态特点： 三向应力状态三向应力状态 特例分析特例分析 =0、 、 1 、 2 2、3 1 1、胡克定律、横向变形与泊松比、胡克定律、横向变形与泊松比广义胡克定律广义胡克定律yxx广义胡克定律广义胡克定律2 2、三向应力状态的广义胡克定律、三向应力状态的广义胡克定律叠加方法叠加方法GGGREEyzyzxzxzxyxyyxzzzxyyzyxxtttsssssssss=)(

8、1)(1)(1123z,zx,zyy,yx,yzx,xz,xyyzx广义胡克定律广义胡克定律3 3、三个弹性常数之间的关系、三个弹性常数之间的关系平面应力状态的广义胡克定律：平面应力状态的广义胡克定律：yxxy广义胡克定律广义胡克定律例例4 4、厚钢板上有一个矩形的槽，、厚钢板上有一个矩形的槽，深度和宽度都是深度和宽度都是1cm，在槽中紧密，在槽中紧密无隙的嵌入铅质立方块，尺寸为无隙的嵌入铅质立方块，尺寸为111cm, ,并受到并受到 P=6kN 的压力，的压力，试求立方块内的三个主应力，假设试求立方块内的三个主应力，假设钢板变形可以忽略不计，铅的泊松钢板变形可以忽略不计，铅的泊松比比=0.3

9、。P广义胡克定律广义胡克定律解：铅质立方块受力如图，由解：铅质立方块受力如图，由 x方向变方向变形为零，形为零，y 方向没有约束，根据广义胡方向没有约束，根据广义胡克定律：克定律： 所以铅块主应力为所以铅块主应力为: : 1 = 0；2 = -18MPa; 3 = -60MPa; ;PxyMPaEMPaAPEzxzyxxyzzyxx18)60(3 . 00)(1; 0;60101016000)(164=ssssssssss；由变形方程：P 材料在弹性范围内变形，实际上材料在弹性范围内变形，实际上是外力做功，材料蓄积弹性势能的是外力做功，材料蓄积弹性势能的现象。这种能量称为弹性应变能。现象。这种

10、能量称为弹性应变能。微元应变能用微元应变能用 dV 表示，若用表示，若用 dV 表表示微元体积，则定义示微元体积，则定义 dV / dV 为应为应变能密度。变能密度。 外力做功外力做功 W = FP / 2对于完全弹性体，此功将完全转换对于完全弹性体，此功将完全转换为弹性应变能。为弹性应变能。应变能密度应变能密度FPV=W1、微元应变能、微元应变能dydxdz应变能密度应变能密度1232 2、应变能密度、应变能密度三向应力状态下的应变能密度可以表述为三向应力状态下的应变能密度可以表述为 应变能密度应变能密度)(221133221232221sssssssss=Ev 应变能密度应变能密度3 3、

11、体积改变能密度与形状改变能密度、体积改变能密度与形状改变能密度 物体变形包含体积改变与形状改变，因此总应变能密度包含物体变形包含体积改变与形状改变，因此总应变能密度包含两种应变能密度。将主应力单元分解为图示两种单元，两种应变能密度。将主应力单元分解为图示两种单元，前者只前者只产生体积改变产生体积改变；后者只；后者只产生形状改变产生形状改变；2312 -3 -1 -应变能密度应变能密度总应变能密度总应变能密度 畸变能密度畸变能密度 体积改变体积改变能密度能密度 课外练习：课外练习：6464； 6666； 69 ；l重要应用实例重要应用实例pts sms ss sm = ?s st = ?smsm

12、如图直径为如图直径为D,D,壁厚壁厚的容的容器，内部受到压力器，内部受到压力P P的作的作用，试问容器壁厚上的轴用，试问容器壁厚上的轴向应力和周向应力的大小。向应力和周向应力的大小。 重要应用实例重要应用实例psmsmpststst (2 l )ppDlFx=0;PD/4 = Dm;m=PD/4;Fy=0;PDl=2lt ;t = PD/2; PD/4 Dm重要应用实例重要应用实例lts sms sm=PD/4;t = PD/2;1 1、关于应力和应力状态的几点重要结论、关于应力和应力状态的几点重要结论应力的点的概念应力的点的概念; ;应力的面的概念应力的面的概念; ;应力状态的概念；应力状态

13、的概念；变形体力学的基础。变形体力学的基础。 结论与讨论结论与讨论 怎样证明怎样证明AA截截面上各点的应力状态面上各点的应力状态不会完全相同。不会完全相同。2 2、平衡方法是分析一点处应、平衡方法是分析一点处应力状态最重要、最基本的方法力状态最重要、最基本的方法AA 论证论证AA截面上截面上必然存在切应力，而必然存在切应力，而且是非均匀分布的；且是非均匀分布的； 结论与讨论结论与讨论AA结论与讨论结论与讨论关于关于A点的应力状态点的应力状态有多种答有多种答案、请用平衡的概念分析哪案、请用平衡的概念分析哪一种是正确的。一种是正确的。3 3、怎样将应力圆作为一、怎样将应力圆作为一种分析问题的重要种分析问题的重要 手段，求解较为复杂的手段，求解较为复杂的应力状态问题应力状态问题AB怎样确定怎样确定C点处的主应力点处的主应力结论与讨论结论与讨论21.7321.73224 4、一点处的应力状态有不同的表示、一点处的应力状态有不同的表示方法，而用主应力表示最为重要方法，而用主应力表示最为重要. .请分析图示请分析图示 4 4 种应力状态中，哪几种是等价的种应力状态中，哪几种是等价的t045结论与讨论结论与讨论t0 t0 t0 t0 45t0 t0 6 6、正确应用广义胡克定、正确应用广义胡克定律律, ,某一